Résoudre des équations et inéquations : cours de maths en PDF

Les équations et les inéquations du premier degré à une inconnue à travers un cours de maths en 2de à télécharger en PDF. L’élève devra connaître la définition d’une équation (premier et second membre, inconnue, ensemble solution) ainsi que pour une inéquation. Nous terminerons cette leçon par des applications issues de la vie courante similaires à celles de votre manuel scolaire en seconde.

I. Résoudre des équations :

Définition :

On considère deux expressions algébriques A(x) et B(x) dépendantes de la variable x qui prend ses valeurs dans un ensemble E.

Résoudre dans E l’équation A(x)=B(x) d’inconnue x, c’est déterminer l’ensemble des nombres x

dans E tels que l’égalité A(x)=B(x) soit vraie.

Cet ensemble est appelé l’ensemble solution de l’équation dans E.

A(x) est appelé le premier membre de l’équation et B(x) est appelé le second membre.

Définition :

Deux équations sont équivalentes si elles ont le même ensemble solution.

Exemple :

Considérons l’équation suivante :

$2x+1=3+x\\\Leftrightarrow 2x+1-x=3+x-x\\\Leftrightarrow x+1 =3 \\\Leftrightarrow x+1-1 =3 -1\\\Leftrightarrow x =2$

L’ensemble solution dans $\mathbb{R}$ de cette équation est S={2}.

Propriété : équation-produit.

Un produit de facteur est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul. $A_1(x)\times A_2(x)\times A_3(x)\times .....A_n(x)=0$

$\Leftrightarrow A_1(x)=0$ ou $A_2(x)=0$ ou $A_3(x)=0$ ou ……. ou $A_n(x)=0$ .

Exemple :

Résoudre l’équation-produit suivantes :

$x(x+1)(2x-3)=0$ équivaut à $x=0$ ou $x=-1$ ou $x=\frac{3}{2}$ .

Propriété :

On considère des expressions algébriques A(x), B(x), C(x) et D(x) dépendantes de la variable $x$ avec $B(x)\neq0$ et $D(x)\neq0$ .Nous avons :

$\frac{A(x)}{B(x)}=0\Leftrightarrow A(x)=0$

$\frac{A(x)}{B(x)}=C(x)\Leftrightarrow A(x)=B(x)\times C(x)$

$\frac{A(x)}{B(x)}=\frac{C(x)}{D(x)}\Leftrightarrow A(x)\times D(x)=B(x)\times C(x)$

Exemple :

Résoudre l’équation suivante

$\frac{2x-3}{7}=\frac{5}{2}$

$2(2x-3)=7\times 5\\4x-6=35\\4x=35+6\\4x=41\\x=\frac{41}{4}$

II. Résoudre des inéquations :

Définition :

On considère deux expressions algébriques A(x) et B(x) dépendantes de la variable x qui prend ses valeurs dans un ensemble E.

Résoudre dans E l’inéquation A(x)<B(x) d’inconnue x, c’est déterminer l’ensemble des nombres x

dans E tels que l’inégalité A(x)<B(x) soit vraie.

Cet ensemble est appelé l’ensemble solution de l’inéquation dans E.

A(x) est appelé le premier membre de l’inéquation et B(x) est appelé le second membre.

Propriété :

Nous obtenons des inéquations équivalentes lorsque :On additionne un même nombre réels aux deux membres de l’inéquation;

On multiplie (ou divise) chaque membre de l’inéquation par un même nombre réel strictement positif;

On multiplie(ou divise), chaque membre de l’inéquation, par un même nombre réel strictement négatif et en changeant le sens de l’inégalité.

Exemple :

Pour tout nombre x :

$3x+1<2\Leftrightarrow 3x+1-1<2-1\Leftrightarrow 3x <1\Leftrightarrow \frac{3x}{3} <\frac{1}{3}\Leftrightarrow x<\frac{1}{3}$ .