Produit scalaire dans le plan – exercices de maths 1ère

Exercice 1Coordonnées

\(\vec{u}(4\,;\,-3)\), \(\vec{v}(3\,;\,4)\), \(\vec{w}(-2\,;\,5)\).

1. Produits scalaires deux à deux ?
2. Orthogonaux ?
3. \(\|\vec{u}\|\), \(\vec{u}\cdot\vec{u}\) ?

Exercice 2Angle

1. Normes \(4\) et \(5\), angle \(60^\circ\) ?
2. Normes \(3\) et \(6\), angle \(\dfrac{2\pi}{3}\) ?
3. Équilatéral de côté \(8\) : \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}\) ?

Exercice 3Projection

Carré ABCD de côté \(6\), I milieu de \([CD]\).

1. \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\) ?
2. \(\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AI}\) ?
3. \(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}\) ?

Exercice 4Angle par le calcul

A\((2\,;\,1)\), B\((6\,;\,3)\), C\((3\,;\,7)\).

1. \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\) ?
2. \(AB\), \(AC\) ?
3. \(\widehat{BAC}\) ?

Exercice 5Orthogonalité

1. \(k\) pour \((3\,;\,k) \perp (4\,;\,-6)\) ?
2. A\((1\,;\,0)\), B\((5\,;\,2)\), C\((4\,;\,4)\) rectangle ?
3. Vecteur orthogonal à \((7\,;\,-3)\) ?

Exercice 6Identités

1. \((\vec{u} + \vec{v})^2\), \((\vec{u} - \vec{v})^2\) ?
2. \(\vec{u}\cdot\vec{v} = \dfrac{1}{2}(\|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 - \|\vec{u} - \vec{v}\|^2)\) ?
3. \(AB = 6\), \(AC = 9\), \(BC = 7\) : \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\) ?

Exercice 7Al-Kashi

1. \(AB = 7\), \(AC = 9\), \(\widehat{BAC} = 45^\circ\) : \(BC\) ?
2. \(a = 8\), \(b = 6\), \(c = 10\) : angle opposé à \(a\) ?
3. Pythagore comme cas particulier ?

Exercice 8Médiane

I milieu de \([BC]\).

1. \(AB^2 + AC^2 = 2AI^2 + \dfrac{BC^2}{2}\) ?
2. \(AB = 6\), \(AC = 8\), \(BC = 10\) : \(AI\) ?

Exercice 9Lieux

A\((-3\,;\,0)\), B\((3\,;\,0)\), M\((x\,;\,y)\).

1. \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}\) ?
2. Ensemble pour \(= 0\) ?
3. Pour \(= 7\) ?

Exercice 10Problème

Rectangle ABCD, \(AB = 8\), \(AD = 6\), repère \((A\,;\,\vec{i}, \vec{j})\) adapté ; M sur \([DC]\), \(DM = x\).

1. Coordonnées ?
2. \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}\) ?
3. AMB rectangle en M pour quels \(x\) ?