Calcul intégral – exercices de maths Terminale

Exercice 1Simples

1. \(\displaystyle\int_0^3 (2x^2 - x) \,dx\)
2. \(\displaystyle\int_1^{e^2} \dfrac{1}{x} \,dx\)
3. \(\displaystyle\int_0^2 e^{x} \,dx\)
4. \(\displaystyle\int_{-2}^{2} (x^3 - x) \,dx\)
5. \(\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos x \,dx\)

Exercice 2Composées

1. \(\displaystyle\int_0^1 e^{3x} \,dx\)
2. \(\displaystyle\int_0^3 \dfrac{2x}{x^2 + 1} \,dx\)
3. \(\displaystyle\int_1^2 \dfrac{3}{(3x - 2)^2} \,dx\)
4. \(\displaystyle\int_0^1 x(x^2 + 2)^2 \,dx\)

Exercice 3Aire

\(f(x) = 9 - x^2\).

1. Aire sous la courbe sur \([-3\,;\,3]\) ?
2. \(\displaystyle\int_0^4 f(x)\,dx\), signe ?
3. Aire sur \([0\,;\,4]\) ?

Exercice 4Entre deux courbes

1. \(y = x^2\) et \(y = \sqrt{x}\) sur \([0\,;\,1]\).
2. \(y = e^{x}\) et \(y = 1\) sur \([0\,;\,2]\).
3. \(y = x^2 - 1\) et \(y = x + 1\).

Exercice 5Valeur moyenne

1. \(x^3\) sur \([0\,;\,2]\)
2. \(e^{-x}\) sur \([0\,;\,\ln 2]\)
3. \(\cos x\) sur \([0\,;\,\pi/2]\)

Exercice 6Propriétés

\(\displaystyle\int_0^2 f = 4\), \(\displaystyle\int_2^6 f = -3\).

1. \(\displaystyle\int_0^6 f\), \(\displaystyle\int_6^0 f\) ?
2. \(\displaystyle\int_0^6 (2f(x) - 1)\,dx\) ?
3. \(\displaystyle\int_0^6 |f|\) ?

Exercice 7Par parties

1. \(\displaystyle\int_0^1 xe^{2x} \,dx\)
2. \(\displaystyle\int_1^e x\ln x \,dx\)
3. \(\displaystyle\int_0^{\pi} x\sin x \,dx\)
4. \(\displaystyle\int_1^2 \ln x \,dx\)

Exercice 8Encadrement

1. \(1 \leq e^{x^3} \leq e\) sur \([0\,;\,1]\) : encadre \(\displaystyle\int_0^1 e^{x^3}\,dx\).
2. Encadre \(\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{x^2 + 2}\,dx\).

Exercice 9Suite d'intégrales

\(I_n = \displaystyle\int_0^1 x^n e^{-x}\,dx\).

1. \(I_0\), \(I_1\) ?
2. \(I_{n+1} = (n+1)I_n - e^{-1}\) ?
3. Décroissante, positive ?
4. Convergente ?

Exercice 10Problème

\(f(x) = x^2e^{-x}\) sur \([0\,;\,+\infty[\).

1. Variations, limite ?
2. \(A(t) = \displaystyle\int_0^t f\) par parties (deux fois) ?
3. Limite de \(A(t)\) ?