Manuel de cours de maths de L3 en PDF

Topologie

1. 1

   Distances, topologie métrique et continuité

   p. 5
   • Distances et espaces métriques
   • Boules, ouverts, fermés et voisinages
   • Intérieur, adhérence, frontière et suites
   • Applications continues entre espaces métriques
   • Homéomorphismes et distances équivalentes
   • Espace produit
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
2. 2

   Suites de Cauchy, espaces complets et point fixe

   p. 16
   • Suites de Cauchy dans un espace métrique
   • Espaces complets : définition et exemples fondamentaux
   • Construire un espace non complet
   • Applications contractantes et théorème du point fixe
   • Vitesse de convergence et estimation d'erreur
   • Prolongement des applications uniformément continues
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
3. 3

   Espaces de Banach et opérateurs linéaires continus

   p. 26
   • Normes et normes équivalentes
   • Espaces de suites et de fonctions
   • Espaces de Banach
   • Opérateurs continus et norme subordonnée
   • La dimension finie
   • Applications multilinéaires continues
   • Le théorème de Riesz
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
4. 4

   Borel-Lebesgue, compacité séquentielle et connexité

   p. 37
   • Compacité séquentielle
   • La propriété de Borel-Lebesgue
   • Fonctions continues sur un compact
   • Connexité
   • Connexité par arcs
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo

Analyse

1. 5

   Tribus boréliennes et mesure de Lebesgue sur R

   p. 48
   • Ensembles dénombrables
   • Algèbres et tribus
   • La tribu borélienne de la droite réelle
   • Mesures positives et continuité
   • Construction de la mesure de Lebesgue
   • Ensembles négligeables et presque partout
   • Fonctions mesurables et fonctions étagées
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
2. 6

   Beppo Levi, Fatou et convergence dominée

   p. 59
   • Intégrale des fonctions mesurables positives
   • La convergence monotone de Beppo Levi
   • Le lemme de Fatou
   • Fonctions intégrables et espace L¹
   • Théorèmes de convergence de Lebesgue : la convergence dominée
   • Intégrales à paramètre
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
3. 7

   Tonelli, Fubini et changement de variables

   p. 71
   • Tribu produit et mesure produit
   • Le théorème de Fubini-Tonelli pour les fonctions positives
   • Fubini pour les fonctions intégrables
   • La mesure de Lebesgue en dimension n
   • Changement de variables et jacobien
   • Convolution de deux fonctions intégrables
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
4. 8

   Inégalités de Hölder et espaces L^p complets

   p. 81
   • Convexité et inégalité de Jensen
   • Inégalités de Hölder et de Minkowski
   • Les espaces L^p et L^∞
   • Complétude : le théorème de Riesz-Fischer
   • Inclusions entre espaces L^p
   • Densité dans les espaces L^p
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
5. 9

   Cauchy-Lipschitz, Gronwall et systèmes autonomes

   p. 92
   • Problème de Cauchy et solutions maximales
   • Le théorème de Cauchy-Lipschitz
   • Le lemme de Gronwall
   • Théorème des bouts et solutions globales
   • Systèmes linéaires et exponentielle de matrice
   • Systèmes autonomes et portrait de phase
   • Stabilité, linéarisation et méthode d'Euler
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
6. 10

   Holomorphie, formule de Cauchy et Liouville

   p. 102
   • Holomorphie et conditions de Cauchy-Riemann
   • Fonctions analytiques, exponentielle et logarithme
   • Intégrale le long d'un chemin
   • Le théorème de Cauchy sur un ouvert étoilé
   • La formule intégrale de Cauchy et l'analyticité
   • Zéros isolés, théorème de Liouville et principe du maximum
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
7. 11

   Séries de Laurent, résidus et intégrales réelles

   p. 114
   • Séries de Laurent sur une couronne
   • Singularités isolées et fonctions méromorphes
   • Indice d'un lacet
   • Calcul des résidus et théorème des résidus
   • Intégrales réelles par la méthode des résidus
   • Principe de l'argument et théorème de Rouché
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
8. 12

