Limites de fonctions : corrigé des exercices de maths en terminale en PDF

Mis à jour le 25 novembre 2025

Dans cet article, nous aborderons les limites de fonctions, un concept fondamental en maths pour les élèves de terminale. Comprendre les limites est crucial pour maîtriser des notions avancées comme la continuité et la dérivation, tout en développant des compétences analytiques essentielles. En explorant des exercices corrigés, vous renforcerez vos acquis et préparerez efficacement votre baccalauréat. Ne négligez pas cette étape clé pour réussir dans vos études scientifiques !

Exercice 1 – limite de fonctions et racines carrées.

1) Calculer : $\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})$ .

On multiplie et divise par le conjugué :

$(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})\times \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=\frac{x+1-x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$ .

On simplifie et calcule la limite :

$\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\to 0$ quand $x\to+\infty$ .

2) Calculer : $\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^{2}-3x+1}{x^{2}-1}$ .

On divise numérateur et dénominateur par $x^{2}$ :

$\frac{2-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^{2}}}{1-\frac{1}{x^{2}}}$ .

En passant à la limite, on obtient :

$\frac{2-0+0}{1-0}=2$ .

3) Calculer : $\lim_{x\to4}\frac{x-4}{\sqrt{x}-2}$ .

Factorisons en haut et simplifions :

$\frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{x}-2}=\sqrt{x}+2$ .

Exercice 2 – calculer ces limites.

1) Réponse : $5$

2) Réponse : $\sqrt{2}$

3) Réponse : $-2$

4) Réponse : $+\infty$

5) Réponse : $-\infty$

6) Réponse : $0$

7) Réponse : $1$

8) Réponse : $+\infty$

Exercice 3 – déterminer la limite en l’infini.

1) $\lim_{{x\to+\infty}}x^{2016}=+\infty,\ \lim_{{x\to-\infty}}x^{2016}=+\infty$

2) $\lim_{{x\to+\infty}}x^{2017}=+\infty,\ \lim_{{x\to-\infty}}x^{2017}=-\infty$

3) $\lim_{{x\to\pm\infty}}(x^2+3x-5)=+\infty$

4) $\lim_{{x\to+\infty}}(x^3-2x)=+\infty,\ \lim_{{x\to-\infty}}(x^3-2x)=-\infty$

5) $\lim_{{x\to\pm\infty}}\frac{3}{x+5}=0$

6) $\lim_{{x\to+\infty}}(\frac{x}{2}-\frac{2}{x})=+\infty,\ \lim_{{x\to-\infty}}(\frac{x}{2}-\frac{2}{x})=-\infty$

7) $\lim_{{x\to+\infty}}x(1-x)=-\infty,\ \lim_{{x\to-\infty}}x(1-x)=+\infty$

8) $\lim_{{x\to\pm\infty}}(x(x+1)(x+2))=+\infty$

9) $\lim_{{x\to+\infty}}\frac{x+1}{x-1}=1,\ \lim_{{x\to-\infty}}\frac{x+1}{x-1}=1$

10) $\lim_{{x\to\pm\infty}}\frac{1}{1+x^2}=0$

11) $\lim_{{x\to+\infty}}\frac{x^2-x}{x^3-2}=0,\ \lim_{{x\to-\infty}}\frac{x^2-x}{x^3-2}=0$

12) $\lim_{{x\to+\infty}}\frac{3x^3+2}{2x^2+4}=+\infty,\ \lim_{{x\to-\infty}}\frac{3x^3+2}{2x^2+4}=-\infty$

Exercice 4 – limite de f à gauche.

1) Fonction $f(x) = \frac{1}{(x-1)^2}$ :

À gauche de $x = 1$ , lorsque $x \to 1^-$ , le dénominateur $(x-1)^2$ tend vers 0 positif.

Donc, $f(x)$ tend vers l’infini.

$lim_{x\to1^-}f(x)=+\infty$

2) Fonction $f(x) = \frac{1-x}{x}$ :

À gauche de $x = 1$ , lorsque $x \to 1^-$ , la fonction devient $\frac{0^-}{1^-}$ , soit une valeur positive.

Donc, $f(x)$ tend vers 0.

$lim_{x\to1^-}f(x)=0$

3) Fonction $f(x) = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x^2+6x-7}$ :

Le dénominateur se factorise en $(x+7)(x-1)$ .

À gauche de $x = 1$ , $x^2+6x-7 \to 0^-$ et $\sqrt{x^2-1}$ tend vers 0.

Donc, $f(x)$ a une limite indéterminée en 0. Une analyse plus poussée de $\sqrt{x^2-1}$ proche de 0 montre que $f(x) \to 0$ .

$lim_{x\to1^-}f(x)=0$

4) Fonction $f(x) = \frac{1}{\lfloor x \rfloor}$ (partie entière) :

À gauche de $x = 1$ , $\lfloor x \rfloor = 0$ . Donc, $f(x)$ n’est pas définie.

$lim_{x\to1^-}f(x)=\text{non\ definie}$

Exercice 5 – justifier que ces implications sont fausses.

1) Contre-exemple : Soit $f(x)=x+1$ et $g(x)=x$ .

Alors, $\lim_{{x\to+\infty}}f(x)=+\infty$ et $\lim_{{x\to+\infty}}g(x)=+\infty$ , mais $\lim_{{x\to+\infty}}(f(x)-g(x))=\lim_{{x\to+\infty}}1=1$ , ce qui n’est pas nul.

