Manuel de cours de maths sup (MPSI) en PDF

Fondements

1. 1

   Quantificateurs, raisonnements et rédaction

   p. 5
   • Assertions, connecteurs et quantificateurs
   • Nier une assertion quantifiée
   • Implication, équivalence et conditions
   • Trois raisonnements de base
   • Le raisonnement par analyse-synthèse
   • Les trois formes de récurrence
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
2. 2

   Ensembles, injections, surjections et relations

   p. 15
   • Ensembles et opérations
   • Applications et fonctions indicatrices
   • Image directe et image réciproque
   • Injections, surjections et bijections
   • Relations d'équivalence
   • Relations d'ordre
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo

Algèbre

1. 3

   Calculer avec Σ et Π : télescopage et binôme

   p. 25
   • Les notations Σ et Π
   • Changements d'indice et regroupements
   • Sommes et produits télescopiques
   • Sommes de référence et factorisation de an − bn
   • Sommes doubles et sommes triangulaires
   • Factorielle, coefficients binomiaux et binôme de Newton
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
2. 4

   Complexes : module, argument et racines n-ièmes

   p. 38
   • Forme algébrique, conjugué et module
   • Le groupe U et l'exponentielle e^{it} en trigonométrie
   • Forme trigonométrique, argument et équations du second degré
   • Racines n-ièmes de l'unité et d'un complexe
   • Exponentielle complexe
   • Traduire la géométrie en calcul complexe
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
3. 5

   Lois internes, groupes, anneaux et corps

   p. 48
   • Lois internes : neutre et inversibles
   • Groupes et sous-groupes
   • Morphismes de groupes
   • Anneaux : calculer avec deux lois
   • Corps
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
4. 6

   Produit matriciel, matrices inversibles et pivot

   p. 59
   • Le produit matriciel et ses pièges
   • Familles de matrices carrées remarquables
   • Puissances : la formule du binôme matricielle
   • Systèmes linéaires et algorithme du pivot
   • Matrices inversibles et pivot
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
5. 7

   Polynômes : racines, multiplicité et factorisation

   p. 70
   • L'anneau K[X] et la division euclidienne
   • Racines d'un polynôme et multiplicité
   • Polynômes scindés et relations de Viète
   • Interpolation de Lagrange
   • Factorisation dans C[X] et dans R[X]
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
6. 8

   PGCD de polynômes et décomposition en éléments simples

   p. 81
   • PGCD de polynômes et algorithme d'Euclide
   • Polynômes premiers entre eux et lemme de Gauss
   • Le corps K(X) des fractions rationnelles
   • Décomposition en éléments simples sur C
   • Décomposition en éléments simples sur R
   • La fraction P'/P et les sommes sur les racines
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
7. 9

   Sous-espaces vectoriels, sommes et supplémentaires

   p. 92
   • Espaces vectoriels : la structure
   • Sous-espaces vectoriels
   • Sous-espace engendré
   • Somme de sous-espaces et somme directe
   • Sous-espaces et supplémentaires : l'analyse-synthèse
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
8. 10

   Bases, dimension et formule de Grassmann

   p. 102
   • Liberté, dépendance et familles génératrices
   • Bases et coordonnées
   • Dimension d'un espace vectoriel
   • Rang d'une famille de vecteurs
   • Comparer deux sous-espaces : la formule de Grassmann
   • Supplémentaires et bases adaptées
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
9. 11

   Noyau, image et théorème du rang

   p. 112
   • Applications linéaires et espace L(E,F)
   • Image directe, image réciproque, noyau et image
   • Endomorphismes, isomorphismes et bases
   • Dimension, isomorphismes et espace L(E,F)
   • Noyau, image et rang : le théorème du rang
   • Méthodes de colle classées par type d'énoncé
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
10. 12

    Matrice d'une application linéaire, rang et trace

    p. 122
    • Représenter une application linéaire par une matrice
    • Noyau, image et rang d'une matrice
    • Le changement de base
    • Matrices équivalentes et rang
    • Matrices semblables et trace
    • Erreurs fréquentes et fiche mémo
11. 13

