Fonction inverse : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF

Mis à jour le 24 novembre 2025

La fonction inverse est un concept fondamental en mathématiques, essentiel pour les élèves de seconde désirant maîtriser les bases de l’algèbre. Comprendre cette notion permet non seulement de résoudre des équations, mais aussi de développer des compétences en raisonnement logique et en modélisation mathématique. Dans cet article, nous allons aborder des exercices corrigés sur la fonction inverse, afin d’aider les étudiants à renforcer leur compréhension et à exceller dans leurs études.

Exercice 1 – inverse d’un nombre.

Pour $x\geq100$ , l’inverse est $\frac{1}{x}$

Donc, $\frac{1}{x}\leq\frac{1}{100}$

Pour $-4\leq\, y\leq\,-2$ , l’inverse est $\frac{1}{y}$

Donc, $-0,5\leq\frac{1}{y}\leq-0,25$

Exercice 2 – courbe d’une fonction inverse.

La courbe représente la fonction inverse $y=\frac{1}{x}$ .

À partir du graphique, on observe que pour $x=0,1$ , la valeur de $\frac{1}{x}$ est positive mais très grande.

Pour $x=0,2$ , elle est plus petite mais toujours positive.

En utilisant le graphe :

Pour $0,1\leq\, x\leq\,0,2$ , la valeur de $\frac{1}{x}$ est comprise entre 5 et 10.

Donc, la bonne réponse est d) $0,1 \leq\, x \leq\, 0,2$ .

Exercice 3 – tableau et étudier le signe de l’expression.

a) Recopier et compléter :

Pour tout $x\neq3$ ,

$\frac{x+2}{x-3}-1=\frac{x+2-(x-3)}{x-3}$

$\frac{x+2}{x-3}-1=\frac{(x+2)-(x-3)}{x-3}$

$\frac{x+2}{x-3}-1=\frac{x+2-x+3}{x-3}$

$\frac{x+2}{x-3}-1=\frac{5}{x-3}$

b) En déduire le tableau de signes de $\frac{x+2}{x-3}-1$ .

Tableau de signes :

La fraction $\frac{5}{x-3}$ change de signe selon le signe de $x-3$ .

Pour $x<3$ , $x-3$ est négatif, donc $\frac{5}{x-3}$ est négatif.

Pour $x>3$ , $x-3$ est positif, donc $\frac{5}{x-3}$ est positif.

Exercice 4 – résistance équivalente et fonction inverse.

1. On note $x$ la valeur de la résistance variable.

a) Démontrer que la valeur de la résistance équivalente $R_e$ est donnée par :

$R_e=\frac{10x}{x+10}$

Étant donné que $R_1 = 10$ et $R_2 = x$ , la formule pour les résistances en parallèle est :

$\frac{1}{R_e}=\frac{1}{10}+\frac{1}{x}$

En combinant les fractions :

$\frac{1}{R_e}=\frac{x+10}{10x}$

En inversant :

$R_e=\frac{10x}{x+10}$

b) Afficher à l’écran de la calculatrice la courbe représentative de la fonction $x \mapsto \frac{10x}{x+10}$ sur l’intervalle $[0 ; 10]$ .

Utilisez une calculatrice graphique pour tracer la courbe de $R_e = \frac{10x}{x+10}$ sur l’intervalle $[0 ; 10]$ .

2. Déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles la valeur de la résistance équivalente est supérieure à 4 Ω :

a) Graphiquement :

Tracez la droite $y = 4$ sur le même graphique, et observez les abscisses des points d’intersection pour déterminer les valeurs de $x$ où $R_e > 4$ .

b) Algébriquement :

On résout l’inéquation $\frac{10x}{x+10} > 4$ :

Mise sous forme d’inéquation :

$10x > 4(x+10)$

Développer et simplifier :

$10x > 4x + 40$

En soustrayant 4x des deux côtés :

$6x > 40$

En divisant par 6 :

$x > \frac{40}{6} \approx 6,67$

Donc, $x$ doit être supérieur à environ 6,67 pour que $R_e > 4$ Ω.

Exercice 5 – calculatrice et étude des courbes avec conjecture.

a) Affichage des courbes :

Utilisez votre calculatrice pour tracer les courbes de f et g dans la fenêtre indiquée.

Vous observerez que la courbe de f tend vers la droite de g sauf en x = 1 où f n’est pas définie.

b) Conjecture :

Pour toutes les valeurs de $x$ sauf à x = 1, f(x) semble être inférieure ou égale à g(x), c’est-à-dire $f(x)\leq\, g(x)$ .

c) Démonstration :

En calculant $f(x)-g(x)=\frac{x+2}{x-1}-2x$ , simplifions :

$f(x)-g(x)=\frac{x+2-2x(x-1)}{x-1}$

$=\frac{x+2-2x^{2}+2x}{x-1}$

$=\frac{-2x^{2}+3x+2}{x-1}$

En analysant ce résultat, vous pourrez conclure que l’ensemble des solutions de l’inéquation est bien $x\in\mathbb{R}\setminus\{1\}$ , ce qui confirme la conjecture.

Exercice 6 – etude d’un piston et fonction inverse.

a) Expliquer pourquoi cette loi est liée à la fonction inverse.

La relation $P\times V=1$ démontre que la pression $P$ est inversement proportionnelle au volume $V$ .

