Produit scalaire dans l'espace : cours de maths en terminale.

Le produit scalaire dans l’espace à travers un cours de maths en terminale complet à télécharger en PDF. Vous devrez connaître les propriétés de linéarité et de symétrie du produit scalaire. Pouvoir déterminer si deux vecteurs sont colinéaires ou orthogonaux puis, déterminer l’équation d’une droite ou d’un plan connaissant un vecteur directeur ou un vecteur normal en terminale.

I. Le produit scalaire dans l’espace

1.Approche géométrique du produit scalaire

Définition :

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de l’espace, et A,B,C trois points tels que $\vec{u}=\vec{AB}$ et $\vec{v}=\vec{AC}$ .Il existe au moins un plan P contenant les point A, B et C.

On appelle produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ , le produit scalaire $\vec{AB}.\vec{AC}$ calculé dans le plan P.

Ainsi :

Si u et v sont non nuls,

$\vec{u}.\vec{v}=AB\times AC\times cos(\widehat{BAC})$ ;

Si u=0 ou v=0, le produit scalaire de u et v est nul : $\vec{u}.\vec{0}=0$ et $\vec{0}.\vec{v}=0$ .

Exemple :

ABCDEFGH est un cube d’arête a.

Soit $\vec{u}=\vec{BF}$ et $\vec{v}=\vec{AH}=\vec{BG}$ .

$\vec{u}.\vec{v}=\vec{BF}.\vec{AH}=\vec{BF}.\vec{BG}=BF\times BG\times cos(\widehat{FBG})$

donc $\vec{u}.\vec{v}=a\times a\sqrt{2}\times cos(\frac{\pi}{4})=a\times a\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=a^2$

Propriété:

Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs non nuls tels que $\vec{u}=\vec{AB}$ et $\vec{v}=\vec{AC}$ , alors :

$\vec{u}.\vec{v}=\vec{AB}. \vec{AC}=\vec{AB}. \vec{AH}=\vec{AK}. \vec{AC}$

où H est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB) et K est le projeté orthogonal de B sur la droite (AC) .

Si $\vec{u}$ , $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont trois vecteurs de l’espace et k un nombre réel alors :

$\vec{u}.(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w}$
$\vec{u}.\vec{v}=\vec{v}.\vec{u}$
$(k\vec{u}).\vec{v}=\vec{u}.(k\vec{v})=k(\vec{u}.\vec{v)}$

2.Caractérisation vectorielle de l’orthogonalité

Définition :

Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si, et seulement s’ils dirigent des droites orthogonales. Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs de l’espace.

Propriété :

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si, et seulement si, $\vec{u}.\vec{v}=0$ .

3.Expression analytique du produit scalaire

Propriété :

Dans un repère orthonormé (O, i, j, k) de l’espace, on considère les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de coordonnées respectives (x, y, z) et (x’, y’, z’),Nous avons $\vec{u}.\vec{v}=xx'+yy'+zz'$ .

En particuliers, $\vec{u}.\vec{u}=x^2 +y^2 +z^2$ et $\left \|\vec{u} \right \|=\sqrt{\vec{u}.\vec{u}}=\sqrt{x^2 +y^2 +z^2}$ .

II. Applications du produit scalaire

1.Vecteur normal à un plan

Définition :

Un vecteur $\vec{n}$ non nul est dit orthogonal à un plan si ce vecteur est un vecteur directeur d’une droite orthogonale à ce plan. Ce vecteur est alors appelé vecteur normal au plan.

Théorème :

Une droite (d) est orthogonale à toute droite d’un plan P si, et seulement si, elle est orthogonale à deux droites sécantes $(d_1)$ et $(d_2)$ de ce plan.

2.Equation cartésienne d’un plan

Propriété :

Soit un vecteur $\vec{n}$ non nul et A un point de l’espace. L’unique plan P passant par A et de vecteur normal $\vec{n}$ est l’ensemble des points M de l’espace tels que :

$\vec{AM}.\vec{n}=0$ .

Propriété :

Dans un repère orthonormé, un plan P de vecteur normal $\vec{n}(a,b,c)$ a une équation de la forme $ax+by+cz+d=0$ .Réciproquement, si a, b et c ne sont pas tous les trois nuls, l’ensemble (E) des points M(x, y, z) tels que

$ax+by+cz+d=0$ est un plan de vecteur normal $\vec{n}(a,b,c)$ .