Fonctions usuelles : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF

Mis à jour le 25 novembre 2025

Les fonctions usuelles sont un élément fondamental du programme de mathématiques en première, offrant aux élèves l’opportunité de développer des compétences essentielles telles que l’analyse de fonctions, les représentations graphiques et la résolution d’équations. À travers des corrections d’exercices ciblés, cet article vise à renforcer la compréhension et la maîtrise de ces concepts, préparant ainsi les étudiants à exceller dans leurs études et à aborder des matières avancées avec confiance.

Exercice 1 – fonctions carré et inverse.

1. La fonction $u(x)=x^2-1$ correspond à la parabole en bleu, centrée autour de l’axe des abscisses avec un sommet à $(0,-1)$ .

2. La fonction $-u(x)=-x^2+1$ correspond à la parabole en rouge, inversée vers le bas avec un sommet à $(0,1)$ .

3. La fonction $u(x)+2=x^2+1$ correspond à la parabole en orange, décalée vers le haut avec un sommet à $(0,1)$ .

4. La fonction $\frac{-1}{4}u(x)=-\frac{1}{4}(x^2-1)=\frac{-x^2}{4}+\frac{1}{4}$ correspond à la parabole verte, plus aplatie vers le bas avec un sommet à $(0,\frac{1}{4})$ .

Exercice 2 – logiciel de géométrie et distance minimale.

1) a) Utilisez un logiciel de géométrie dynamique comme GeoGebra pour tracer la courbe $y=\sqrt{x}$ et placez le point A(2,0).

b) En déplaçant le point M le long de la courbe, vous constatez visuellement que la distance AM est minimale

lorsque M se trouve à un point particulier, proche de l’origine.

2) Pour vérifier que $AM=\sqrt{x^2-3x+4}$ , calculons la distance :

On a $M(x; \sqrt{x}) et A(2;0)$ .

La distance AM est donnée par :

$AM=\sqrt{(x-2)^2+(\sqrt{x}-0)^2}$

$AM=\sqrt{(x-2)^2+x}$

$AM=\sqrt{x^2-4x+4+x}$

$AM=\sqrt{x^2-3x+4}$

3) Pour minimiser $AM^2=x^2-3x+4$ , trouvons le minimum de cette expression en calculant sa dérivée :

$\frac{d}{dx}(x^2-3x+4)=2x-3$

En posant la dérivée nulle, $2x-3=0$ , on trouve $x=\frac{3}{2}$ .

La position de M pour laquelle AM est minimale est donc $(x,y)=(\frac{3}{2},\sqrt{\frac{3}{2}})$ .

Exercice 3 – tableau de variation et images.

1) $f(0)lt;f(1)$ : Faux. Les valeurs respectives à 0 et 1 ne sont pas données.

2) $f(-3)lt;f(4)$ : On ne peut pas savoir.

Les valeurs de $f(-3)$ et $f(4)$ ne sont pas spécifiées.

3) $f(0)gt;f(5)$ : On ne peut pas savoir.

Les valeurs à $x=0$ et $x=5$ ne sont pas données dans le tableau.

4) $f(3)lt;f(5)$ : Faux. D’après le tableau, $f(3)=1$ et $f(5)=-5$ , donc $1\gt-5$ .

5) $f(2)gt;f(-3)$ : On ne peut pas savoir.

La valeur $f(-3)$ n’est pas spécifiée.

6) $f(3)lt;f(4)$ : On ne peut pas savoir.

La valeur $f(4)$ n’est pas spécifiée.

Exercice 4 – préciser le sens de variation des fonctions usuelles.

1) La fonction $f:x\mapsto -2x+5$ est une fonction affine de la forme $ax+b$ avec $a=-2$ .

Comme $a$ est négatif, elle est décroissante sur $\mathbb{R}$

2) La fonction $g:x\mapsto x^2$ est une fonction quadratique.

Elle est décroissante sur $]-\infty;0]$ et croissante sur $[0;+\infty[$

3) La fonction $h:x\mapsto 3x-7$ est de la forme $ax+b$ avec $a=3$ .

Comme $a$ est positif, elle est croissante sur $\mathbb{R}$

4) La fonction $l:x\mapsto \frac{1}{x}$ est une fonction homographique.