Cela signifie que si l’un augmente, l’autre diminue en conséquence pour maintenir le produit constant.

Ceci est typique d’une fonction inverse où l’on a $y=\frac{1}{x}$ .

b) Quelles sont les valeurs possibles pour la pression ?

Étant donné $P\times V=1$ avec $0,5\leq\, V\leq\, 5$ , on a :

Quand $V=0,5$ , alors $P=\frac{1}{0,5}=2$ .
Quand $V=5$ , alors $P=\frac{1}{5}=0,2$ .

Donc, les valeurs possibles pour la pression $P$ sont comprises entre $0,2$ et $2$ bars.

Exercice 7 – exprimer des longueurs et aire d’un triangle.

a) Exprimer les longueurs ON et MN en fonction de x.

La longueur ON est simplement la coordonnée $x$ de N, donc :

$ON=x$

La longueur MN est la différence entre les ordonnées de M et N :

$MN=f(x)-0=\frac{1}{x}$

b) Démontrer que l’aire du triangle OMN est constante.

L’aire du triangle OMN peut être calculée par la formule de l’aire d’un triangle rectangle :

$\text{Aire}=\frac{1}{2}\times ON\times MN$

En substituant les valeurs des longueurs obtenues plus haut, on a :

$\text{Aire}=\frac{1}{2}\times x\times \frac{1}{x}$

En simplifiant, on trouve :

$\text{Aire}=\frac{1}{2}$

Donc, l’aire du triangle OMN est constante et vaut $\frac{1}{2}$ quelle que soit la valeur de x.

Exercice 8 – résoudre des inéquations et intervalles.

a) Résoudre $\frac{1}{x-2}>1$ dans l’intervalle $\left]2,+\infty\right[$ .

Transformons l’inéquation :

$\frac{1}{x-2}-1>0$

Cela devient :

$\frac{1-(x-2)}{x-2}>0$

Soit :

$\frac{3-x}{x-2}>0$

Analysons le signe de cette fraction.

Nous devons avoir $3 - x > 0$ et $x - 2 > 0$ simultanément.

– $3 - x > 0$ implique $x < 3$

– $x - 2 > 0$ implique $x \,gt 2$

Donc, la solution dans l’intervalle donné est :

Solution : $\left]2,3\right[$

b) Résoudre $\frac{2}{x+3}<-4$ dans l’intervalle $\left]-\infty,-3\right[$ .

Transformons l’inéquation :

$\frac{2}{x+3}+4<0$

Multiplions le tout par x+3 (qui est négatif puisque x < -3) :

$2+4(x+3)>0$

Développons :

$2+4x+12>0$

Simplifions :

$4x+14>0$
Donc :

$x>-3,5$

La solution dans l’intervalle donné est :

Solution : $\left]-3,5,-3\right[$

Exercice 9 – résoudre une inéquation et étude d’un quotient.

a) Étude du signe du quotient :

Pour étudier le signe de $\frac{2x-1}{3-x}$ , on doit identifier les valeurs qui annulent le numérateur et le dénominateur.

Numérateur : $2x-1=0$ , soit $x=\frac{1}{2}$

Dénominateur : $3-x=0$ , soit $x=3$

Les valeurs critiques sont donc $x=\frac{1}{2}$ et $x=3$ . On obtient le tableau de signes suivant :

| $-\infty$ | — | $\frac{1}{2}$ | — | $3$ | — | $+\infty$ |

| Zone | — | Plus | — | Moins | — | Plus |

b) Résolution de l’inéquation :

Résoudre $\frac{2x-1}{3-x}<0$ signifie que l’on recherche les intervalles où le quotient est négatif.

D’après le tableau de signes, cela se produit lorsque $\frac{1}{2}<x<3$

c) Vérification graphique avec la calculatrice :

En traçant le graphe de la fonction $f(x)=\frac{2x-1}{3-x}$ sur une calculatrice, on peut vérifier que la courbe est en dessous de l’axe des abscisses pour $\frac{1}{2}<x<3$ ;

Exercice 10 – calcul formel et fonction inverse.

Pour résoudre l’inéquation $\frac{5x+7}{3x-4}>0$ , nous devons d’abord déterminer les valeurs qui annulent le numérateur et le dénominateur.

1. Trouvons les valeurs annulant le numérateur : $5x+7=0$

$5x=-7$

$x=-\frac{7}{5}$

2. Trouvons les valeurs annulant le dénominateur : $3x-4=0$

$3x=4$

$x=\frac{4}{3}$

3. Les valeurs critiques sont donc $x=-\frac{7}{5}$ et $x=\frac{4}{3}$ . Utilisons une analyse de signe pour déterminer l’intervalle.

4. Analyse de signe :

Pour $x\in\left(-\infty;-\frac{7}{5}\right)$ , numérateur et dénominateur sont négatifs, donc le quotient est positif.
Pour $x\in\left(-\frac{7}{5};\frac{4}{3}\right)$ , numérateur est positif et dénominateur est négatif, donc le quotient est négatif.
Pour $x\in\left(\frac{4}{3};+\infty\right)$ , numérateur et dénominateur sont positifs, donc le quotient est positif.

5. La solution de l’inéquation est donc $x\in]-\infty;-\frac{7}{5}]\cup[\frac{4}{3};+\infty[$ .

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