Arithmétique et logique – exercices de maths 2nde

Exercice 1Multiples

1. \(2\,025\) multiple de \(9\) ?
2. Multiple de \(15\) ⟹ multiple de \(5\) ?
3. Réciproque ? Contre-exemple.

Exercice 2Parité

1. Forme d'un pair, d'un impair.
2. Cube d'un impair impair ?
3. Somme de deux pairs paire ?

Exercice 3Premiers

1. Décompose \(5\,040\).
2. Nombre de diviseurs ?
3. Divisible par tous les entiers de \(1\) à \(10\) ?

Exercice 4Contre-exemples

1. \(2^n + 1\) toujours premier ?
2. \(a^3 = b^3 \Rightarrow a = b\) ?
3. Tout nombre pair est composé ?
4. \(n\) impair ⟹ \(n^2 - 1\) divisible par \(8\) ?

Exercice 5Quantificateurs

1. \(\forall x \in \mathbb{R},\; x^2 + 1 > 0\)
2. \(\exists x \in \mathbb{R},\; x^2 = 2\)
3. \(\forall n \in \mathbb{N},\; \exists m,\; m = 2n\)
4. \(\exists x,\; \forall y,\; x \geq y\)

Exercice 6Implications

1. Losange ⟹ diagonales perpendiculaires.
2. \(x = -3 \Rightarrow x^2 = 9\).
3. Divisible par \(6\) ⟹ divisible par \(3\).

Réciproques ? Vraies ?

Exercice 7Divisibilité par 9

1. \(\overline{ab} = 10a + b\).
2. \(\overline{ab}\) divisible par \(9\) ⟺ \(a + b\) divisible par \(9\) ?
3. Trois chiffres ?

Exercice 8Consécutifs

1. Produit de trois consécutifs multiple de \(6\) ?
2. Somme de trois consécutifs multiple de \(3\) ?
3. Somme de deux consécutifs impaire ?

Exercice 9Absurde

1. Pas d'entier \(n\) avec \(n^2 = 3\).
2. \(\sqrt{5}\) irrationnel.
3. Infinité de premiers.

Exercice 10Problème

1. \(n^3 - n\) divisible par \(6\) ?
2. \(n^5 - n\) divisible par \(5\) ? (teste puis explique)
3. \(\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) entier ?