    Déterminant : calcul, développement et comatrice

    p. 132
    • Permutations : cycles, transpositions et signature
    • Formes n-linéaires alternées et déterminant d'une famille
    • Déterminant d'une matrice carrée
    • Calculer un déterminant : opérations et développement
    • Récurrences et déterminant de Vandermonde
    • Comatrice et inverse d'une matrice
    • Erreurs fréquentes et fiche mémo

Analyse

1. 14

   Formules de trigonométrie et équations trigonométriques

   p. 143
   • Le cercle trigonométrique et les congruences
   • Toutes les formules de trigonométrie à partir de deux
   • Les fonctions cosinus, sinus et tangente
   • Résoudre une équation ou une inéquation trigonométrique
   • Le paramétrage par tan(x/2)
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
2. 15

   Étude de fonctions, fonctions réciproques et usuelles

   p. 153
   • Le plan type d'une étude de fonction
   • Monotonie, bornes et dérivation
   • Exponentielle, logarithme et puissances
   • Les fonctions réciproques Arcsin, Arccos, Arctan
   • Les fonctions hyperboliques sh, ch et th
   • Dérivée de exp(φ) pour φ à valeurs complexes
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
3. 16

   Calcul de primitives : IPP et changement de variable

   p. 164
   • Primitives d'une fonction continue sur un intervalle
   • Le tableau des primitives usuelles
   • Exponentielle fois cosinus : le passage par les complexes
   • Primitive de l'inverse d'un trinôme
   • L'intégration par parties (IPP)
   • Le changement de variable
   • Arbre de décision : IPP ou changement de variable ?
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
4. 17

   Résoudre une équation différentielle linéaire

   p. 176
   • La structure commune des équations différentielles linéaires
   • Résoudre une équation différentielle linéaire du premier ordre
   • Le second ordre homogène et l'équation caractéristique
   • Solutions particulières au second ordre
   • Le problème de Cauchy et la méthode complète
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
5. 18

   Borne supérieure, partie entière et densité dans R

   p. 187
   • L'ordre de R et les inégalités
   • Majorants et borne supérieure
   • Intervalles et droite achevée
   • La partie entière
   • Rationnels, irrationnels et densité
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
6. 19

   Convergence des suites réelles et complexes

   p. 196
   • Limite d'une suite réelle
   • Opérations, inégalités et encadrement
   • Limite monotone et suites adjacentes
   • Suites extraites et théorème de Bolzano-Weierstrass
   • Suites récurrentes linéaires
   • Suites complexes
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
7. 20

   Suites définies par u(n+1) = f(u(n)) et points fixes

   p. 207
   • Le cadre des suites itératives
   • Représentation en escalier et en escargot
   • Point fixe et limite éventuelle
   • Monotonie d'une suite itérative
   • Fonctions contractantes et vitesse de convergence vers le point fixe
   • La méthode de Newton
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
8. 21

   Limite d'une fonction, continuité et TVI

   p. 217
   • Approcher un point : les limites
   • Caractérisation séquentielle de la limite
   • Opérations, encadrement et limite monotone
   • Continuité et prolongement par continuité
   • Valeurs intermédiaires : le TVI
   • Bornes atteintes et bijection continue
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
9. 22

   Dérivabilité, Rolle et accroissements finis

   p. 228
   • Dérivabilité en un point
   • Extremum local et point critique
   • Le théorème de Rolle
   • Rolle et accroissements finis : égalité et inégalité
   • Limite de la dérivée et classe Ck
   • Fonctions à valeurs complexes
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
10. 23

    Fonctions convexes et inégalités de convexité

    p. 238
    • Fonctions convexes : la définition par les cordes
    • L'inégalité de Jensen
    • Croissance des pentes et sécantes
    • Convexité des fonctions dérivables
    • Inégalités de convexité classiques
    • Erreurs fréquentes et fiche mémo
11. 24

