Les équations et les problèmes : cours de maths en 4ème en PDF.

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Les équations du premier degré à une inconnue avec un cours de maths en 4ème qui vous donnera la possibilité d’apprendre les définitions et les propriétés de ce chapitre. L’élève devra avoir les compétences de résoudre une équation en utilisant les propriétés de transformations et de transpositions qui permettent de modifier les égalités sans en changer l’ensemble solution. Un autre objectif de cette leçon sera de résoudre des problèmes de la vie courante en quatrième.

I. Les équations du premier degré à une inconnue :

1.Activité d’introduction aux équations :

2.Définitions et vocabulaire :

Définition :

On considère quatre nombres relatifs a,b,c et d.

On appelle équation du premier degré à une inconnue, toute égalité du type : $ax+b=cx+d$ (avec $a\neq 0$ )
La lettre $x$ est l’inconnue de l’équation.
Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs de x qui vérifient l’égalité.
Si elles existent, chacune de ces valeurs est appelée solution de l’équation.
L’expression littérale située à gauche du signe = s’appelle le premier membre et celle située à droite s’appelle le second membre de l’équation.

Exemples :

Voici quelques équations :

$4z=3\\2t-1=6\\5x-3=4x+9$

3. Résolution d’équations du type x+a=b :

Propriété :

On ne change pas les solutions d’une équation en ajoutant (ou retranchant) une même quantité à chaque membre de cette équation.

Règle :

Soient a et b deux nombres relatifs. L’équation $a+x=b$ équivaut à $x=b-a$ .

Exemple :

Résoudre les équations.

$x+5=9\\x+5-5=9-5\\x+0=4\\x=4$ $z-8=-12\\z-8+8=-12+8\\z=-4$

4. Résolution d’équations du type ax=b (avec a non nul) :

Propriété :

On ne change pas les solutions d’une équation en multipliant (ou divisant) par un nombre non nul chaque membre d’une équation .

Règle :

Soient a et b deux nombres relatifs tel que $a\neq 0$ .L’équation $ax=b$ équivaut à $x=\frac{b}{a}$ .

Exemple :

1.Résoudre les équations.

$3x=9\\\frac{3x}{3}=\frac{9}{3}\\1x=3\\x=3$ $-8m=-24\\\,\frac{-8m}{-8}=\,\frac{-24}{-8}\\1m=3\\m=3$

2. Résoudre :

$3a-2=19\\3a-2+2=19+2\\3a=21\\\frac{3a}{3}=\frac{21}{3}\\a=7$

$5x+9=2x+7\\5x=2x+7-9\\5x=2x-2\\5x-2x=-2\\3x=-2\\\frac{3x}{3}=\frac{-2}{3}\\\\x=-\frac{2}{3}$

II. Résolution de problèmes:

1.Méthodologie :

2.Exemples de problèmes :

a. Le périmètre de ce rectangle est de 43 mètres, calculer la valeur de $x$ .

Soit $x$ : la largeur du rectangle ABCD exprimée en mètre.

Nous avons :

$2\times x+2\times (x+14)=43\\2\times x+2\times x+2\times 14 =43\\2 x+2 x+28 =43\\4x+28=43\\4x=43-28\\4x=15\\x=\frac{15}{4}\\x=3,75\,m$

b.

$4\times 7+21=28+21=49$ et $4\times 2-5=8-5=3$

Les résultats ne sont pas égaux. Par conséquent, Jules et Julie n’ont pas pu entrer le nombre 4.

Notons $x$ : le nombre entré au départ par Jules et Julie.

Jules a saisi : $7x+21$ .

Julie a saisi : $2x-5$ .

Nous obtenons l’équation :

$7x+21=2x-5\\7x=2x-5-21\\7x-2x=-26\\5x=-26\\x=\frac{-26}{5}\\x=-5,2$

Conclusion : Julie et Jules ont saisi le nombre – 5,2.

III. Carte mentale sur les équations :