MATHS PDF

Formulaire de mathématiques

Toutes les formules, propriétés et théorèmes essentiels du collège au lycée

Les mathématiques constituent le socle fondamental de la pensée logique et scientifique, accompagnant chaque élève depuis le collège jusqu'au lycée dans un parcours progressif et structuré. Ce formulaire exhaustif de MATHS PDF rassemble l'ensemble des formules, propriétés et théorèmes indispensables à maîtriser pour réussir en mathématiques, organisés de manière claire et accessible pour faciliter les révisions et la compréhension des concepts essentiels.

Du calcul numérique aux nombres complexes, en passant par la géométrie, les fonctions et les probabilités, chaque notion est présentée avec rigueur et pédagogie, permettant aux élèves de construire des bases solides tout au long de leur scolarité. Les théorèmes fondamentaux comme Pythagore, Thalès ou les identités remarquables y côtoient les outils d'analyse plus avancés tels que la dérivation et l'intégration, offrant ainsi une vision complète du programme mathématique français.

Ce document de référence, disponible gratuitement sur maths-pdf.fr, s'adresse aussi bien aux collégiens découvrant les premières notions d'algèbre et de géométrie qu'aux lycéens se préparant au baccalauréat, constituant un outil précieux pour les révisions, les devoirs surveillés et les examens. Les enseignants y trouveront également une ressource pédagogique complète pour accompagner leurs élèves dans l'apprentissage et la consolidation des acquis mathématiques.

Régulièrement mis à jour selon les évolutions des programmes officiels de l'Éducation nationale, ce formulaire représente une aide incontournable pour progresser efficacement en mathématiques et développer les compétences de raisonnement, d'abstraction et de résolution de problèmes qui seront utiles bien au-delà du cadre scolaire. Retrouvez également sur MATHS PDF des cours complets, des exercices corrigés et des annales pour tous les niveaux.

🔢 Calcul Numérique

Opérations sur les fractions Collège

Addition et soustraction

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd} \qquad \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}$$

Multiplication et division

$$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} \qquad \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$$

Puissances Collège

Produit
$a^n \times a^m = a^{n+m}$
Quotient
$\dfrac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$
Puissance de puissance
$(a^n)^m = a^{n \times m}$
Produit
$(ab)^n = a^n \times b^n$
Quotient
$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$
Exposant négatif
$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$
Exposant nul
$a^0 = 1$ (si $a \neq 0$)
Exposant fractionnaire
$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$

Racines carrées Collège

Produit
$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$
Quotient
$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$
Carré
$(\sqrt{a})^2 = a$
Racine d'un carré
$\sqrt{a^2} = |a|$

Proportionnalité Collège

Produit en croix

Si $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ alors $a \times d = b \times c$

Pourcentages

$$\text{Augmentation de } t\% : N_{final} = N_{initial} \times \left(1 + \frac{t}{100}\right)$$
$$\text{Diminution de } t\% : N_{final} = N_{initial} \times \left(1 - \frac{t}{100}\right)$$
$$\text{Taux d'évolution} : t = \frac{V_f - V_i}{V_i} \times 100$$

📐 Calcul Littéral

Identités remarquables Collège

Les trois identités remarquables

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
$$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$
$$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$$

Développements et factorisations Seconde

Développements

$$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$
$$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$

Factorisation (somme et différence de cubes)

$$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \qquad a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$

Formule du binôme de Newton Terminale

Binôme de Newton

$$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

où $\displaystyle\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ est le coefficient binomial.

⚖️ Équations et Inéquations

Équation du premier degré Collège

$$ax + b = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x = -\frac{b}{a} \quad (a \neq 0)$$

Équation du second degré Première

Forme générale

$ax^2 + bx + c = 0$ avec $a \neq 0$

Discriminant et solutions

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

Si $\Delta > 0$ : deux solutions réelles distinctes

$$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$

Si $\Delta = 0$ : une solution double $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$

Si $\Delta < 0$ : pas de solution réelle

Relations coefficients-racines (Viète)

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \quad \text{et} \quad x_1 \times x_2 = \frac{c}{a}$$

Forme canonique

$$ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a}$$

Systèmes d'équations linéaires Collège

$$\begin{cases} ax + by = e \\ cx + dy = f \end{cases} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{ed - bf}{ad - bc}, \quad y = \frac{af - ec}{ad - bc}$$

Valeur absolue Seconde

Définition

$$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$$
$|x| \geq 0$
$|xy| = |x| \cdot |y|$
$|x + y| \leq |x| + |y|$
$|x| = a \Leftrightarrow x = \pm a$

📈 Fonctions

Fonctions de référence Seconde

FonctionExpressionDomaineVariations
Affine$f(x) = ax + b$$\mathbb{R}$Croissante si $a > 0$
Carré$f(x) = x^2$$\mathbb{R}$↘ sur $]-\infty; 0]$, ↗ sur $[0; +\infty[$
Cube$f(x) = x^3$$\mathbb{R}$Croissante sur $\mathbb{R}$
Inverse$f(x) = \frac{1}{x}$$\mathbb{R}^*$Décroissante sur chaque intervalle
Racine carrée$f(x) = \sqrt{x}$$[0; +\infty[$Croissante
Valeur absolue$f(x) = |x|$$\mathbb{R}$↘ sur $]-\infty; 0]$, ↗ sur $[0; +\infty[$

