Livre de contrôles corrigés de maths de L1 en PDF

Les sujets

1. 1

   Négations et types de démonstration

   p. 6
   • Durée : 1 heure
   • Calculatrice interdite
   • 5 exercices
   • Écrire la négation d'une phrase comportant plusieurs quantificateurs et décider de sa vérité sur un graphe
   • Comparer des implications emboîtées à l'aide de tables de vérité
   • Rédiger une preuve par contraposée puis une preuve par l'absurde en annonçant la méthode
   • Corrigé détaillé page 84
2. 2

   Images réciproques et relations d'ordre

   p. 9
   • Durée : 2 heures
   • Calculatrice interdite
   • 5 exercices
   • Démontrer une égalité d'ensembles par double inclusion
   • Calculer une image directe et une image réciproque par une fonction du second degré
   • Prouver qu'une application du plan est bijective et expliciter sa réciproque
   • Corrigé détaillé page 89
3. 3

   Récurrence forte et identités binomiales

   p. 12
   • Durée : 1 heure
   • Calculatrice interdite
   • 5 exercices
   • Rédiger une récurrence simple puis une récurrence forte avec une hypothèse clairement énoncée
   • Calculer une somme et un produit par télescopage après un changement d'indice
   • Démontrer la formule de Pascal à partir des factorielles et l'utiliser dans le triangle
   • Corrigé détaillé page 94
4. 4

   Forme exponentielle et linéarisation

   p. 15
   • Durée : 1 h 30
   • Calculatrice interdite
   • 5 exercices
   • Écrire un nombre complexe sous forme exponentielle et calculer une puissance ou un quotient
   • Linéariser le cube d'un cosinus avec les formules d'Euler, puis l'exploiter dans une intégrale
   • Calculer les racines quatrièmes d'un complexe et les représenter sur un cercle
   • Corrigé détaillé page 98
5. 5

   Borne supérieure et propriété d'Archimède

   p. 18
   • Durée : 1 heure
   • Calculatrice interdite
   • 5 exercices
   • Résoudre une inéquation avec valeurs absolues et majorer une expression sur un intervalle
   • Prouver qu'un réel est la borne supérieure d'une partie grâce à la caractérisation par epsilon
   • Utiliser la propriété d'Archimède et la partie entière dans une démonstration
   • Corrigé détaillé page 103
6. 6

   Limites de suites en epsilon

   p. 21
   • Durée : 1 h 30
   • Calculatrice interdite
   • 5 exercices
   • Prouver une limite finie ou infinie en revenant à la définition avec epsilon
   • Encadrer une somme ou une racine n-ième pour appliquer le théorème des gendarmes
   • Justifier ou réfuter une affirmation sur les suites bornées à l'aide de sous-suites
   • Corrigé détaillé page 106
7. 7

   Continuité uniforme et bijection continue

   p. 24
   • Durée : 1 h 30
   • Calculatrice interdite
   • 5 exercices
   • Prouver une limite en un point ou en l'infini en revenant à la définition avec epsilon et delta
   • Établir une discontinuité à l'aide de deux suites de même limite dont les images divergent
   • Construire une fonction auxiliaire dont le changement de signe permet d'invoquer le TVI
   • Corrigé détaillé page 110
8. 8

   Théorème de Rolle et dérivées n-ièmes

   p. 27
   • Durée : 1 h 30
   • Calculatrice interdite
   • 5 exercices
   • Redémontrer le théorème de Rolle à partir du théorème des bornes atteintes
   • Étudier la dérivabilité en un point par le taux d'accroissement, à gauche et à droite
   • Compter les racines réelles d'un polynôme en combinant Rolle et valeurs intermédiaires
   • Corrigé détaillé page 115
9. 9

   Équations avec arctan, ch et sh

   p. 30
   • Durée : 1 heure
   • Calculatrice interdite
   • 5 exercices
   • Calculer des expressions du type arcsin(sin a) en ramenant l'angle dans l'intervalle image de la fonction arc
   • Établir une identité avec arctan par la dérivation, en traitant séparément chaque intervalle du domaine
   • Résoudre une équation en ch et sh par le changement d'inconnue X = exp(x)
   • Corrigé détaillé page 121
10. 10

    Partiel d'analyse du premier semestre

    p. 33
    • Durée : 3 heures
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Démontrer le théorème de la limite monotone et l'égalité des accroissements finis à partir du cours
    • Déterminer une borne supérieure ou inférieure par la caractérisation epsilon et la propriété d'Archimède
    • Prouver une limite de suite ou de fonction en revenant à la définition avec epsilon
    • Corrigé détaillé page 126
11. 11

    Algorithme d'Euclide et diophantiennes

    p. 36
    • Durée : 1 h 30
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Présenter l'algorithme d'Euclide étendu en tableau pour obtenir un PGCD et des coefficients de Bézout
    • Résoudre une équation diophantienne du premier degré en justifiant la forme générale par le lemme de Gauss
    • Calculer des restes modulo n grâce aux cycles de puissances et au petit théorème de Fermat
    • Corrigé détaillé page 131
12. 12

    Multiplicités et factorisation dans R[X]

    p. 39
    • Durée : 1 h 30
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Démontrer qu'un polynôme non nul de degré n admet au plus n racines
    • Effectuer une division euclidienne et calculer un reste par évaluation en des racines
    • Déterminer la multiplicité d'une racine à l'aide des polynômes dérivés
    • Corrigé détaillé page 135
13. 13

