Produit scalaire dans le plan : cours de maths en 1ère en PDF.

Le produit scalaire dans le plan à travers un cours de maths en 1ère avec les définitions et propriétés ainsi que le projeté orthogonal. L’élève devra connaître les propriétés de linéarité du produit scalaire ainsi que sa symétrie. Déterminer si des vecteurs sont colinéaires ou orthogonaux, puis, déterminer des équations de droits à l’aide du produit scalaire en première.

I.Définition du produit scalaire et orthogonalité

Définition :

On considère deux vecteurs du plan $\vec{u}$ et $\vec{v}$ .

Le produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ , noté $\vec{u}.\vec{v}$ , est défini par :

$\vec{u}.\vec{v}=\frac{1}{2}(\left \| \vec{u}+\vec{v }\right \|^2-\left \| \vec{u} \right \|^2-\left \| \vec{v} \right \|^2)$ .

Remarque :

Le produit scalaire n’est pas un vecteur mais un nombre réel.

Propriétés :

Le produit scalaire est commutatif, c’est à dire que $\vec{u}.\vec{v}=\vec{v}.\vec{u}$ .

Si $\vec{u}=\vec{0}$ ou $\vec{v}=\vec{0}$ , alors $\vec{u}.\vec{v}=0$ .

$\vec{u}.\vec{u}$ est également noté $\vec{u}^2$ , appelé carré scalaire de $\vec{u}$ ;

Nous avons $\left \| \vec{u} \right \|^2=\vec{u}.\vec{u}$ .

Définition :

On considère deux vecteurs non nuls du plan $\vec{u}$ et $\vec{v}$ .

On dit que deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si, et seulement si, $\vec{u}.\vec{v}=0$ .

Remarque :

Le vecteur nul est donc orthogonal à tout vecteur du plan.

Propriété :

On considère deux vecteurs non nuls du plan $\vec{u}$ et $\vec{v}$ .On dit que deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si, et seulement si, $(\vec{u};\vec{v})=\pm \frac{\pi}{2}[2\pi]$ .

Propriété :

Deux droites du plan sont perpendiculaires, si, et seulement si, un vecteur directeur de l’une est orthogonal à un vecteur directeur de l’autre.

II.Produit scalaire et coordonnées

Propriété :

Soient $\vec{u}\binom{x}{y}$ et $\vec{v}\binom{x'}{y'}$ .Le produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est donné par la formule suivante :

$\vec{u}.\vec{v}=xx'+yy'$ .

III. Propriétés algébriques du produit scalaire

Propriétés :

Le produit scalaire est distributif par rapport à l’addition : $\vec{u}.(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w}$ .
Pour deux réels k et k’, $(k\vec{u}).(k'\vec{v})=kk'\vec{u}.\vec{v}$ .
En particuliers, $(-\vec{u}).\vec{v}=\vec{u}.(-\vec{v})=-\vec{u}.\vec{v}$ .

Propriétés : identités remarquables.

$\left \| \vec{u}+\vec{v }\right \|^2=(\vec{u}+\vec{v})^2=\left \| \vec{u }\right \|^2+2\vec{u}.\vec{v}+\left \| \vec{v}\right \|^2$ .
$\left \| \vec{u}-\vec{v }\right \|^2=(\vec{u}-\vec{v})^2=\left \| \vec{u }\right \|^2-2\vec{u}.\vec{v}+\left \| \vec{v}\right \|^2$ .
$(\vec{u}+\vec{v})(\vec{u}-\vec{v})=\left \| \vec{u} \right \|^2-\left \| \vec{v }\right \|^2$ .

Théorème de la médiane:

Soient A et B deux points distincts du plan et I le milieu de [AB].

Pour tout point M du plan, $MA^2+MB^2=2MI^2+\frac{AB^2}{2}$ .

IV.Autres expressions du produit scalaire

Propriétés :

On considère deux vecteurs non nuls du plan $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et trois points distincts A,B et C du plan.

$\vec{u}.\vec{v}=\left \| \vec{u} \right \|\times \left \| \vec{v} \right \|\times cos(\vec{u};\vec{v})$ .
$\vec{AB}.\vec{AC}= AB \times AC \times cos(\widehat{BAC})$ .

Propriétés :

Si deux vecteurs du plan $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, alors :

$\vec{u}.\vec{v}=\left \| \vec{u} \right \|\times \left \| \vec{v} \right \|$ si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ont le même sens.
$\vec{u}.\vec{v}=-\left \| \vec{u} \right \|\times \left \| \vec{v} \right \|$ si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ont des sens contraires.