Fonction affine Collège

$f(x) = ax + b$ où $a$ est le coefficient directeur et $b$ l'ordonnée à l'origine.

$$a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{\Delta y}{\Delta x}$$

Équation de droite passant par deux points

$$y - y_A = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}(x - x_A)$$

Fonction polynôme du second degré Première

Sommet de la parabole

$$S\left(-\frac{b}{2a} ; -\frac{\Delta}{4a}\right)$$

Axe de symétrie

$$x = -\frac{b}{2a}$$

Fonction exponentielle Terminale

$\exp$ est l'unique fonction telle que $\exp' = \exp$ et $\exp(0) = 1$. On note $e = \exp(1) \approx 2,718$

$e^{a+b} = e^a \times e^b$
$e^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b}$
$(e^a)^n = e^{na}$
$e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}$
$e^0 = 1$
$e^x > 0$ pour tout $x$

Limites

$$\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \quad \lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \quad \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$$

Fonction logarithme népérien Terminale

$\ln$ est la fonction réciproque de $\exp$, définie sur $]0; +\infty[$.

$$\ln(e^x) = x \quad \text{et} \quad e^{\ln x} = x$$
$\ln(ab) = \ln a + \ln b$
$\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b$
$\ln(a^n) = n \ln a$
$\ln(1) = 0$, $\ln(e) = 1$

Dérivée et limites

$$(\ln x)' = \frac{1}{x} \quad \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty \quad \lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty \quad \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$$

📏 Géométrie

Théorème de Pythagore Collège

Énoncé

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

$$BC^2 = AB^2 + AC^2$$

Réciproque

Si $BC^2 = AB^2 + AC^2$, alors le triangle est rectangle en $A$.

Théorème de Thalès Collège

Énoncé

Si $(BC) \parallel (B'C')$, alors :

$$\frac{AB'}{AB} = \frac{AC'}{AC} = \frac{B'C'}{BC}$$

Périmètres et aires Collège

FigurePérimètreAire
Rectangle$2(L + l)$$L \times l$
Carré$4c$$c^2$
Triangle$a + b + c$$\frac{b \times h}{2}$
Parallélogramme$2(a + b)$$b \times h$
TrapèzeSomme des côtés$\frac{(B + b) \times h}{2}$
Losange$4c$$\frac{d_1 \times d_2}{2}$
Cercle$2\pi r$$\pi r^2$

Volumes Collège

SolideVolumeAire
Cube$c^3$$6c^2$
Pavé droit$L \times l \times h$$2(Ll + Lh + lh)$
Cylindre$\pi r^2 h$$2\pi r(r + h)$
Cône$\frac{1}{3}\pi r^2 h$$\pi r(r + g)$
Pyramide$\frac{1}{3} B \times h$Somme des faces
Sphère$\frac{4}{3}\pi r^3$$4\pi r^2$

Géométrie repérée Seconde

Distance entre deux points

$$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$

Coordonnées du milieu

$$I\left(\frac{x_A + x_B}{2} ; \frac{y_A + y_B}{2}\right)$$

Vecteurs Seconde

$$\vec{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} \qquad \|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$$

Colinéarité

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si : $x_u y_v - x_v y_u = 0$

Produit scalaire Première

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\vec{u}, \vec{v}) = x_u x_v + y_u y_v$$

Orthogonalité

$\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$

Théorème d'Al-Kashi

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos(\widehat{A})$$

Équations de droites Seconde

$$y = ax + b \quad \text{ou} \quad ax + by + c = 0$$

Parallèles : $a = a'$    Perpendiculaires : $a \times a' = -1$

Équation de cercle Seconde

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \quad \text{Centre } \Omega(a; b) \text{ et rayon } r$$

🔺 Trigonométrie

Triangle rectangle Collège

Cosinus
$\cos(\alpha) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$
Sinus
$\sin(\alpha) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$
Tangente
$\tan(\alpha) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} = \dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$

Cercle trigonométrique Seconde

Relation fondamentale

$$\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$$

Valeurs remarquables

Angle$0$$\frac{\pi}{6}$$\frac{\pi}{4}$$\frac{\pi}{3}$$\frac{\pi}{2}$$\pi$
cos$1$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\frac{1}{2}$$0$$-1$
sin$0$$\frac{1}{2}$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$1$$0$

Formules de trigonométrie Première

Formules d'addition

$$\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$$
$$\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$$

Formules de duplication

$$\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$$
$$\sin(2a) = 2\sin a \cos a$$

Loi des sinus Première

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

🎲 Probabilités et Statistiques

Statistiques descriptives Collège

$$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} \qquad V(X) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 \qquad \sigma = \sqrt{V(X)}$$

Probabilités Seconde

$$P(A) = \frac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}} \qquad P(\bar{A}) = 1 - P(A) \qquad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

Probabilités conditionnelles Première

$$P_B(A) = P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

Formule des probabilités totales

$$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \times P_{B_i}(A)$$

Indépendance

$A$ et $B$ sont indépendants si : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

