Récurrence et limites de suites – exercices de maths Terminale

Exercice 1Récurrence

1. \(1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) pour \(n \geq 1\).
2. \(5^n - 1\) divisible par \(4\).

Exercice 2Suite bornée

\(u_0 = 2\), \(u_{n+1} = \sqrt{3u_n + 4}\).

1. \(u_1\), \(u_2\) ?
2. \(0 \leq u_n \leq 4\) par récurrence ?
3. Croissante ?

Exercice 3Limites usuelles

1. \(u_n = 4n^3 - n\)
2. \(v_n = 3 - \dfrac{2}{n}\)
3. \(w_n = 0{,}85^n\)
4. \(t_n = -5 \times 1{,}1^n\)
5. \(s_n = (-1)^n n\)

Exercice 4Indéterminées

1. \(\dfrac{5n^2 + 2}{2n^2 - n}\)
2. \(n^3 - 4n^2\)
3. \(\dfrac{3^n + 1}{3^n - 2}\)
4. \(\sqrt{n + 3} - \sqrt{n}\)
5. \(\dfrac{n^2}{3^n}\)

Exercice 5Comparaison

1. \(n + \sin n \to +\infty\) ?
2. \(\dfrac{\cos n}{n^2} \to 0\) ?
3. \(\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \to 0\) ?

Exercice 6Géométrique auxiliaire

\(u_0 = 10\), \(u_{n+1} = 0{,}6u_n + 2\), \(v_n = u_n - 5\).

1. \((v_n)\) géométrique ?
2. \(u_n\) ?
3. Limite ?
4. \(S_n\) et sa limite ?

Exercice 7Convergence

\(u_0 = 6\), \(u_{n+1} = \dfrac{u_n + 3}{2}\).

1. \(u_n > 3\) ?
2. Décroissante ?
3. Convergente, limite ?

Exercice 8Seuil

\(u_n = 2 - 0{,}95^n\).

1. Variations, limite ?
2. Plus petit \(n\) avec \(u_n > 1{,}99\) (\(\ln\) puis algorithme) ?

Exercice 9Algorithme

def seuil(A):
    u = 3
    n = 0
    while u <= A:
        u = 2*u + 1
        n += 1
    return n

1. Suite ?
2. seuil(200) ?
3. Terminaison ?

Exercice 10Problème

\(p_{n+1} = 0{,}9p_n + 200\), \(p_0 = 800\).

1. \(p_1\), \(p_2\) ?
2. \(v_n = p_n - 2\,000\) géométrique ?
3. \(p_n\), limite ?
4. \(p_n > 1\,900\) à partir de quand ?