Sur $]-\infty;0[$ , elle est croissante.
Sur $]0;+\infty[$ , elle est décroissante.

Exercice 5 – comparer des nombres sans les calculer.

1) Comparons $1,15^2$ et $1,3^2$ .

Comme $1,15 lt; 1,3$ , alors $1,15^2 lt; 1,3^2$ .

2) Comparons $(-2,05)^2$ et $(-1,99)^2$ .

Puisque $-2,05 (-1,99)^2$ .

3) Comparons $\frac{1}{\sqrt{2}+1}$ et $\frac{1}{\sqrt{2}+3}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}+1} gt; \frac{1}{\sqrt{2}+3}$ car $\sqrt{2}+1 lt; \sqrt{2}+3$ , donc son inverse est plus grand.

4) Comparons $-\frac{1}{0,8}$ et $-\frac{1}{0,7}$ .

$-\frac{1}{0,8} gt; -\frac{1}{0,7}$ car $\frac{1}{0,8} lt; \frac{1}{0,7}$ et le signe moins inverse l’ordre.

Exercice 6 – résoudre des équations et des inéquations.

1) Résoudre les équations suivantes.

1) Équation : $\frac{1}{x}=-2$

Solution : $x=-\frac{1}{2}$

2) Équation : $\frac{1}{x}=\frac{3}{4}$

Solution : $x=\frac{4}{3}$

3) Équation : $\frac{-3}{x}=\frac{1}{5}$

Solution : $x=-15$

2) Donner un encadrement de $\frac{1}{x}$ dans chaque cas suivant.

1) Intervalle : $2\leq\,\, x\leq\,\,5$

Encadrement : $\frac{1}{5}\leq\,\frac{1}{x}\leq\,\frac{1}{2}$

2) Intervalle : $-4lt;xlt;-\frac{1}{2}$

Encadrement : $-2lt;\frac{1}{x}lt;-\frac{1}{4}$

3) Intervalle : $10^{2}\leq\,\, x\leq\,\,10^{4}$

Encadrement : $10^{-4}\leq\,\frac{1}{x}\leq\,10^{-2}$

4) Intervalle : $-1lt;xlt;-10^{-2}$

Encadrement : $-100lt;\frac{1}{x}lt;-1$

3) Résoudre les inéquations suivantes en s’aidant du graphique.

1) Inéquation : $x^{2}gt;1$

Solution : $x1$

2) Inéquation : $x^{2}\leq\,4$

Solution : $-2\leq\,\, x\leq\,\,2$

3) Inéquation : $\frac{1}{x}gt;2$

Solution : $0lt;xlt;\frac{1}{2}$

4) Inéquation : $\frac{1}{x}\leq\,\frac{1}{2}$

Solution : $x\leq\,\,-\frac{1}{2}\ \text{ou}\ x\geq\,\,\frac{1}{2}$

Exercice 7 – fonction racine carrée et valeur absolue.

A. Calculer l’image par la fonction racine carrée :

1) $\sqrt{49}=7$

2) $\sqrt{100}=10$

3) $\sqrt{\frac{4}{25}}=\frac{2}{5}$

4) $\sqrt{10^{8}}=10^{4}$

5) $\sqrt{4\times 10^{-6}}=2\times 10^{-3}$

B. Donner les antécédents éventuels :

1) $\sqrt{3}$

2) $\sqrt{0}=0$

3) $\sqrt{\sqrt{5}}$

4) Pas d’antécédents car $\sqrt{-1}$ n’existe pas dans l’ensemble des réels.

5) $\sqrt{10^{-2}}=10^{-1}$

C. Calculer :

1) $|8|=8$

2) $|0|=0$

3) $|-2|=2$

4) $|6-2\pi|$

5) $|\sqrt{2}-1|$

D. Donner la valeur absolue des nombres suivants :

1) $|-4|=4$

2) $|-(-3)^{2}|=9$

3) $|\sqrt{5}-3|$

4) $|1-\pi|$

5) $|2-\sqrt{2}|$

6) $|(-1)^{5}|=1$

Exercice 8 – valeur absolue et inverse.