Variables aléatoires Première

$$E(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(X = x_i) \qquad V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \qquad \sigma(X) = \sqrt{V(X)}$$
$$E(aX + b) = aE(X) + b \qquad V(aX + b) = a^2 V(X)$$

Loi binomiale Première

$X \sim \mathcal{B}(n, p)$ :

$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$
Espérance
$E(X) = np$
Variance
$V(X) = np(1-p)$
Écart-type
$\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$

Loi normale Terminale

Loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0, 1)$ :

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$$

Si $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$, alors $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0, 1)$

Dénombrement Première

$$n! = n \times (n-1) \times \ldots \times 1 \qquad \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$
$\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$
$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$
$\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$

∞ Suites numériques

Suite arithmétique Première

$(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ si : $u_{n+1} = u_n + r$

$$u_n = u_0 + nr \qquad S_n = (n+1) \times \frac{u_0 + u_n}{2} \qquad 1 + 2 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}$$

Suite géométrique Première

$(u_n)$ est géométrique de raison $q$ si : $u_{n+1} = u_n \times q$

$$u_n = u_0 \times q^n \qquad S_n = u_0 \times \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \quad (q \neq 1)$$

Limites de suites Terminale

$\lim\limits_{n \to +\infty} n^p = +\infty$
$\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{1}{n^p} = 0$
$\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = +\infty$ si $q > 1$
$\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = 0$ si $|q| < 1$

Théorème des gendarmes

Si $u_n \leq v_n \leq w_n$ et $\lim u_n = \lim w_n = \ell$, alors $\lim v_n = \ell$.

∂ Dérivation

Définition Première

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

Équation de la tangente

$$y = f'(a)(x - a) + f(a)$$

Dérivées usuelles Première

$f(x)$$f'(x)$$f(x)$$f'(x)$
$k$$0$$e^x$$e^x$
$x^n$$nx^{n-1}$$\ln x$$\frac{1}{x}$
$\frac{1}{x}$$-\frac{1}{x^2}$$\cos x$$-\sin x$
$\sqrt{x}$$\frac{1}{2\sqrt{x}}$$\sin x$$\cos x$

Opérations sur les dérivées Première

FonctionDérivée
$u + v$$u' + v'$
$ku$$ku'$
$uv$$u'v + uv'$
$\frac{u}{v}$$\frac{u'v - uv'}{v^2}$
$u^n$$nu'u^{n-1}$
$e^u$$u'e^u$
$\ln u$$\frac{u'}{u}$

Variations Première

• $f'(x) > 0$ ⟹ $f$ croissante    • $f'(x) < 0$ ⟹ $f$ décroissante    • $f'(x) = 0$ ⟹ $f$ constante

Convexité Terminale

• $f$ convexe ⟺ $f''(x) \geq 0$ ⟺ $f'$ croissante

• $f$ concave ⟺ $f''(x) \leq 0$ ⟺ $f'$ décroissante

• Point d'inflexion : $f''$ s'annule en changeant de signe

∫ Intégration

Primitives Terminale

$f(x)$$F(x)$$f(x)$$F(x)$
$x^n$ ($n \neq -1$)$\frac{x^{n+1}}{n+1}$$e^x$$e^x$
$\frac{1}{x}$$\ln|x|$$e^{ax}$$\frac{1}{a}e^{ax}$
$\cos x$$\sin x$$\frac{u'}{u}$$\ln|u|$
$\sin x$$-\cos x$$u'e^u$$e^u$

Intégrale définie Terminale

$$\int_a^b f(x)\,dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$$
$$\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx \qquad \int_a^b f + \int_b^c f = \int_a^c f$$

Intégration par parties Terminale

$$\int_a^b u(x) v'(x)\,dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x) v(x)\,dx$$

Valeur moyenne Terminale

$$\mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$$

ℂ Nombres Complexes

Forme algébrique Terminale

$z = a + ib$ avec $a = \text{Re}(z)$, $b = \text{Im}(z)$, et $i^2 = -1$

$$\bar{z} = a - ib \qquad |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \qquad z \cdot \bar{z} = |z|^2$$

Forme exponentielle Terminale

Formule d'Euler

$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta \qquad z = re^{i\theta} = r(\cos\theta + i\sin\theta)$$
$$z_1 \times z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)} \qquad \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1 - \theta_2)} \qquad z^n = r^n e^{in\theta}$$

Formule de Moivre

$$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$$

Équations dans ℂ Terminale

Équation du second degré ($\Delta < 0$)

$$z = \frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$$

Racines n-ièmes de l'unité

$$z_k = e^{i\frac{2k\pi}{n}} \quad (k = 0, 1, \ldots, n-1)$$

Interprétation géométrique Terminale

$$AB = |z_B - z_A| \qquad z_I = \frac{z_A + z_B}{2}$$

Transformations

Translation : $z' = z + z_{\vec{u}}$

Rotation : $z' - z_\Omega = e^{i\theta}(z - z_\Omega)$

Homothétie : $z' - z_\Omega = k(z - z_\Omega)$