   Bases hilbertiennes, L^2 et transformée de Fourier

   p. 124
   • Espaces de Hilbert
   • Projection sur un convexe fermé
   • Le théorème de représentation de Riesz
   • Bases hilbertiennes, Bessel et Parseval
   • Séries de Fourier dans L2 et théorème de Fejér
   • Transformée de Fourier dans L1
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo

Algèbre

1. 13

   Sous-groupes distingués et groupes quotients

   p. 134
   • Classes à gauche et à droite
   • Sous-groupes distingués
   • Construction des groupes quotients
   • Les théorèmes d'isomorphisme
   • Groupes cycliques et Z/nZ
   • Groupe symétrique, signature et groupe alterné
   • Groupes diédraux
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
2. 14

   Actions de groupes, formule des classes et Sylow

   p. 144
   • Actions de groupes sur un ensemble
   • Orbites, stabilisateurs et comptage
   • Conjugaison, centre et formule des classes
   • Les p-groupes
   • Les théorèmes de Sylow
   • Applications aux groupes d'ordre donné
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
3. 15

   Idéaux premiers, anneaux principaux et factoriels

   p. 154
   • Anneaux commutatifs, morphismes et idéaux
   • Idéaux premiers et idéaux maximaux
   • Anneaux intègres et corps des fractions
   • Anneaux euclidiens, principaux et factoriels
   • Polynômes : lemme de Gauss et critère d'Eisenstein
   • Les entiers de Gauss
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
4. 16

   Extensions algébriques et corps finis

   p. 165
   • Caractéristique et sous-corps premier
   • Extensions de corps et degré
   • Éléments algébriques, transcendants et polynôme minimal
   • Corps de rupture et corps de décomposition
   • Application : constructions à la règle et au compas
   • Les corps finis
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
5. 17

   Dunford, Jordan et endomorphismes nilpotents

   p. 177
   • Polynôme minimal et lemme des noyaux
   • Sous-espaces caractéristiques
   • La décomposition de Dunford
   • Endomorphismes nilpotents et noyaux itérés
   • La réduction de Jordan
   • Similitude et invariants
   • Dualité : base duale, orthogonal et transposée
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo

Calcul différentiel

1. 18

   Différentielle de Fréchet et formules de Taylor

   p. 190
   • Construction de la différentielle de Fréchet
   • Dérivées directionnelles et dérivées partielles
   • Opérations sur les différentielles et composée
   • Classe C^1 et matrice jacobienne
   • Inégalité des accroissements finis
   • Différentielles d'ordre supérieur et formules de Taylor
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
2. 19

   Théorèmes d'inversion locale et des fonctions implicites

   p. 201
   • Difféomorphismes entre ouverts
   • Le théorème d'inversion locale
   • Inversion globale et difféomorphismes
   • Le théorème des fonctions implicites
   • Sous-variétés de R^n et espace tangent
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
3. 20

   Optimisation : extrema liés, Lagrange et convexité

   p. 212
   • Extrema libres sur un ouvert
   • Existence d'un extremum : compacité et coercivité
   • Extrema liés et multiplicateurs de Lagrange
   • Convexité et minimisation
   • Interpréter les multiplicateurs de Lagrange
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo

Probabilités

1. 21

   Loi, espérance et indépendance en théorie de la mesure

   p. 226
   • Espace probabilisé et loi d'une variable aléatoire
   • L'espérance, une intégrale de Lebesgue
   • Déterminer une loi : la méthode de la fonction muette
   • Vecteurs aléatoires et changement de variables
   • Espérance et indépendance de variables aléatoires
   • Variance et covariance
   • Espérance conditionnelle : les cas élémentaires
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
2. 22

   Fonction caractéristique, convergences et TCL

   p. 237
   • Fonction caractéristique
   • Vecteurs gaussiens
   • Les quatre modes de convergence
   • Le lemme de Borel-Cantelli
   • Lois des grands nombres
   • Théorème de Lévy et théorème central limite
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo