cours première

Probabilités : cours en 1ère S

Cours sur les probabilités en 1ère S et sur la variables aléatoire ainsi que sur la transformation affine d’une variable aléatoire en première S.

I.Variable aléatoire et probabilités

Définition : variable aléatoire discrète.

Soit \Omega =\{e_1,e_2,e_3,...,e_m\} l’univers fini d’une expérience aléatoire.

Une variable aléatoire X sur \Omega est une fonction qui, à chaque issue de \Omega, associe un nombre réel.

Définition : loi de probabilité d’une variable discrète.

Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs \{x_1,x_2,x_3,...,x_n\}.

Si pour chaque valeur x_i, on associe la probabilité de l’événement (X=x_i), on définit la loi de probabilité X.

Remarque :

La loi de probabilité d’une variable aléatoire se présente sous forme d’un tableau.

On a P(X=x_1)+P(X=x_2)+P(X=x_3)+...+P(X=x_1)=1.

loi probabilité

II.Espérance, variance et écart-type

Définitions :

Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs x_1,x_2,x_3,...,x_n avec les probabilités respectives p_1,p_2,p_3,...,p_n.

  • On appelle espérance de X le nombre E(x)=p_1x_1+p_2x_2+p_3x_3+...+p_nx_n=\sum_{i=1}^{n}p_ix_i.
  • On appelle variance de X le nombre V(x)=p_1(x_1-E(X))^2+p_2(x_2-E(X))^2+p_3(x_3-E(X))^2+...+p_n(x_n-E(X))^2=\sum_{i=1}^{n}p_i(x_i-E(X))^2
  • On appelle écart-type de X le nombre \sigma (X)=\sqrt{V(X)}.

III.Transformation affine d’une variable aléatoire

Définition :

Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs x_1,x_2,x_3,...,x_n.

Pour tous réels a et b, on peut définir une autre variable aléatoire, en associant à chaque issue

donnant la valeur x_i, le nombre ax_i+b.

On note cette variable aléatoire aX+b.

Propriétés :

  • E(aX+b)=aE(x)+b.
  • V(aX)=a^2V(X).

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