2) Contre-exemple : Soit $f(x)=x$ et $g(x)=2x$ .

Alors, $\lim_{{x\to+\infty}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{{x\to+\infty}}\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}$ , qui n’est pas égal à 1.

3) Contre-exemple : Soit $f(x)=x$ et $g(x)=\frac{1}{x}$ .

Alors, $\lim_{{x\to+\infty}}f(x)=+\infty$ et $\lim_{{x\to+\infty}}\frac{1}{g(x)}=+\infty$ ,

mais $\lim_{{x\to+\infty}}f(x)g(x)=\lim_{{x\to+\infty}}x\times \frac{1}{x}=1$ , qui n’est pas nul.

Exercice 6 – implications vraies ou fausses ?.

1) Si $f(x)\geq\,\, x^2$ alors $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ .

VRAI. Si $f(x)\geq\,\, x^2$ , alors à mesure que $x\to+\infty$ , $x^2\to+\infty$ ,

donc $f(x)\to+\infty$ .

2) Si $f(x)\leq\,\frac{1}{x}$ alors $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$ .

VRAI. Si $f(x)\leq\,\frac{1}{x}$ , alors à mesure que $x\to+\infty$ , $\frac{1}{x}\to0$ ,

donc $f(x)\to0$ .

3) Si $1\leq\,\, f(x)\leq\,\, x+1$ , alors $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x^2}=0$ .

VRAI. Si $1\leq\,\, f(x)\leq\,\, x+1$ , alors pour de grandes valeurs de $x$ ,

le terme $x+1$ est négligeable par rapport à $x^2$ , donc $\frac{f(x)}{x^2}\to0$ .

Exercice 7 – déduire l’équation d’une asymptote.

1) La limite $\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$ indique une asymptote oblique ou verticale, mais sans équation explicite donnée ici.

2) La limite $\lim_{x\to1}f(x)=10^{99}$ ne fournit pas d’information sur une asymptote.

3) La limite $\lim_{x\to0}f(x)=0$ indique une asymptote horizontale : $y=0$ .

4) La limite $\lim_{x\to-\infty}f(x)=0$ indique une asymptote horizontale : $y=0$ .

5) La limite $\lim_{x\to0^{+}}f(x)=+\infty$ indique une asymptote verticale : $x=0$ .

6) La limite $\lim_{x\to-\infty}f(x)=-10^{99}$ indique une asymptote horizontale : $y=-10^{99}$ .

Exercice 8 – limites de f en 1 à droite et à gauche.

1) Justifier que f n’est pas continue sur $\mathbb{R}$ :

Pour que la fonction $f$ soit continue en $x = 1$ , il faut que :

La limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers 1 à gauche soit égale à la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers 1 à droite.
Ces limites doivent être égales à $f(1)$ .

Observons le graphe :

$f$ est continue sur les intervalles $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ , mais il y a une discontinuité en $x = 1$ .

2) Donner les valeurs de $f(1)$ et des limites de f en 1 à gauche et à droite :

La valeur de $f(1) = \alpha$ .

Calculons les limites :

Limite à gauche (quand $x$ tend vers 1 par la gauche) : $\lim_{x \to 1^-}\sqrt{x^2 + 1} - 1 = 0$
Limite à droite (quand $x$ tend vers 1 par la droite) : $\lim_{x \to 1^+}\sqrt{x^2 + 1} - 1 = 0$

3) Que doit valoir $\alpha$ pour que $f$ soit continue ?

Pour que $f$ soit continue en $x = 1$ , il faut que les limites à gauche et à droite égales à $f(1)$ soient égales à $\alpha$ .

Donc, $\alpha$ doit être égal à 0. Ainsi, la continuité est assurée.

Exercice 9 – fonction cube et calculs de limites.

1) Limites de la fonction cube :

La fonction cube est définie par $f(x)=x^3$ .

Les limites aux bornes de l’infini sont :

Lorsque $x\to+\infty$ , $f(x)\to+\infty$ .

Lorsque $x\to-\infty$ , $f(x)\to-\infty$ .

2) Tableau de variation de la fonction cube :

La fonction $f(x)=x^3$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

On peut représenter les variations dans un tableau comme suit :

x	$-\infty$	0	$+\infty$
f(x)	$-\infty$	0	$+\infty$

3) Justification des solutions :

a) Pour résoudre $f(x)=4$ pour $x\in[1,5;1,6]$ , on cherche $x$ tel que $x^3=4$ .

En résolvant, on obtient $x=\sqrt[3]{4}$ .

La seule solution dans l’intervalle donné est $x\approx1,5874$ .

b) Pour résoudre $f(x)=-3$ sur $\mathbb{R}$ , on cherche $x$ tel que $x^3=-3$ .

La solution est $x=\sqrt[3]{-3}$ .

Cela donne une unique solution $x\approx-1,4422$ .

Exercice 10 – fonction valeur absolue.

1) Représentation graphique :

La fonction partie entière $[x]$ prend la valeur entière la plus proche inférieure ou égale à $x$ . Le graphe de cette fonction est une suite de segments horizontaux qui saute à chaque entier.

2) Résolution :

a) $[x]=\frac{1}{2}$ n’a pas de solution, car $[x]$ ne peut jamais être égal à une fraction. Il doit être un entier.

b) $[x]=1$

Les solutions sont les nombres réels tels que $1\leq\,\, xlt;2$ .

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