Sommes de variables et inégalités de concentration – exercices de maths Terminale

Exercice 1Linéarité

1. \(E(X) = 4\), \(E(Y) = -2\) : \(E(X + Y)\), \(E(3X - 2Y)\), \(E(X + 7)\) ?
2. Deux dés : \(E(X + Y)\) sans la loi de la somme ?

Exercice 2Variance

\(V(X) = 9\), \(V(Y) = 16\), indépendantes.

1. \(V(X + Y)\), \(V(X - Y)\), \(V(2X)\), \(V(3X + Y)\) ?
2. \(\sigma(X + Y)\) ?

Exercice 3Bernoulli

1. Somme de \(n\) Bernoulli indépendantes de paramètre \(p\) ?
2. \(E = np\), \(V = np(1-p)\) ?

Exercice 4Échantillon

\(\mu = 80\), \(\sigma = 12\), moyenne \(M_n\).

1. \(E(M_n)\), \(V(M_n)\) ?
2. \(n\) pour \(\sigma(M_n) \leq 1{,}5\) ?

Exercice 5Bienaymé-Tchebychev

\(E = 30\), \(V = 25\).

1. Majorer \(P(|X - 30| \geq 10)\).
2. Minorer \(P(20 < X < 40)\).
3. \(\delta = 3\) ?

Exercice 6Binomiale

\(\mathcal{B}(900\,;\,0{,}5)\).

1. \(E\), \(V\) ?
2. Majorer \(P(|X - 450| \geq 45)\).
3. Comparer à la calculatrice.

Exercice 7Concentration

\(n\) lancers, \(F_n\) fréquence de pile.

1. \(E(F_n)\), \(V(F_n)\) ?
2. \(P(|F_n - 0{,}5| \geq 0{,}02) \leq \dfrac{625}{n}\) ?
3. \(n\) pour \(\leq 0{,}05\) ?

Exercice 8Grands nombres

1. Énoncé ?
2. Fréquence de \(6\) quand \(n \to +\infty\) ?
3. Programme d'illustration.

Exercice 9Deux dés

1. \(E(X)\), \(V(X)\) pour un dé ?
2. \(E(X + Y)\), \(V(X + Y)\) ?
3. \(V(X + Y)\) vs \(V(2X)\) ?

Exercice 10Problème

Volume d'espérance \(50\) cL, écart-type \(1{,}2\) cL, \(n\) bouteilles.

1. \(M_n\) : espérance, variance ?
2. \(n = 144\) : majorer \(P(|M_n - 50| \geq 0{,}4)\).
3. \(n\) pour \(P(|M_n - 50| \geq 0{,}25) \leq 0{,}04\) ?