Livre de contrôles corrigés de maths de L3 en PDF

Les sujets

1. 1

   Distances équivalentes et homéomorphismes

   p. 6
   • Durée : 1 heure 30
   • Calculatrice interdite
   • 5 exercices
   • Vérifier les axiomes d'une distance ou exhiber un triplet de points qui met en défaut l'inégalité triangulaire
   • Comparer deux distances par des inégalités, et distinguer équivalence forte et équivalence topologique
   • Dessiner des boules pour plusieurs distances du plan, y compris une distance non issue d'une norme
   • Corrigé détaillé page 95
2. 2

   Contractions et théorème du point fixe

   p. 9
   • Durée : 1 h 30
   • Calculatrice interdite
   • 5 exercices
   • Montrer qu'une suite réelle est de Cauchy, ou qu'elle ne l'est pas, à l'aide d'une majoration explicite
   • Construire une suite de Cauchy sans limite dans un espace de fonctions continues muni de la norme de la moyenne
   • Démontrer la complétude de C([a,b]) pour la norme infinie en passant à la limite dans une inégalité
   • Corrigé détaillé page 100
3. 3

   Opérateurs continus en dimension infinie

   p. 13
   • Durée : 1 heure 30
   • Calculatrice interdite
   • 5 exercices
   • Calculer la norme subordonnée d'un opérateur sur un espace de suites ou de fonctions continues
   • Montrer qu'une norme d'opérateur n'est pas atteinte grâce à un argument de continuité
   • Prouver qu'une application linéaire n'est pas continue à l'aide d'une suite explicite
   • Corrigé détaillé page 105
4. 4

   Recouvrements finis et parties connexes

   p. 17
   • Durée : 1 heure 30
   • Calculatrice interdite
   • 5 exercices
   • Utiliser la propriété de Borel-Lebesgue pour prouver ou réfuter la compacité d'une partie
   • Établir la compacité d'une partie de R² et en déduire qu'une fonction continue y atteint ses bornes
   • Démontrer le théorème de Heine par compacité séquentielle et reconnaître une fonction non uniformément continue
   • Corrigé détaillé page 110
5. 5

   Examen de topologie du semestre 5

   p. 21
   • Durée : 3 heures
   • Calculatrice interdite
   • 5 exercices
   • Démontrer qu'un compact est fermé borné, puis redémontrer le théorème de Heine par les suites
   • Comparer une distance construite par un homéomorphisme de R avec la distance usuelle
   • Calculer la norme d'une forme linéaire continue sur C([0, 1]) et prouver qu'elle n'est pas atteinte
   • Corrigé détaillé page 116
6. 6

   Tribus engendrées et mesurabilité

   p. 25
   • Durée : 1 h 30
   • Calculatrice interdite
   • 5 exercices
   • Décrire la tribu engendrée par une partition finie et caractériser les fonctions mesurables pour cette tribu
   • Montrer qu'une famille d'intervalles engendre la tribu borélienne et qu'un ensemble défini par une propriété est borélien
   • Calculer une mesure par continuité croissante ou décroissante en vérifiant l'hypothèse de finitude
   • Corrigé détaillé page 122
7. 7

   Théorèmes limites de Lebesgue

   p. 28
   • Durée : 2 heures
   • Calculatrice interdite
   • 5 exercices
   • Appliquer le théorème de convergence monotone à une suite croissante de fonctions positives et calculer la limite des intégrales
   • Construire un exemple où le lemme de Fatou donne une inégalité stricte, puis exploiter ce lemme pour majorer une intégrale limite
   • Trouver une fonction dominante intégrable afin de calculer la limite d'une suite d'intégrales
   • Corrigé détaillé page 127
8. 8

   Interversions et produits de convolution

   p. 31
   • Durée : 1 h 30
   • Calculatrice interdite
   • 5 exercices
   • Énoncer avec précision les théorèmes de Tonelli et de Fubini et l'effet d'une application linéaire sur la mesure de Lebesgue
   • Justifier une interversion d'intégrales en vérifiant la positivité ou l'intégrabilité sur l'espace produit
   • Construire une fonction dont les deux intégrales itérées existent mais diffèrent, puis expliquer pourquoi Fubini ne s'applique pas
   • Corrigé détaillé page 133
9. 9

