I. Triangles semblables

Exemple :

  et  et 

donc les triangles MNP et RST sont semblables.

Les côtés [MN] et [RS] sont appelés « côtés homologues » ( de même pour [MP] et [RT] puis, [PN] et [ST]).

Exemple

Remarque :

Pour remplir le tableau  (ou calculer les rapports), il faut bien associer les côtés : chaque côté d’un triangle à un homologue dans l’autre.

Par exemple, le plus petit côté de RST est associé au plus petit côté de MNP.

;  ; .

Tous les rapports sont égaux donc ce tableau est un tableau de proportionnalité et le coefficient de proportionnalité est .
Par conséquent,  MNP et RST sont semblables.

Exemple :

On sait que le triangle IJK ci-dessus est semblable au triangle RST de l’exemple précédant.

IJK et RST sont semblables donc il existe un coefficient de proportionnalité qui permet d’obtenir les longueurs des côtés du triangle IJK  à partir de celles des côtés du triangle RST.

Ce coefficient vaut
Le triangle IJK est une réduction du triangle RST de rapport .

II. Démontrer que deux triangles sont semblables

Application :

Solution :

Pour bien associer les côtés, on peut les classer du plus petit au plus grand.

;  ; .

Tous les rapports sont égaux donc ce tableau est un tableau de proportionnalité et le coefficient de proportionnalité est .

Les longueurs des côtés des triangles DEF et JKL sont proportionnelles donc DEF et JKL sont semblables.

III. Calculer une longueur en utilisant les propriétés

Application :

Solution :
a.

Les angles homologues des triangles ABC et DEF sont égaux deux à deux.

Par définition,  ABC et DEF sont semblables.

b. ABC et DEF sont semblables donc les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles.

C’est un tableau de proportionnalité, en utilisant la règle du produit en croix, nous avons :

.

IV. Carte mentale