Calcul littéral : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF

Mis à jour le 23 novembre 2025

Dans le cadre des mathématiques de troisième, le calcul littéral est une compétence essentielle à maîtriser. Cet article de correction d’exercices vous aidera à comprendre les méthodes et les astuces pour réussir cet aspect fondamental de votre cursus. En développant vos capacités à manipuler les expressions algébriques, vous renforcerez vos connaissances en maths et préparerez efficacement vos examens. Découvrez ici des solutions détaillées qui clarifient ce thème crucial pour votre parcours scolaire.

Exercice 1 – factorisation d’expressions littérales

I. Développement :

$I=25x^2-9+(5x-3)(7x+8)$

$I=25x^2-9+35x^2+40x-21x-24$

$I=60x^2+19x-33$

Factorisation :

$I=(12x-3)(5x+11)$

J. Développement :

$J=9-48x+64x^2-(6+2x)(3-8x)$

$J=9-48x+64x^2-(18-48x+6x-16x^2)$

$J=80x^2-54x-9$

Factorisation :

$J=(8x+3)(10x-3)$

K. Développement :

$K=100x^2-25-(20x+10)(2x-4)$

$K=100x^2-25-(40x^2-80x+20x-40)$

$K=60x^2+60x+15$

Factorisation :

$K=15(4x^2+4x+1)$

L. Développement :

$L=(2x-3)(4x+2)+(4x+2)(7x-8)$

$L=8x^2+4x-12x-6+28x^2-32x+14x-16$

$L=36x^2-26x-22$

Factorisation :

$L=2(18x^2-13x-11)$

Exercice 2 – développer et réduire – Identités remarquables

Développons l’expression $A=12x^2+(4x+5)^2$

$(4x+5)^2=16x^2+40x+25$

Donc $A=12x^2+16x^2+40x+25$

Réduction : $A=28x^2+40x+25$

Développons l’expression $B=7x-(6x+2)^2$

$(6x+2)^2=36x^2+24x+4$

Donc $B=7x-(36x^2+24x+4)$

Ce qui donne : $B=-36x^2-17x-4$

Développons l’expression $C=-16x^2-(4x-1)(4x+1)$

Utilisons la formule de la différence de carrés : $(4x-1)(4x+1)=16x^2-1$

Donc $C=-16x^2-(16x^2-1)$

Ce qui donne : $C=-16x^2-16x^2+1$

Réduction : $C=-32x^2+1$

Développons l’expression $D=(6x-4)^2+(2x-6)^2$

$(6x-4)^2=36x^2-48x+16$

$(2x-6)^2=4x^2-24x+36$

Donc $D=36x^2-48x+16+4x^2-24x+36$

Réduction : $D=40x^2-72x+52$

Exercice 3 – calcul littéral.

1. Montre que D s’écrit sous la forme donnée :

Partons de l’expression donnée : $(2x-3)(5x+4)+(2x-3)^2$

Factorisons par $(2x-3)$ :

$(2x-3)(5x+4)+(2x-3)^2=(2x-3)((5x+4)+(2x-3))$

Simplifions l’intérieur de la parenthèse :

$(5x+4)+(2x-3)=7x+1$

Nous obtenons alors :

$D=(2x-3)(7x+1)$

2. Résolution de l’équation $(2x-3)(7x+1)=0$

Pour que le produit soit égal à zéro, il faut que l’un des facteurs soit nul :

Premier facteur : $2x-3=0$

$2x=3$

$x=\frac{3}{2}$

Deuxième facteur : $7x+1=0$

$7x=-1$

$x=-\frac{1}{7}$

Soluces : $x=\frac{3}{2}$ ou $x=-\frac{1}{7}$

Exercice 4 – calcul littéral-développer et factoriser.

1. Développer puis réduire $A$ .

A = (2x – 3)(2x + 3) – (3x + 1)(2x – 3)
Développement :

(2x – 3)(2x + 3) = 4x^2 + 6x – 6x – 9 = 4x² – 9
(3x + 1)(2x – 3) = 6x^2 – 9x + 2x – 3 = 6x² – 7x – 3

Réduction :

A = (4x² – 9) – (6x^2 – 7x – 3) = 4x² – 9 – 6x² + 7x + 3
A = -2x² + 7x – 6

2. Factoriser A .

A = -2x² + 7x – 6

On cherche les racines de l’équation associée :

-2x^2 + 7x – 6 = 0

Discriminant : $\Delta = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \times (-2) \times (-6) = 49 - 48 = 1$

Les racines sont :

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-7 + 1}{-4} = \frac{-6}{-4} = \frac{3}{2}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-7 - 1}{-4} = \frac{-8}{-4} = 2$

La factorisation de A est donc :

$A = -2(x - \frac{3}{2})(x - 2)$

3. Résoudre l’équation $(2x - 3)(-x + 2) = 0$

On utilise le principe du produit nul :

$2x - 3 = 0$ ou $-x + 2 = 0$

Pour $2x - 3 = 0$ :

$2x = 3$

$x = \frac{3}{2}$

Pour $-x + 2 = 0$ :

$-x = -2$

$x = 2$

Les solutions sont donc $x = \frac{3}{2}$ et $x = 2$ .