   Inclusions et complétude des L^p

   p. 35
   • Durée : 1 h 30
   • Calculatrice interdite
   • 5 exercices
   • Démontrer l'inégalité de Young par concavité du logarithme, puis en déduire l'inégalité de Hölder
   • Comparer les normes p et r sur un espace de mesure finie et calculer la norme d'une puissance négative
   • Établir l'inclusion inverse entre espaces de suites et la rendre stricte par une suite de Riemann
   • Corrigé détaillé page 138
10. 10

    Sous-groupes distingués et quotients

    p. 39
    • Durée : 1 heure 30
    • Calculatrice interdite
    • 4 exercices
    • Calculer les classes à gauche et à droite d'un sous-groupe et en déduire s'il est distingué
    • Déterminer tous les sous-groupes distingués du groupe symétrique S3
    • Calculer dans un groupe diédral grâce à ses relations et dresser la table d'un quotient
    • Corrigé détaillé page 143
11. 11

    Orbites, stabilisateurs et Sylow

    p. 42
    • Durée : 1 h 30
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Démontrer la relation orbite-stabilisateur et la conjugaison des stabilisateurs d'une même orbite
    • Calculer l'ordre du groupe des rotations du cube en le faisant agir sur ses faces, ses sommets et ses arêtes
    • Déterminer les classes de conjugaison du groupe affine de Z/5Z puis écrire sa formule des classes
    • Corrigé détaillé page 147
12. 12

    Anneaux principaux et critère d'Eisenstein

    p. 46
    • Durée : 1 h 30
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Identifier un anneau quotient de Z[X] et décider si un idéal est premier ou maximal
    • Prouver l'irréductibilité d'un polynôme par le critère d'Eisenstein ou par réduction modulo un nombre premier
    • Exhiber un idéal non principal de Z[X] et en tirer un contre-exemple d'anneau factoriel non principal
    • Corrigé détaillé page 152
13. 13

    Degrés d'extension et constructibilité

    p. 49
    • Durée : 1 heure 30
    • Calculatrice interdite
    • 4 exercices
    • Démontrer la multiplicativité des degrés à partir d'une base télescopique
    • Calculer le degré d'une extension engendrée par deux racines carrées et trouver un polynôme minimal
    • Construire le corps à quatre éléments comme quotient de l'anneau des polynômes sur F2
    • Corrigé détaillé page 157
14. 14

    Réduites de Jordan et similitude

    p. 52
    • Durée : 1 h 30
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Démontrer que les sauts de dimension des noyaux itérés d'un nilpotent forment une suite décroissante
    • Calculer la décomposition de Dunford d'une matrice à l'aide de projecteurs polynomiaux
    • Lire un tableau de Young sur les noyaux itérés et construire une base de Jordan
    • Corrigé détaillé page 163
15. 15

    Problème sur les groupes finis

    p. 55
    • Durée : 3 heures
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Calculer les ordres des éléments d'un groupe d'inversibles et identifier un quotient par le premier théorème d'isomorphisme
    • Exploiter une action de groupe pour obtenir un morphisme vers un groupe symétrique et en déterminer le noyau
    • Démontrer que le centre d'un p-groupe n'est pas trivial à l'aide de la formule des classes
    • Corrigé détaillé page 168
16. 16

    Différentielles en dimension infinie

    p. 58
    • Durée : 1 heure 30
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Calculer une différentielle de Fréchet en majorant explicitement le reste Différencier l'inversion matricielle et le déterminant, puis appliquer la règle de la chaîne Différencier une fonctionnelle intégrale ou un opérateur de composition sur les fonctions continues Appliquer l'inégalité des accroissements finis sur un convexe d'un espace normé Écrire un développement de Taylor à l'ordre 2 et identifier une différentielle seconde
    • Corrigé détaillé page 172
17. 17

