Nombres complexes : corrigé des exercices de maths en terminale en PDF

Mis à jour le 25 novembre 2025

Les nombres complexes représentent un élément clé du programme de mathématiques en terminale. Maîtriser cette notion permet aux élèves de développer des compétences essentielles, telles que la résolution d’équations et la compréhension des systèmes de coordonnées complexes. Dans cet article, nous vous proposons des corrections d’exercices pour aider les étudiants à renforcer leurs connaissances et à améliorer leur performance en vue des examens.

Exercice 1 – vérifier des égalités.

Calculons d’abord $P(1+i)$ :

$P(1+i)=(1+i)^3+2(1+i)^2-6(1+i)+8$

Calculons chaque terme :

$(1+i)^3=1+3i-3-1i=-2+2i$

$2(1+i)^2=2(1+2i-1)=4i$

$-6(1+i)=-6-6i$

Donc :

$P(1+i)=-2+2i+4i-6-6i+8=0$

Ensuite, calculons $P(1-i)$ :

$P(1-i)=(1-i)^3+2(1-i)^2-6(1-i)+8$

Calculons chaque terme :

$(1-i)^3=1-3i-3+i=2-2i$

$2(1-i)^2=2(1-2i-1)=-4i$

$-6(1-i)=-6+6i$

Donc :

$P(1-i)=2-2i-4i-6+6i+8=0$

Conclusion : Nous avons vérifié que $P(1+i)=0$ et $P(1-i)=0$ .

Exercice 2 – une fonction numérique et nombres complexes.

a) Calcul de $f(3)$ :

Substituons $z=3$ dans la fonction :

$f(z)=\frac{2iz-1}{z-1}$ devient $\frac{2i\times3-1}{3-1}$

Donc, $f(3)=\frac{6i-1}{2}=3i-\frac{1}{2}$

$f(3)=3i-\frac{1}{2}$

b) Calcul de $f(\frac{1}{2}i)$ :

Substituons $z=\frac{1}{2}i$ dans la fonction :

$f(z)=\frac{2i(\frac{1}{2}i)-1}{\frac{1}{2}i-1}$ devient $\frac{-1-1}{\frac{1}{2}i-1}$

En multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur :

$f(\frac{1}{2}i)=\frac{-2}{-\frac{1}{4}-i}=2i$

$f(\frac{1}{2}i)=2i$

c) Calcul de $f(\frac{1+i}{1-i})$ :

Simplifions d’abord $\frac{1+i}{1-i}$ :

En multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur :

$\frac{1+i}{1-i}\times\frac{1+i}{1+i}=\frac{1+2i+i^2}{1+1}=\frac{-1+2i}{2}$

Alors, substituons $z=\frac{-1+2i}{2}$ dans la fonction :

$f(z)=\frac{2i(\frac{-1+2i}{2})-1}{\frac{-1+2i}{2}-1}$

Calculons séparément :

$=\frac{i(-1+2i)-1}{\frac{-1+2i-2}{2}}=\frac{-i-2+i}{-1+2i}=i$

$f(\frac{1+i}{1-i})=i$

Exercice 3 – vérifier que les nombres sont des imaginaires purs.

Pour vérifier que $z_1+z_2$ est un nombre réel :

Calculons $z_1$ :

$z_1=\frac{1-i}{3+5i}$

Multiplions le numérateur et le dénominateur par le conjugué de $3+5i$ :

$z_1=\frac{(1-i)(3-5i)}{(3+5i)(3-5i)}=\frac{3-5i-3i-5}{9+25}=\frac{-2-8i}{34}$

$z_1=-\frac{1}{17}-\frac{4}{17}i$

Calculons $z_2$ :

$z_2=\frac{1+i}{3-5i}$

Multiplions le numérateur et le dénominateur par le conjugué de $3-5i$ :

$z_2=\frac{(1+i)(3+5i)}{(3-5i)(3+5i)}=\frac{3+5i+3i-5}{9+25}=\frac{-2+8i}{34}$

$z_2=-\frac{1}{17}+\frac{4}{17}i$

Somme :

$z_1+z_2=-\frac{1}{17}-\frac{4}{17}i-\frac{1}{17}+\frac{4}{17}i=-\frac{2}{17}$

C’est donc un nombre réel.

Différence :

$z_1-z_2=-\frac{1}{17}-\frac{4}{17}i+\frac{1}{17}-\frac{4}{17}i=-\frac{8}{17}i$

C’est donc un nombre imaginaire pur.