    Échelonnement et systèmes à paramètre

    p. 42
    • Durée : 1 h 30
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Échelonner un système linéaire par opérations élémentaires et paramétrer ses solutions
    • Discuter un système 3×3 selon un paramètre et interpréter chaque cas comme une intersection de trois plans
    • Calculer des produits de matrices et en déduire une inverse à partir d'une relation polynomiale
    • Corrigé détaillé page 139
14. 14

    Partiel d'algèbre du premier semestre

    p. 45
    • Durée : 3 heures
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Rédiger les preuves de cours du lemme de Gauss, de la factorisation par X - a et de l'inverse d'un produit
    • Résoudre une équation diophantienne et réduire une grande puissance modulo un nombre premier
    • Déterminer une multiplicité par les dérivées puis factoriser un polynôme dans R[X] et C[X]
    • Corrigé détaillé page 143
15. 15

    Calculs d'intégrales et sommes de Riemann

    p. 48
    • Durée : 1 h 30
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Calculer une intégrale par une ou deux intégrations par parties
    • Choisir et justifier un changement de variable adapté
    • Reconnaître une somme de Riemann et en déduire la limite d'une suite
    • Corrigé détaillé page 147
16. 16

    Éléments simples et primitives

    p. 51
    • Durée : 1 heure
    • Calculatrice interdite
    • 4 exercices
    • Énoncer la forme de la décomposition en éléments simples sur R et justifier la formule du pôle simple
    • Obtenir les coefficients par évaluation, par une limite en l'infini ou par évaluation en i
    • Primitiver un élément de seconde espèce grâce au logarithme et à l'arctangente
    • Corrigé détaillé page 151
17. 17

    Variation de la constante et Cauchy

    p. 55
    • Durée : 1 h 30
    • Calculatrice interdite
    • 4 exercices
    • Résoudre une équation linéaire du premier ordre par la méthode de variation de la constante
    • Résoudre une équation du second ordre à coefficients constants avec un second membre polynomial, exponentiel ou trigonométrique
    • Traiter un cas de résonance en passant par un second membre complexe
    • Corrigé détaillé page 155
18. 18

    Limites et asymptotes par DL

    p. 58
    • Durée : 1 h 30
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Calculer un développement limité par produit, composition ou changement de variable
    • Lever une forme indéterminée en développant numérateur et dénominateur au bon ordre
    • Trouver un équivalent simple d'une différence sans soustraire des équivalents
    • Corrigé détaillé page 159
19. 19

    Partiel de calcul intégral

    p. 61
    • Durée : 3 heures
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Énoncer et démontrer le théorème fondamental de l'analyse pour une fonction continue
    • Décomposer une fraction rationnelle en éléments simples pour en calculer une primitive
    • Calculer une intégrale définie par un changement de variable bien justifié
    • Corrigé détaillé page 163
20. 20

    Bases et dimension de sous-espaces

    p. 64
    • Durée : 1 h 30
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Prouver qu'une partie de R^4 ou d'un espace de polynômes est un sous-espace vectoriel, ou réfuter cette propriété par un contre-exemple
    • Calculer le rang d'une famille de vecteurs et en extraire une base de l'espace engendré
    • Déterminer une base et la dimension d'un espace de polynômes ou de suites récurrentes
    • Corrigé détaillé page 167
21. 21

    Noyau, image et projecteurs

    p. 68
    • Durée : 1 h 30
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Démontrer qu'une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est réduit au vecteur nul
    • Déterminer une base du noyau et de l'image d'un endomorphisme de R^3 ou d'une application définie sur R_3[X]
    • Appliquer le théorème du rang pour obtenir une dimension sans calcul supplémentaire
    • Corrigé détaillé page 172
22. 22

    Matrices de passage et similitude

    p. 71
    • Durée : 1 h 30
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Représenter une application linéaire par sa matrice relativement à des bases imposées, au départ comme à l'arrivée
    • Construire une matrice de passage, calculer son inverse et l'utiliser pour obtenir de nouvelles coordonnées
    • Appliquer la formule de changement de base et contrôler le résultat par la trace
    • Corrigé détaillé page 177
23. 23

    Comatrice, inversibilité et aires

    p. 74
    • Durée : 1 h 30
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Calculer un déterminant par opérations élémentaires puis par développement selon une ligne
    • Relier la valeur absolue d'un déterminant 2×2 à l'aire d'un parallélogramme ou d'un triangle
    • Discuter un système linéaire à paramètre et le résoudre par les formules de Cramer
    • Corrigé détaillé page 183
24. 24

    Distances et produit vectoriel

    p. 77
    • Durée : 1 h 30
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Calculer un produit vectoriel et un produit mixte, puis les interpréter en aires et en volumes
    • Écrire l'équation cartésienne d'un plan défini par trois points grâce à un vecteur normal
    • Déterminer la droite d'intersection de deux plans sécants sous forme paramétrique
    • Corrigé détaillé page 188
25. 25

    Dénombrements et variables aléatoires finies

    p. 80
    • Durée : 1 h 30
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Dénombrer des mains de cartes à l'aide des combinaisons et du passage au complémentaire
    • Appliquer la formule d'inclusion-exclusion à trois ensembles finis
    • Construire un arbre pondéré, puis utiliser les probabilités totales et la formule de Bayes
    • Corrigé détaillé page 192