    Difféomorphismes et fonctions implicites

    p. 62
    • Durée : 1 heure 30
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Appliquer le théorème d'inversion locale et calculer la différentielle d'une réciproque locale
    • Prouver qu'une perturbation contractante de l'identité est un difféomorphisme global du plan
    • Utiliser le théorème des fonctions implicites pour obtenir tangente et développement limité d'une courbe de niveau
    • Corrigé détaillé page 177
18. 18

    Optimisation sous contrainte et convexité

    p. 66
    • Durée : 1 h 30
    • Calculatrice interdite
    • 4 exercices
    • Classer les points critiques d'une fonction de deux variables à l'aide de la matrice hessienne
    • Reconnaître un point critique dégénéré et prouver qu'il n'est pas un extremum local
    • Résoudre un problème d'extremum lié sur une sphère par la méthode des multiplicateurs de Lagrange
    • Corrigé détaillé page 183
19. 19

    Examen de calcul différentiel

    p. 69
    • Durée : 3 heures
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Calculer la différentielle d'une application polynomiale entre espaces de matrices en contrôlant le reste
    • Distinguer dérivées directionnelles et différentiabilité au sens de Fréchet
    • Appliquer le théorème d'inversion locale à l'application carré et repérer les points où il échoue
    • Corrigé détaillé page 188
20. 20

    Solutions maximales et explosion

    p. 73
    • Durée : 1 h 30
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Vérifier les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz et reconnaître une perte d'unicité au voisinage d'un équilibre
    • Déterminer explicitement une solution maximale et en déduire son temps d'explosion
    • Démontrer le lemme de Gronwall puis l'utiliser pour prouver l'unicité et le caractère global d'une solution
    • Corrigé détaillé page 193
21. 21

    Équations de Cauchy-Riemann et maximum

    p. 77
    • Durée : 1 heure 30
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Vérifier les équations de Cauchy-Riemann et reconstruire une fonction holomorphe à partir de sa partie réelle
    • Calculer une intégrale le long d'un chemin par paramétrage ou à l'aide d'une primitive
    • Appliquer la formule intégrale de Cauchy et sa version pour les dérivées sur un cercle
    • Corrigé détaillé page 200
22. 22

    Théorème de Rouché et séries de Laurent

    p. 80
    • Durée : 1 h 30
    • Calculatrice interdite
    • 4 exercices
    • Écrire le développement de Laurent d'une fraction rationnelle sur chaque couronne délimitée par ses pôles
    • Classer une singularité isolée et calculer le résidu correspondant
    • Calculer une intégrale réelle par le théorème des résidus sur un demi-disque
    • Corrigé détaillé page 205
23. 23

    Bases hilbertiennes et séries de Fourier

    p. 83
    • Durée : 1 heure 30
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Caractériser la projection sur un convexe fermé par une inégalité variationnelle et la calculer dans L2
    • Identifier le représentant de Riesz d'une forme linéaire continue et calculer sa norme
    • Calculer les coefficients de Fourier d'un créneau et exploiter l'identité de Parseval
    • Corrigé détaillé page 210
24. 24

    Fonction muette et espérance conditionnelle

    p. 87
    • Durée : 1 heure 30
    • Calculatrice interdite
    • 4 exercices
    • Déterminer la densité d'une variable image grâce à la méthode de la fonction muette
    • Calculer la loi d'un couple transformé par un difféomorphisme et en déduire ses marginales
    • Démontrer l'indépendance de deux tribus engendrées et distinguer indépendance deux à deux et mutuelle
    • Corrigé détaillé page 216
25. 25

    Examen final de probabilités

    p. 90
    • Durée : 3 heures
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Démontrer le premier lemme de Borel-Cantelli et la fonction caractéristique de la loi normale centrée réduite
    • Exploiter la fonction caractéristique d'un vecteur gaussien pour obtenir une loi et une indépendance
    • Comparer convergence presque sûre, en probabilité et dans L^p sur des exemples construits avec Borel-Cantelli
    • Corrigé détaillé page 220