Théorème de Pythagore : cours de maths en 4ème à imprimer en PDF.

Mis à jour le 20 décembre 2025

Sommaire

📚Cours de Mathématiques4ème • collège

Théorème de Pythagore

⏱️Temps de lecture : 4 min

🎯Difficulté : Intermédiaire

📚Cycle 4

📋Prérequis : Programme 5ème maîtrisé

📄Format PDF disponible gratuitement

Le fameux théorème de Pythagore à travers un cours de maths en 4ème complet qui vous permettra d’assimiler la partie directe et réciproque. L’élève devra être capable de donner l’égalité de Pythagore dans un triangle rectangle et de calculer la valeur d’une troisième longueur. Réciproquement, il devra être capable d’affirmer si un triangle possède un angle droit connaissant la valeur des trois longueurs en quatrième.

Pythagore est né à Samos vers 580 av J.C et il est décédé vers 495 av J.C .

Il était pluridisciplinaire, il s’intéressait à la philosophie, aux mathématiques, aux sciences et à l’astronomie.

Il participa aux jeux olympiques à l’âge de 17 ans et remporta toutes les épreuves du pugilat (ancêtre de la boxe).

0. Vocabulaire du triangle rectangle

Définition :

Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit;
Le coté le plus long d’un triangle rectangle, qui est le côté opposé à l’angle droit, s’appelle l’hypoténuse.

Exemple :

DEF est un triangle rectangle en F;
[ED] est l’hypoténuse : c’est le plus long côté du triangle rectangle;
Les deux côtés adjacents à l’angle droit sont [FD] et [FE], ils sont perpendiculaires.

I. La partie directe du théorème de Pythagore :

1.Vocabulaire sur le triangle rectangle :

2. Activité d’introduction :

3.Partie directe du théorème de Pythagore :

Propriété :

Si ABC est un triangle rectangle en B alors $AC^2=AB^2+BC^2$ .

On dit que «le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés adjacents à l’angle droit».

Remarque :

La partie directe du théorème de Pythagore nous permet de calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle en connaissant la valeur des longueurs des deux autres côtés.

Exemples :

1.Soit un triangle rectangle IKJ rectangle en K tel que KI=6 cm et KJ = 11 cm.

Calculer la valeur de IJ. Arrondir le résultat au dixième.

Le triangle KIJ est rectangle en K.

Je peux appliquer la partie directe du théorème de Pythagore :

$IJ^2=KJ^2+KI^2\\IJ^2=11^2+6^2$

Les puissances sont prioritaires car elles contiennent des multiplications.

$IJ^2=121+36\\IJ^2=157\\IJ=\sqrt{157}\\IJ\approx\,12,5\,cm$

2.Soit un triangle rectangle ABC rectangle en B tel que AC=6,5 cm et AB = 4 cm.

Calculer la valeur de BC. Arrondir le résultat au dixième.

Le triangle ABC est rectangle en B.

Je peux appliquer la partie directe du théorème:

$AC^2=AB^2+BC^2\\6,5^2=4^2+BC^2$

$42,25=16+BC^2 \\BC^2=42,25-16\\BC^2=26,25\\BC=\sqrt{26,25}\\BC\approx\,5,1\,cm$

Exemple :

Soit KLM un triangle rectangle en L tel que KL = 24 cm, LM = 10 cm.

Calculer KM.

Le triangle KLM est rectangle en L donc d’après la partie directe du théorème de Pythagore, nous avons l’égalité suivante :

$KM^2=KL^2+LM^2\\KM^2=24^2+10^2\\KM^2=576+100\\KM^2=676\\KM=\sqrt{676}\\KM=24\,cm$

Exemple :

Soit NPR un triangle rectangle rectangle en N tel que PR = 7 cm et Nr = 6 cm.

Calculer NP (arrondir le résultat au dixième).

Le triangle PNR est rectangle donc d’après la partie directe du théorème de Pythagore,

nous avons l’égalité suivante :

$PR^2=PN^2+NR^2\\7^2=PN^2+6^2\\49=PN^2+36\\PN^2=49-36\\PN^2=13\\PN=\sqrt{13}\\PN\approx,3,6\,cm$

Application :

Une chèvre C est attachée à un piquet P planté au coin d’un pré carré de 15 m de côté.

Quelle doit être, approximativement, la longueur de la corde pour que la chèvre puisse brouter tout le pré?

4.Puzzle de Pythagore et signification géométrique du théorème :

${\color{Red}\,Aire_{carre\,rouge}}={\color{Blue}\,Aire_{carre\,bleu}}+{\color{Yellow}\,Aire_{carre\,jaune}}$

Remarque :

Le théorème de Pythagore signifie que si un triangle est rectangle alors la somme des aires des deux petits carrés est égale à l’aire du grand carré.

II. Réciproque du théorème de Pythagore :

Propriété :

Soit ABC un triangle tel que [AC] soit son plus long côté.

Si $AC^2=AB^2+BC^2$ alors ABC est un triangle rectangle en B .

Remarque :

La partie réciproque du théorème nous permet de vérifier si un triangle est rectangle connaissant la longueur de ses trois côtés.

Exemple :

Soit KJP un triangle tel que KJ = 7,2 cm, JP = 6,5 cm et KP = 9,7 cm.

Ce triangle est-il rectangle ?

Le côté le plus long est [KP].
Calculons séparément : $KP^2=9,7^2=94,09\,cm^2$
et
$KJ^2+JP^2=7,2^2+6,5^2=51,84+42,25=94,09\,cm^2$
Nous avons $KP^2=\,KJ^2+JP^2$ , par conséquent la partie réciproque du théorème de Pythagore est vérifiée donc le triangle KJP est rectangle en J.

Exemple :

Soit STU un triangle rectangle en U tel que ST = 9,5 cm; Su = 2,3 cm et UT = 9,2 cm.

Le plus grand côté est [ST].

Je calcule séparément :

$ST^2=9,5^2=90,25\,cm^2$

$SU^2+UT^2=2,3^2+9,2^2=5,29+84,64=89,93\,cm^2$

$ST^2\neq\,SU^2+UT^2$ donc le triangle SUT n’est pas rectangle.

Exemple :

Soit DEF un triangle tel que FD = 4 cm; FE = 5 cm et DE = 3 cm.

Le côté le plus long est [FE].

Je calcule séparément :

$FE^2=5^2=25\,cm^2\\\,FD^2+DE^2=4^2+3^2=16+9=25\,cm^2$

$FE^2=FD^2+DE^2$ donc le triangle FED est rectangle en D.

III. Carte mentale sur le théorème de Pythagore :

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