Les équations du second degré : cours de maths en 1ère en PDF.

Les équations du second degré avec le discriminant dans un cours de maths en 1ère avec les différentes formules pour résoudre l’équation. L’élève devra savoir calculer la valeur du discriminant delta et déterminer la valeur des racines puis, devra être capable de tracer la parabole en première.

I. Fonction polynôme du second degré

1.Généralités

Définition :

Toute fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec a,b,c trois nombres réels tel que $a$ soit non nul est appelée fonction polynôme du second degré ou, simplement, trinôme.

2.Forme canonique

Théorème :

Tout fonction f du second degré définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec a,b,c trois nombres réels tel que $a$ soit non nul peut s’écrire de façon unique sous la forme $f(x)=a(x- \alpha )^2+\beta$ .Cette forme est appelée la forme canonique du trinôme.

La courbe représentative de f est appelée la parabole et son équation est $y=ax^2+bx+c$ .

Exemple :

Déterminer la forme canonique de la fonction suivante :

$f(x)=2x^2-4x+8\\f(x)=2(x^2-2x+4)\\f(x)=2[(x-1)^2-1+4]\\f(x)=2[(x-1)^2+3]\\f(x)=2(x-1)^2+6$

Propriété :

Une parabole de sommet $S( \alpha , \beta )$ est symétrique par rapport à la droite d’équation $x= \alpha$ .

3.Sens de variation d’une fonction

Propriété :

Soit f une fonction du second degré dont la forme canonique est $f(x)=a(x- \alpha )^2+\beta$ .

Le sens de variation de f dépend du signe du nombre a.

Vocabulaire :

Si a>0, f admet un minimum en x=a égal à b que l’on peut traduire par « le sommet de la parabole est en bas » ou par « f est convexe« .
Si a<0, f admet un maximum en x=a égal à b que l’on peut traduire par « le sommet de la parabole est en haut » ou par « f est concave« .