Exercice 5 – calcul litteral avec les identites remarquables

$A=12x^2+(4x+5)^2$

$A=12x^2+(4x)^2+2\times 4x\times 5+5^2$

$A=12x^2+16x^2+40x+25$

$A=28x^2+40x+25$

$B=7x-(6x+2)^2$

$B=7x-(6x)^2-2\times 6x\times 2-2^2$

$B=7x-36x^2-24x-4$

$B=-36x^2-17x-4$

$C=-16x^2-(4x+1)(4x-1)$

$C=-16x^2-(4x)^2+1^2$

$C=-16x^2-16x^2+1$

$C=-32x^2+1$

$D=(6x-4)^2+(2x-6)^2$

$D=(6x)^2-2\times 6x\times 4+4^2+(2x)^2-2\times 2x\times 6+6^2$

$D=36x^2-48x+16+4x^2-24x+36$

$D=40x^2-72x+52$

Exercice 6 – aire et identites remarquables

1. Calcul des aires

Première figure :

La grande figure est un carré de côté $x+1$ , donc son aire est :

$(x+1)^2$

La petite figure blanche à l’intérieur est un carré de côté 1, donc son aire est de 1.

L’aire colorée est donc :

$(x+1)^2-1$

Deuxième figure :

La figure est un rectangle de dimensions $(x+2)$ et $x$ , donc son aire est :

$x(x+2)$

2. Remarque

Nous observons que les deux aires sont égales :

$(x+1)^2-1=x(x+2)$

Après simplification, cette égalité revient à une identité remarquable :

$x^2+2x=x^2+2x$

Ce qui est toujours vrai pour tout x.

Exercice 7 – identités remarquables.

A; $(y+3)^2=y^2+2\times y\times 3+3^2$ = $y^2+6y+9$

B; $(1+t)^2=1^2+2\times 1\times t+t^2$ = $1+2t+t^2$

C; $(7-y)^2=7^2-2\times 7\times y+y^2$ = $49-14y+y^2$

D; $(3x-10)^2=(3x)^2-2\times 3x\times 10+10^2$ = $9x^2-60x+100$

E : $(7-2y)(7+2y)=7^2-(2y)^2$ = $49-4y^2$

F : $(7a+4)^2=(7a)^2+2\times 7a\times 4+4^2$ = $49a^2+56a+16$

Exercice 8 – développer et réduire.

1. Développer et réduire l’expression B :

On commence par développer chaque partie de l’expression :

$B=(4a-3)(4a+3)-(3a-5)^2$

Développons $(4a-3)(4a+3)$ en utilisant l’identité remarquable $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ :

$(4a-3)(4a+3)=4a^2-3^2=16a^2-9$

Développons $(3a-5)^2$ en utilisant l’identité remarquable $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ :

$(3a-5)^2=9a^2-30a+25$

Substituons ces résultats dans l’expression B :

$B=16a^2-9-(9a^2-30a+25)$

En simplifiant, on obtient :

$B=16a^2-9-9a^2+30a-25$

$B=7a^2+30a-34$

2. Calculer l’expression B pour :

a. a = 1 :

$B=7(1)^2+30(1)-34$

$B=7+30-34=3$

b. a = 0,75 :

$B=7(0,75)^2+30(0,75)-34$

$B=7\times 0,5625+22,5-34$

$B=3,9375+22,5-34$

$B=-7,5625$

c. a = 0 :

$B=7(0)^2+30(0)-34$

$B=-34$

Exercice 9 – calcul numérique.

1. Calcul de $101^2$ :

On utilise l’identité remarquable $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ où a = 100 et b = 1.

$101^2=100^2+2\times 100\times 1+1^2$

$=10000+200+1$

$=10201$

2. Calcul de $103^2$ :

On utilise l’identité remarquable $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ où a = 100 et b = 3.

$103^2=100^2+2\times 100\times 3+3^2$

$=10000+600+9$

$=10609$

3. Calcul de $98^2$ :

On utilise l’identité remarquable $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ où a = 100 et b = 2.

$98^2=100^2-2\times 100\times 2+2^2$

$=10000-400+4$

$=9604$

4. Calcul de $101 \times 99$ :

On utilise la formule $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ avec a = 100, b = 1.

$101\times 99=(100+1)(100-1)=100^2-1^2$

$=10000-1$

$=9999$

Exercice 10 – développer, réduire et factoriser

1. Développer et réduire l’expression E :

On commence par développer chaque terme :

$(3x+2)^2-(5-2x)(3x+2)$

Développons $(3x+2)^2$ :

$(3x+2)(3x+2)=9x^2+12x+4$

Développons $-(5-2x)(3x+2)$

$-(5\times 3x+5\times 2-2x\times 3x-2x\times 2)=-15x-10+6x^2+4x$

En combinant les termes :

$9x^2+12x+4+6x^2-15x-10$

Réduction :

$(9x^2+6x^2)+(12x-15x)+4-10=15x^2-3x-6$

2. Factoriser E :

On cherche à factoriser $15x^2-3x-6$

On remarque que le terme commun est 3 :

$3(5x^2-x-2)$

La factorisation du trinôme peut se faire par : $(5x+2)(x-1)$

Donc, l’expression factorisée est :

$3(5x+2)(x-1)$

3. Calculer E pour x = -2 :

Remplaçons x par -2 dans l’expression réduite :

$15(-2)^2-3(-2)-6$

Calcul :

$15\times 4+6-6$

$60+6-6=60$

Donc, $E=-2=60$

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