Exercice 4 – résoudre des équations dans C.

a) $2z^2+3z-5=0$

Les solutions sont obtenues en utilisant la formule quadratique.

$z=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$z=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\times2\times(-5)}}{2\times2}$

$z=\frac{-3\pm\sqrt{49}}{4}$

$z=\frac{-3\pm7}{4}$

Solutions : $z_1=1,z_2=-\frac{5}{2}$

b) $z^2+4=0$

$z^2=-4$

$z=\pm\sqrt{-4}$

$z=\pm2i$

Solutions : $z_1=2i,z_2=-2i$

a) $\frac{1}{3}z^2+\frac{1}{6}z+1=0$

Multiplions par 6 pour simplifier :

$2z^2+z+6=0$

Appliquons la formule quadratique :

$z=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\times2\times6}}{2\times2}$

$z=\frac{-1\pm\sqrt{-47}}{4}$

Solutions : $z=\frac{-1\pm i\sqrt{47}}{4}$

b) $3z^2+6z+4=0$

Appliquons la formule quadratique :

$z=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4\times3\times4}}{2\times3}$

$z=\frac{-6\pm\sqrt{-12}}{6}$

$z=\frac{-6\pm2i\sqrt{3}}{6}$

$z=-1\pm\frac{i\sqrt{3}}{3}$

Solutions : $z_1=-1+\frac{i\sqrt{3}}{3},z_2=-1-\frac{i\sqrt{3}}{3}$

a) $2z^2+3z+5=0$

Utilisons la formule quadratique :

$z=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\times2\times5}}{2\times2}$

$z=\frac{-3\pm\sqrt{-31}}{4}$

Solutions : $z=\frac{-3\pm i\sqrt{31}}{4}$

b) $z^2-4z+4=0$

Ceci est un carré parfait :

$(z-2)^2=0$

Solutions : $z=2$

a) $9z^2+25=0$

Simplifions :

$z^2=-\frac{25}{9}$

On a :

$z=\pm i\frac{5}{3}$

Solutions : $z_1=i\frac{5}{3},z_2=-i\frac{5}{3}$

b) $5z^2+2z=0$

Factorisons :

$z(5z+2)=0$

Solutions : $z_1=0,z_2=-\frac{2}{5}$

Exercice 5 – résoudre l’équation avec des nombres complexes.

Pour résoudre l’équation $z^2-(1+\sqrt{3})z+\sqrt{3}=0$ , nous allons utiliser la formule du discriminant.

Calcul du discriminant $\Delta$ :

$\Delta=(1+\sqrt{3})^2-4\times1\times\sqrt{3}$

$\Delta=1+2\sqrt{3}+3-4\sqrt{3}$

$\Delta=4-2\sqrt{3}$

Les solutions sont données par la formule :

$z_1=\frac{1+\sqrt{3}+\sqrt{\Delta}}{2}$

$z_2=\frac{1+\sqrt{3}-\sqrt{\Delta}}{2}$

Donc les solutions de l’équation sont :

$z_1=2$ et $z_2=\sqrt{3}$

Exercice 6 – nombres complexes et trigonométrie.

Réponse pour a) $\theta=\pi$ :

L’équation est $z^{2}-2(\cos\pi)z+1=0$ .

Calculons $\cos\pi$ : $\cos\pi=-1$ .

L’équation devient $z^{2}+2z+1=0$ , soit $(z+1)^{2}=0$ .

Donc, la solution est $z=-1$ .

Réponse pour b) $\theta=\frac{\pi}{3}$ :

L’équation est $z^{2}-2(\cos\frac{\pi}{3})z+1=0$ .

Calculons $\cos\frac{\pi}{3}$ : $\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$ .

L’équation devient $z^{2}-z+1=0$ .

Le discriminant est $\Delta=(-1)^{2}-4\times1\times1=-3$ , qui est négatif.

Les solutions sont donc :

$z=\frac{-b\pm i\sqrt{3}}{2}$ , soit $\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Exercice 7 – résoudre dans C l’équation .

Pour résoudre l’équation $(z^2+3z+1)(z^2-z+6)=0$ , il faut que l’un des deux facteurs soit égal à zéro.