    Équivalents, petits o et grands O

    p. 248
    • Domination et négligeabilité
    • Équivalents : définition et propriétés conservées
    • Opérations autorisées et interdites sur les équivalents
    • Encadrement, suites et formule de Stirling
    • Développements asymptotiques de suites implicites
    • Erreurs fréquentes et fiche mémo
12. 25

    Calculer un développement limité et étude locale

    p. 258
    • Développements limités : définition et règles de base
    • Formule de Taylor-Young et DL usuels
    • Opérations sur les développements limités
    • Primitivation d'un développement limité
    • Étude locale : limites, tangentes et extremums
    • Branches infinies et asymptotes
    • Erreurs fréquentes et fiche mémo
13. 26

    Intégrale d'une fonction continue par morceaux

    p. 268
    • Continuité uniforme et théorème de Heine
    • Fonctions en escalier et fonctions continues par morceaux
    • Propriétés de l'intégrale
    • Les sommes de Riemann
    • Fonctions définies par une intégrale
    • Formules de Taylor et approximation d'une intégrale
    • Erreurs fréquentes et fiche mémo
14. 27

    Critères de convergence des séries numériques

    p. 279
    • Sommes partielles, somme et reste
    • Les séries de référence
    • Séries à termes positifs : comparaison et équivalents
    • Comparaison série-intégrale et séries de Riemann
    • Convergence absolue et séries alternées
    • Un arbre de décision pour la nature d'une série
    • Erreurs fréquentes et fiche mémo
15. 28

    Sommation par paquets et familles sommables

    p. 290
    • Calculs dans [0, +∞] et familles positives
    • Sommation par paquets dans le cas positif
    • Familles sommables de complexes
    • Sommation par paquets et Fubini pour une famille sommable
    • Produit de familles sommables et produit de Cauchy
    • Erreurs fréquentes et fiche mémo

Arithmétique

1. 29

   PGCD, Bézout, Gauss et nombres premiers dans Z

   p. 301
   • Divisibilité et division euclidienne
   • PGCD, PPCM et algorithme d'Euclide
   • Relation de Bézout et lemme de Gauss
   • Nombres premiers et décomposition
   • Congruences et petit théorème de Fermat
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo

Géométrie

1. 30

   Projecteurs, symétries, hyperplans et sous-espaces affines

   p. 312
   • Projecteurs : projeter sur F parallèlement à G
   • Symétries par rapport à F parallèlement à G
   • Formes linéaires et hyperplans
   • Intersections d'hyperplans et systèmes d'équations
   • Sous-espaces affines et équations linéaires
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
2. 31

   Produit scalaire, orthogonalité et Gram-Schmidt

   p. 324
   • Produit scalaire : définition et exemples
   • Norme associée et inégalité de Cauchy-Schwarz
   • Orthogonalité et familles orthonormées
   • Le procédé de Gram-Schmidt
   • Projection orthogonale et distance à un sous-espace
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo

Probabilités

1. 32

   Dénombrer et calculer des probabilités conditionnelles

   p. 336
   • Cardinal d'un ensemble fini
   • Listes, arrangements et combinaisons : le dénombrement
   • Univers fini et probabilité
   • Probabilités conditionnelles
   • Indépendance d'événements
   • De l'énoncé au bon univers
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
2. 33

   Variables aléatoires finies, espérance et variance

   p. 346
   • Variables aléatoires sur un univers fini
   • Lois usuelles
   • Couples de variables et indépendance
   • Espérance
   • Variance, écart type et covariance
   • Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo

Calcul différentiel

1. 34

   Dérivées partielles, gradient et points critiques

   p. 357
   • Fonctions de deux variables : cadre et continuité
   • Dérivées partielles et classe C1
   • Développement limité, gradient et plan tangent
   • Règle de la chaîne et changements de variables
   • Points critiques et extremums
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo