Raisonnement par récurrence : corrigé des exercices de maths en terminale en PDF

Mis à jour le 25 novembre 2025

Le raisonnement par récurrence est une technique fondamentale en maths pour les élèves de terminale, essentielle pour maîtriser des concepts avancés et préparer efficacement le baccalauréat. Ce type de raisonnement permet de développer des compétences analytiques et de résolution de problèmes, en établissant des preuves rigoureuses pour des énoncés effectuant des généralisations. Dans cet article, nous vous guiderons à travers des exercices corrigés pour vous aider à appréhender cette notion clé et à renforcer votre compréhension des mathématiques.

Exercice 1 – quelle est la propriété de rang n+1 ?.

Première proposition :

Soit la propriété au rang n : $u_n=8^{n+1}+3$

La propriété au rang n+1 est :

$u_{n+1}=8^{(n+1)+1}+3$

$u_{n+1}=8^{n+2}+3$

Deuxième proposition :

Soit la propriété au rang n : $u_n=2$

La propriété au rang n+1 reste :

$u_{n+1}=2$

Exercice 2 – algorithme et raisonnement par récurrence.

1) Que renvoie l’algorithme si l’utilisateur saisit n = 2 ?

Pour $n=2$ , on calcule d’abord $a=-11+2\times2$ , ce qui donne $a=-7$ .

Comme $a$ n’est pas supérieur à 0 dés le départ, la boucle ne s’exécute pas. L’algorithme affiche donc $-7$ .

2) Que se passe-t-il si l’utilisateur saisit n = 8 ?

Pour $n=8$ , on a initialement $a=-11+2\times8$ , ce qui donne $a=5$ .

La boucle s’exécute, et à chaque itération, $a$ augmente de 2.

Finalement, $a$ est affiché, mais comme $a$ continue d’augmenter indéfiniment, l’algorithme ne s’arrête jamais pour tout $a>0$ .

3) Pour quelles valeurs de n cet algorithme ne fournit-il pas de résultat ?

L’algorithme ne fournit pas de résultat si la boucle ne se termine jamais, c’est-à-dire lorsque $a$ est initialisé à une valeur positive.

Cela se produit pour toutes les valeurs $n\geq6$ , où $a=-11+2n>0$ .

Exercice 3 – propriété héréditaire ?

1) Initialisation au rang $n=0$ :

Pour vérifier si la propriété est vraie au rang $n=0$ , calculons $u_0$ :

$u_0=-3$

La propriété $u_n>0$ n’est pas vérifiée pour $n=0$ car $u_0=-3$ .

2) Hérédité :

Supposons que $u_n>0$ pour un certain $n\geq0$ . Vérifions si cela implique que $u_{n+1}>0$ .

D’après la relation de récurrence : $u_{n+1}=2u_n$

Si $u_n>0$ , alors $u_{n+1}=2\times u_n>0$ .

La propriété est donc héréditaire.

3) Conclusion :

Étant donné que la propriété n’est pas vérifiée pour $n=0$ , elle n’est pas vraie pour tout entier naturel $n\geq0$ .

Exercice 4 – cette propriété est-elle héréditaire ?.

1) Initialisation : Vérifions que la propriété est initialisée pour $n=1$ .

Pour $n=1$ , calculons $5^1-2$ :

$5^1-2=5-2=3$

Le résultat est 3, qui est bien un multiple de 3.

2) Vérification pour tout entier naturel $n\geq1$ :

Nous allons utiliser le principe de récurrence pour montrer que la propriété est vraie pour tout $n\geq1$ .

Étape d’initialisation :

Pour $n=1$ , nous avons déjà montré que $5^1-2$ est un multiple de 3.

Étape d’hérédité : Supposons que pour un certain entier $k\geq1$ , la propriété est vraie, c’est-à-dire que $5^k-2$ est un multiple de 3.

Cela signifie qu’il existe un entier $m$ tel que :

$5^k-2=3m$

Nous devons montrer que $5^{k+1}-2$ est aussi un multiple de 3. Calculons :

$5^{k+1}-2=5\c\dot5^k-2$

$=5(5^k)-2$

En utilisant l’hypothèse de récurrence :

$=5(3m+2)-2$

$=15m+10-2$

$=15m+8$

Nous devons montrer que $15m+8$ est un multiple de 3. Simplifions :

$=3(5m)+3\c\dot2+2$

Cette expression se simplifie comme suit :

$=3(5m+2)+2$

Il s’ensuit que nous avons une contradiction car $2$ n’est pas un multiple de 3.

Conclusion : La propriété est héréditaire car l’erreur dans notre démontre est rendu évidente dans la simplification finale.

Exercice 5 – déterminer à partir de quel rang.

1) Suite : $u_n=n^2\text{ et }A=10000$

On cherche $n$ tel que $n^2>10000$ .

On résout l’inéquation : $n>\sqrt{10000}=100$

Donc, à partir de $n=101$

2) Suite : $u_n=3n+5\text{ et }A=538$

On cherche $n$ tel que $3n+5>538$ .

On résout l’inéquation : $3n>533$

$n>\frac{533}{3}\approx177,67$

Donc, à partir de $n=178$

3) Suite : $u_n=2\sqrt{n}\text{ et }A=20$

On cherche $n$ tel que $2\sqrt{n}>20$ .

On résout l’inéquation : $\sqrt{n}>10$

$n>100$

Donc, à partir de $n=101$

4) Suite : $u_n=n^2+10n-1\text{ et }A=23$

On cherche $n$ tel que $n^2+10n-1>23$ .

On résout l’inéquation : $n^2+10n-24>0$

On résout le trinôme : $n_{1,2}=\frac{-10\pm\sqrt{100+96}}{2}$

$n_{1,2}=\frac{-10\pm\sqrt{196}}{2}$

$n_{1,2}=\frac{-10\pm14}{2}$

$n_1=2\text{ et }n_2=-12$

La solution est pour $n>2$

Donc, à partir de $n=3$

Exercice 6 – déterminer un encadrement de la suite.

1) Minoration évidente de $(u_n)$ :

La suite $(u_n)$ est définie par $u_n=5+3(-1)^n$ .

Pour $n$ pair, $(-1)^n=1$ ; donc $u_n=5+3=8$ .

Pour $n$ impair, $(-1)^n=-1$ ; donc $u_n=5-3=2$ .

La suite est donc minorée par 2, car $u_n\geq2$ .

2) Majorer la suite $(u_n)$ par 4 :

La suite est aussi définie par $u_n=\frac{4n+5}{n+2}=4-\frac{3}{n+2}$ .

Comme $-\frac{3}{n+2}\leq0$ , cela implique $u_n\leq4$ .

Donc, la suite est majorée par 4, car $u_n\leq4$ .

Exercice 7 – démontrer que la propriété est vraie pour tout entier.

1) Montrer que la propriété est initialisée.

Pour $n=0$ , la propriété devient :

$3^0\geq1+2\times0$

$1\geq1$

La propriété est donc vraie pour $n=0$ .

2) Justifier l’hérédité.

a) Écrire l’hypothèse de récurrence.

Supposons que la propriété est vraie pour un certain entier $n$ , c’est-à-dire :

$3^n\geq1+2n$

b) Écrire la propriété au rang $n+1$

Montrons que :

$3^{n+1}\geq1+2(n+1)$

c’est-à-dire :

$3^{n+1}\geq3+2n$

c) Multiplier les deux membres par 3 et simplifier.

On a : $3\times3^n\geq3\times(1+2n)$

Ce qui donne : $3^{n+1}\geq3+6n$

d) Justifier que $3+6n\geq3+2n$ pour tout $n\geq0$

On a $6n\geq2n$ , qui est vrai pour tout $n\geq0$

3) Rédiger le raisonnement par récurrence.

La propriété est vraie pour $n=0$ (initialisation).

Supposons qu’elle est vraie pour un certain $n$ , alors elle est vraie pour $n+1$ (hérédité).

Par le principe de récurrence, la propriété $3^n\geq1+2n$ est donc vraie pour tout entier $n\geq0$ .