1) Résoudre $|x|=5$ :

$x=5\text{ ou }x=-5$

2) Résoudre $|x|=\sqrt{2}$ :

$x=\sqrt{2}$ ou $x=-\sqrt{2}$

3) Résoudre $|x|=-\pi$ :

Équation impossible car la valeur absolue ne peut pas être négative.

Compléter par < ou > :

1) $\sqrt{a}...\sqrt{b}$

$\sqrt{a}lt;\sqrt{b}$

2) $\frac{1}{\sqrt{a}}...\frac{1}{\sqrt{b}}$

$\frac{1}{\sqrt{a}}gt;\frac{1}{\sqrt{b}}$

3) $|a|...|b|$

$alt;b$

4) $a^2...b^2$

$a^2lt;b^2$

5) $\frac{1}{a^2}...\frac{1}{b^2}$

$\frac{1}{a^2}gt;\frac{1}{b^2}$

6) $\frac{-4}{a^2}...\frac{-4}{b^2}$

$\frac{-4}{a^2}lt;\frac{-4}{b^2}$

7) $\sqrt{a}-1...\sqrt{b}-1$

$\sqrt{a}-1lt;\sqrt{b}-1$

8) $|a-3|...|b-3|$

$|a-3|lt;|b-3|$

9) $|3-a|...|3-b|$

$|3-a|gt;|3-b|$

10) $-2|a|...-2|b|$

$-2|a|gt;-2|b|$

Exercice 9 – fonction linéaire, affine et inverse.

1) Soit u une fonction croissante sur un intervalle I.

Donner le sens de variations des fonctions suivantes sur I :

1) u – 2 : croissante (transformation par translation verticale)

2) u + 3 : croissante (transformation par translation verticale)

3) -3u : décroissante (transformation par multiplication par un nombre négatif)

4) -7u : décroissante (transformation par multiplication par un nombre négatif)

5) -2u + 8 : décroissante (transformation par multiplication par un nombre négatif et translation)

6) 4u – 1 : croissante (multiplication par un nombre positif et translation verticale)

2) Soit u une fonction strictement positive et décroissante sur un intervalle I .

Donner le sens de variations des fonctions suivantes sur I :

1) $\frac{1}{u}$ : croissante (fonction inverse de fonction décroissante positive)

2) $\frac{-2}{u}$ : décroissante (multiplication de l’inverse par un nombre négatif)

3) $\sqrt{u}$ : décroissante (transformation racine carrée de fonction décroissante)

Exercice 10 – encadrement d’un nombre.

Comparaison :

1) Comparons 0,3, $\sqrt{0,3}$ et $0,3^2$ .

On sait que : $0,3^2=0,09$ .

Donc, $0,09lt;\sqrt{0,3}lt;0,3$ }.

2) Comparons 1,2, $\sqrt{1,2}$ et 1,2^2.

On sait que : $1,2^2=1,44$ .

Donc, $1,2lt;\sqrt{1,2}lt;1,44$ .

Encadrement de $\sqrt{x}$ :

1) $0lt;xlt;4$ : $0lt;\sqrt{x}lt;2$

2) $0\leq\,\, x\leq\,\,0,04$ : $0\leq\,\sqrt{x}\leq\,0,2$ .

3) $1\leq\,\, xlt;9\times 10^6$ : $1\leq\,\sqrt{x}lt;3000$ .

Encadrement pour d’autres expressions :

1) $\sqrt{x}-5$ : $-5\leq\,\sqrt{x}-5\leq\,-2$ .

2) $2-\sqrt{x}+1$ : $3\leq\,2-\sqrt{x}+1\leq\,3$ .

3) $2\sqrt{x}+1$ : $2\leq\,2\sqrt{x}+1\leq\,6$ .

Comparaison de X et Y :

On pose $X=a^2+b^2$ et $Y=(a+b)^2$ .

Alors, $Y=a^2+2ab+b^2$ .

Donc, $Y-X=2ab$ .

Étant donné que a et b sont positifs, $Ygt;X$ .

Encadrement de $\sqrt{a^2+b^2}$ :

En utilisant le sens de variation de la fonction racine carrée, nous avons :

Puisque $\sqrt{x}$ est croissante, alors $a^2+b^2\leq\,(a+b)^2$ .

Donc, $\sqrt{a^2+b^2}\leq\,\, a+b$ .

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