Quiz division, racines et factorisation en L1

Quiz division, racines et factorisation en L1 de maths

Dix questions express pour vérifier tes réflexes sur les polynômes : restes de divisions, multiplicités, factorisations réelles et complexes, relations entre coefficients et racines.

Ce que ce quiz de L1 fait réviser

Ce quiz rapide passe en revue les automatismes du chapitre polynômes de licence : trouver un reste sans poser la division, déterminer une multiplicité avec les dérivées successives, factoriser dans R[X] ou C[X], lire la somme et le produit des racines sur les coefficients. Il rappelle aussi ce que garantit le théorème de d'Alembert-Gauss et ce qu'il ne dit pas.

Fais-le avant un TD ou un partiel pour repérer les automatismes qui manquent encore. En cas d'erreur sur un reste, évalue le dividende en chaque racine du diviseur : c'est souvent plus rapide que la division posée. Pour une factorisation réelle, regroupe les racines complexes conjuguées deux par deux. Vise au moins 8 sur 10 avant l'examen ; sinon, refais à la main les exemples du cours et compare avec l'arithmétique des entiers, où PGCD et Bézout fonctionnent de la même façon.

Aller plus loin sur division, racines et factorisation

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Questions fréquentes : division, racines et factorisation en L1

Comment obtenir un reste sans poser la division euclidienne ?

Le reste a un degré strictement inférieur à celui du diviseur. On l'écrit avec des coefficients inconnus puis on évalue l'égalité en chaque racine du diviseur, ce qui donne un système simple.

Comment trouver la multiplicité d'une racine a ?

On calcule P(a), P'(a), P''(a) et ainsi de suite. La multiplicité est le nombre de ces valeurs nulles avant la première non nulle, en caractéristique nulle.

Le théorème de d'Alembert-Gauss donne-t-il des racines réelles ?

Non. Il assure qu'un polynôme complexe non constant possède une racine dans C. Un polynôme réel de degré impair a cependant toujours une racine réelle, par le théorème des valeurs intermédiaires.

Quiz division, racines et factorisation en L1 de maths

Reste de la division de \(X^5 + 2X\) par \(X - 1\) ?

Reste de la division de \(X^{10}\) par \(X^2 - 1\) ?

Multiplicité de la racine 1 dans \(X^4 - 2X^3 + 2X - 1\) ?

Degré maximal d'un polynôme irréductible de \(\mathbb{R}[X]\) ?

Somme des racines complexes de \(2X^3 - 6X^2 + X + 5\) ?

Produit des racines complexes de \(X^4 + 3X - 7\) ?

Factorisation de \(X^4 + 4\) dans \(\mathbb{R}[X]\) ?

D'après d'Alembert-Gauss, un polynôme complexe de degré 6 possède, comptées avec multiplicité…

Polynôme réel unitaire de plus petit degré admettant \(2+i\) pour racine ?

PGCD unitaire de \(X^2 - 1\) et \(X^2 - 3X + 2\) ?

Ce que ce quiz de L1 fait réviser

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