Exercice 8 – montrer par récurrence l’inégalité.

Étape 1 : Initialisation

Vérifions la propriété pour $n=0$ .

On a $u_0=5$ , donc $2\leq5$ . La propriété est vérifiée au rang 0.

Étape 2 : Hérédité

Supposons que pour un certain $n=k$ , la propriété est vraie : $2\leq\, u_k\leq\,5$

Montrons qu’elle est alors vraie au rang $n=k+1$ .

On calcule :

$u_{k+1}=\frac{1}{2}u_k+1$

Puisque $u_k\leq5$ , on a :

$\frac{1}{2}u_k+1\leq\frac{1}{2}\times5+1=\frac{5}{2}+1=3,5$

Également, puisque $u_k\geq2$ , alors :

$\frac{1}{2}u_k+1\geq\frac{1}{2}\times2+1=1+1=2$

Donc, $2\leq\, u_{k+1}\leq\,3,5$ , ce qui implique bien que la propriété est vérifiée pour $n=k+1$ .

Conclusion

Par le principe de récurrence, la propriété $2\leq\, u_n\leq\,5$ est vérifiée pour tout entier $n\geq0$ .

Exercice 9 – montrer une inégalité par récurrence.

Initialisation :

Nous devons montrer que l’assertion est vraie pour n = 1. Calculons $w_1$ :

$w_1=-\frac{1}{3}\times w_0+4=-\frac{1}{3}\times 0+4=4$

Donc, $1\leq4\leq4$ est vraie.

Hérédité :

Supposons que pour un entier $n=k$ , $1\leq\, w_k\leq\,4$ est vraie.

Montrons que cela implique $1\leq\, w_{k+1}\leq\,4$ .

Calculons $w_{k+1}$ :

$w_{k+1}=-\frac{1}{3}\times w_k+4$

Pour montrer que $w_{k+1}\geq1$ :

$-\frac{1}{3}\times w_k+4\geq\,1$

$4-\frac{1}{3}\times w_k\geq\,1$

$-\frac{1}{3}\times w_k\geq\,-3$

$w_k\leq9$

C’est vrai car $w_k\leq4$ .

Pour montrer que $w_{k+1}\leq4$ :

$-\frac{1}{3}\times w_k+4\leq\,4$

$-\frac{1}{3}\times w_k\leq\,0$

$w_k\geq0$

C’est vrai car $w_k\geq1$ .

Conclusion :

Par récurrence, la propriété est vraie pour tout entier $n\geq1$ .

Exercice 10 – utilisation du produit factoriel.

1) Calculer 6! :

Par définition, le factoriel de 6 est :

$6!=1\times2\times3\times4\times5\times6$

Calculons :

$6!=720$

2) Montrer par récurrence que $3^n\leq\, n!$ pour tout $n\geq7$ :

Initialisation : Pour $n=7$ , nous avons :

$3^7=2187$

$7!=5040$

Donc $3^7\leq7!$

Hérédité : Supposons que pour un entier $k\geq7$ , on a $3^k\leq\, k!$ .

Il faut montrer que $3^{k+1}\leq(k+1)!$ .

On a :

$3^{k+1}=3\times3^k$

Par hypothèse de récurrence :

$3\times 3^k\leq\,3\times k!$

Or, pour $k\geq7$ , on a $3\leq\, k+1$ , donc :

$3\times k!\leq\,(k+1)!$

D’où $3^{k+1}\leq(k+1)!$ .

Conclusion : Par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\geq7$ .

3) Montrer que $n!\leq\, n^n$ pour tout $n\geq1$ :

Pour tout entier naturel $n\geq1$ , on a :

$n!=1\times 2\times \times \,s\times n$

Étant donné que chaque terme de la suite est inférieur ou égal à n, on a :

$1\leq\, n,\,2\leq\, n,\,\ldots,\,n\leq\, n$

Donc :

$1\times 2\times \times \,s\times n\leq\, n\times n\times \times \,s\times n=n^n$

Par conséquent, $n!\leq\, n^n$ pour tout $n\geq1$ .

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