Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère à imprimer en PDF

La dérivée d’une fonction à travers un cours de maths en 2de avec son signe et les variations d’une fonction en 1ère ainsi que les propriétés. L’élève devra connaître les formulés de dérivation et déterminer sur quel ensemble la fonction est dérivable Étudier le taux d’accroissement et le nombre dérivé afin de déterminer le sens de variation. Il devra, également, établir le tableau de signe et de variation afin de trouver sur quels intervalles elle est croissante ou décroissante.

On considère, dans cette leçon, une fonction f définie sur un intervalle I de $\mathbb{R}$ et $C_f$ sa courbe représentative.

I.Nombre dérivé et tangente à une courbe

Définition : accroissement moyen.

On considère deux réels distincts $x_1$ et $x_2$ appartenant à I.On appelle accroissement moyen de f entre $x_1$ et $x_2$ la quantité suivante :

$\frac{\Delta f}{\Delta x}(x_1;x_2)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$

En notant $x_1=a$ et $x_2=a+h$ avec h>0, on obtient :

$\frac{\Delta f}{\Delta x}(a)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ .

Définition : nombre dérivé.

Si, lorsque h se rapproche de zéro, $\frac{\Delta f}{\Delta x}(a)$ se rapproche d’un réel $l$ , alors :On dit que la fonction f est dérivable en a.

Le réel $l$ est appelé le nombre dérivé de f en a, que l’on note $f'(a)$ .

On écrit alors :

$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)$ .

Définition : tangente à une courbe.

Soient A et M deux points distincts d’une courbe.Géométriquement, la tangente à la courbe au point A est la position limite de la sécante (AM)

lorsque M se rapproche de A

Propriété : coefficient directeur de la tangente.

Le nombre dérivé $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $a$ .

Propriété : équation réduite de la tangente.

Soit f une fonction dérivable en $a$ de courbe représentative $C_f$ .L’équation réduite de la tangente à $C_f$ en $a$ est donnée par la formule suivante :

$y=f'(a)(x-a)+f(a)$ .

II.La dérivée d’une fonction

Définition :

Si, pour tout réel $a\in I, f'(a)$ existe, on dit que f est dérivable en I.On définit alors, une nouvelle fonction f’ sur I par $f':x \mapsto f'(x)$ .

Propriété : dérivées des fonctions usuelles.

Propriété : dérivée d’une somme ou produit.

Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur I un intervalle de R et k un nombre réel.

La fonction $u+v:x \mapsto u(x)+v(x)$ est dérivable sur I et on a $(u+v)'=u'+v'$ .
La fonction $ku:x \mapsto k\times u(x)$ est dérivable sur I et on a $(ku)'=k\times u'$ .
La fonction $uv:x \mapsto u(x)\times v(x)$ est dérivable sur I et on a $(u v)'=u'v+uv'$ .

Propriété : dérivée de l’inverse et d’un quotient.

Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur I un intervalle de R telle que $v$ ne s’annule pas sur I.

La fonction $\frac{1}{u}:x \mapsto \frac{1}{u(x)}$ est dérivable sur I et on a $( \frac{1}{u})'=-\frac{u'}{u^2}$ .
La fonction $\frac{u}{v}:x \mapsto \frac{u(x)}{v(x)}$ est dérivable sur I et on a $( \frac{u}{v})'= \frac{u'v-uv'}{v^2}$ .