Quiz arithmétique des entiers relatifs en L1

Quiz arithmétique des entiers relatifs en L1 de maths

Dix questions express pour calculer un PGCD de tête, manier les restes modulo n et repérer l'hypothèse qui manque dans Gauss, Bézout ou Fermat.

Ce que ce quiz de L1 fait réviser

Ce quiz rapide fait travailler les réflexes d'arithmétique dans Z attendus en première année : division euclidienne avec un dividende négatif, PGCD et PPCM, coefficients de Bézout, lemme de Gauss, nombre de diviseurs à partir de la décomposition en facteurs premiers et calculs de congruences. Plusieurs questions testent l'hypothèse oubliée, piège classique des copies, notamment dans le petit théorème de Fermat.

Fais-le avant un TD ou une interrogation, sans calculatrice. Pour chaque erreur, refais le calcul à la main : remonte l'algorithme d'Euclide pour Bézout, réduis la base modulo n avant de chercher une puissance qui vaut 1. Avant un partiel, recommence jusqu'à dix sur dix, puis entraîne-toi à résoudre complètement une équation diophantienne en écrivant toutes les solutions.

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Questions fréquentes : arithmétique des entiers relatifs en L1

Le reste d'une division euclidienne peut-il être négatif ?

Non. Dans Z, le reste de la division de a par b non nul est toujours compris entre 0 inclus et la valeur absolue de b exclue. Avec un dividende négatif, c'est le quotient qui s'ajuste.

Comment savoir si une équation ax + by = c a des solutions entières ?

Elle en a si et seulement si le PGCD de a et b divise c. Dans ce cas, il y en a une infinité, obtenues à partir d'une solution particulière.

Quelle différence entre le théorème de Bézout et l'identité de Bézout ?

L'identité affirme qu'on peut écrire le PGCD comme combinaison entière de a et b. Le théorème dit que a et b sont premiers entre eux si et seulement si on peut obtenir 1 de cette façon.

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Que vaut \(\mathrm{pgcd}(84,126)\) ?

Division euclidienne de \(-17\) par 5 : quotient et reste ?

Reste de \(7^{100}\) dans la division par 5 :

Un couple d'entiers \((u,v)\) tel que \(13u+8v=1\) :

Pour déduire \(a \mid c\) de \(a \mid bc\), le lemme de Gauss exige :

Si \(\mathrm{pgcd}(a,b)=6\) et \(ab=360\), alors \(\mathrm{ppcm}(a,b)\) vaut :

Nombre de diviseurs positifs de \(360=2^3\times 3^2\times 5\) :

Le petit théorème de Fermat \(a^{p-1}\equiv 1 \pmod p\) exige :

Pour prouver qu'il y a une infinité de nombres premiers, Euclide considère :

L'équation \(6x+9y=7\) d'inconnues entières :

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