Étape 1 : Résolution de l’équation $z^2+3z+1=0$

Les racines de cette équation sont données par la formule quadratique :

$z=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

En substituant $a=1,\,b=3,\,c=1$ , on obtient :

$b^2-4ac=9-4=5$

$z=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$

Étape 2 : Résolution de l’équation $z^2-z+6=0$

Les racines de cette équation sont données par la formule quadratique :

$z=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

En substituant $a=1,\,b=-1,\,c=6$ , on obtient :

$b^2-4ac=1-24=-23$

Les solutions sont alors complexes :

$z=\frac{1\pm i\sqrt{23}}{2}$

Conclusion : Les solutions de l’équation sont :

$z=\frac{-3+\sqrt{5}}{2},\,\frac{-3-\sqrt{5}}{2},\,\frac{1+i\sqrt{23}}{2},\,\frac{1-i\sqrt{23}}{2}$

Exercice 8 – polynôme et résolution de l’équation.

a) Justification :

Pour factoriser le polynôme $P(z)=z^{4}+3z^{3}+6z^{2}+6z+8$ , le logiciel Xcas nous donne :

$P(z)=(z+\frac{i(1+\sqrt{7})}{2})(z+\frac{i(1-\sqrt{7})}{2})(z+i(1+\sqrt{2}))(z+i(1-\sqrt{2}))$

Les facteurs obtenus sont bien conformes à l’affichage. Chaque facteur correspond à une racine complexe du polynôme, obtenue par résolution d’équations quadratiques.

b) Résolution de l’équation :

Pour résoudre $P(z)=0$ , nous identifions les racines du polynôme factorisé :

$z=-\frac{i(1+\sqrt{7})}{2}$

$z=-\frac{i(1-\sqrt{7})}{2}$

$z=-i(1+\sqrt{2})$

$z=-i(1-\sqrt{2})$

Donc, les solutions de l’équation $P(z)=0$ sont les valeurs ci-dessus pour $z$ .

Exercice 9 – systèmes d’équations avec des nombres complexes.

Nous devons résoudre le système d’équations suivant :

1. $z_1z_2=10$

2. $z_1+z_2=-2$

Considérons les équations sous forme de polynômes dont les racines sont $z_1$ et $z_2$ . On peut former le polynôme suivant :

$x^2-(z_1+z_2)x+z_1z_2=0$

Cela donne :

$x^2+2x+10=0$

Utilisons la formule quadratique pour résoudre le polynôme :

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Dans cette équation, $a=1$ , $b=2$ , et $c=10$ . Calculez le discriminant :

$b^2-4ac=2^2-4\times1\times10=-36$

Comme le discriminant est négatif, les solutions sont complexes :

$x=\frac{-2\pm\sqrt{-36}}{2}$

Les solutions sont donc :

$x=-1\pm3i$

Donc, les nombres complexes recherchés sont :

$z_1=-1+3i$ et $z_2=-1-3i$

Exercice 10 – déterminer la forme algébrique.

1. Calcul de $z_1=(2+3i)(-1+i)$ :

$z_1=(2+3i)(-1+i)=2i-2+3i^2+3i^2$

$=2i-2-3+3i$

$=-5+5i$

2. Calcul de $z_1=(5-i)(1-2i)(3+2i)$ :

$z_1=(5-i)(1-2i)(3+2i)$

3. Calcul de $z_1=((2+i)^2(2i)^2)$ :

$z_1=((2+i)^2(2i)^2)$

4. Calcul de $z_1=\frac{3+4i}{1+i}$ :

$z_1=\frac{3+4i}{1+i}\cdot\frac{1-i}{1-i}=\frac{(3+4i)(1-i)}{2}$

$=\frac{3-3i+4i-4i^2}{2}$

$=\frac{7+i}{2}$

5. Calcul de $z_2=(1-i)^2$ :

$z_2=(1-i)^2=1-2i+i^2$

$=1-2i-1=-2i$

6. Calcul de $z_2=\frac{1}{i}$ :

$z_2=\frac{1}{i}\cdot\frac{-i}{-i}=\frac{-i}{-i^2}$

$=i$

7. Calcul de $z_2=\frac{1}{5+2i}$ :

$z_2=\frac{1}{5+2i}\cdot\frac{5-2i}{5-2i}=\frac{5-2i}{29}$

$=\frac{5}{29}-\frac{2i}{29}$

8. Calcul de $z_2=\frac{1}{\sqrt{3}+4i}$ :

$z_2=\frac{1}{\sqrt{3}+4i}\cdot\frac{\sqrt{3}-4i}{\sqrt{3}-4i}=\frac{\sqrt{3}-4i}{19}$

$=\frac{\sqrt{3}}{19}-\frac{4i}{19}$

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