Livre de contrôles corrigés de maths spé (MP) en PDF

Les sujets

1. 1

   Groupes cycliques et théorème chinois

   p. 6
   • Durée : 3 heures
   • Calculatrice interdite
   • 5 exercices
   • Calculer l'ordre d'une classe dans Z/nZ et dénombrer les générateurs de ce groupe
   • Démontrer les propriétés de l'ordre d'une puissance et d'un produit d'éléments qui commutent
   • Résoudre un système de congruences et une équation du second degré modulo 72 par le théorème chinois
   • Corrigé détaillé page 89
2. 2

   Matrices par blocs et sous-espaces stables

   p. 9
   • Durée : 1 h 30
   • Calculatrice interdite
   • 5 exercices
   • Traduire la stabilité d'un sous-espace par une matrice triangulaire par blocs et calculer par blocs
   • Déterminer les éléments propres d'une matrice de rang un sans polynôme caractéristique
   • Exploiter la commutation de deux endomorphismes pour décrire un commutant
   • Corrigé détaillé page 94
3. 3

   Diagonalisation de matrices à paramètre

   p. 13
   • Durée : 2 heures
   • Calculatrice interdite
   • 5 exercices
   • Lire des directions propres sur une figure puis diagonaliser une matrice de taille 2 avec sa matrice de passage
   • Discuter la diagonalisabilité d'une matrice dépendant d'un paramètre en comparant multiplicités et dimensions des sous-espaces propres
   • Trigonaliser une matrice de taille 3 non diagonalisable et en déduire ses puissances
   • Corrigé détaillé page 99
4. 4

   Polynômes annulateurs et spectre

   p. 16
   • Durée : 1 h 30
   • Calculatrice interdite
   • 5 exercices
   • Démontrer que toute valeur propre est racine d'un polynôme annulateur et en tirer le spectre
   • Prouver qu'un endomorphisme est diagonalisable grâce à un polynôme annulateur simplement scindé
   • Décomposer l'espace en somme directe de noyaux avec le lemme de décomposition des noyaux
   • Corrigé détaillé page 106
5. 5

   Comparaison de normes sur des fonctions

   p. 19
   • Durée : 1 heure
   • Calculatrice interdite
   • 4 exercices
   • Vérifier les trois axiomes pour une application qui mêle valeur ponctuelle et intégrale de la dérivée
   • Dessiner la boule unité d'une norme du plan et en déduire les meilleures constantes de comparaison
   • Établir les inégalités entre les normes 1, 2 et infinie sur C([0,1]) grâce à Cauchy-Schwarz
   • Corrigé détaillé page 110
6. 6

   Parties ouvertes, fermées et denses

   p. 22
   • Durée : 1 h 30
   • Calculatrice interdite
   • 5 exercices
   • Montrer qu'une partie de R² est fermée grâce à la caractérisation séquentielle
   • Prouver qu'une partie est ouverte en l'écrivant comme préimage d'intervalles ouverts par des fonctions continues
   • Calculer l'adhérence d'une partie de R, d'une partie convexe du plan et d'une boule ouverte
   • Corrigé détaillé page 114
7. 7

   Normes subordonnées et compacité

   p. 25
   • Durée : 2 heures
   • Calculatrice interdite
   • 5 exercices
   • Calculer la norme subordonnée d'une matrice pour les normes un et infini et l'exploiter dans une série de Neumann
   • Démontrer qu'une forme linéaire n'est pas continue sur un espace de polynômes de dimension infinie
   • Prouver l'existence d'une distance minimale ou d'un point fixe grâce à la compacité
   • Corrigé détaillé page 119
8. 8

   Problème de topologie en dimension finie

   p. 28
   • Durée : 4 heures
   • Calculatrice interdite
   • 5 exercices
   • Vérifier les axiomes d'une norme et déterminer les constantes optimales qui la comparent à la norme infinie
   • Prouver qu'une partie de M_n(R) définie par le rang est fermée et d'intérieur vide
   • Justifier l'existence d'une distance minimale par compacité en dimension finie, puis la calculer
   • Corrigé détaillé page 124
9. 9

   Restes et sommes partielles asymptotiques

   p. 32
   • Durée : 1 h 30
   • Calculatrice interdite
   • 5 exercices
   • Justifier la convergence d'une série de vecteurs du plan par convergence absolue en dimension finie
   • Obtenir un équivalent du reste d'une série convergente par comparaison série-intégrale et sommation des équivalents
   • Encadrer une somme partielle divergente entre deux intégrales pour en déduire un équivalent
   • Corrigé détaillé page 130
10. 10

    Convergence uniforme et contre-exemples

    p. 35
    • Durée : 2 heures
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Étudier la convergence simple puis uniforme d'une suite de fonctions grâce à la norme infinie
    • Réfuter un énoncé faux sur les modes de convergence par un contre-exemple vérifié
    • Montrer qu'une convergence simple ne permet pas d'échanger limite et intégrale
    • Corrigé détaillé page 135
11. 11

    Calcul de rayons et de sommes

    p. 38
    • Durée : 1 h 30
    • Calculatrice interdite
    • 4 exercices
    • Démontrer la règle de d'Alembert pour le rayon puis l'appliquer à des coefficients factoriels ou lacunaires
    • Encadrer des coefficients pour obtenir un rayon lorsque le quotient de deux termes consécutifs n'a pas de limite
    • Calculer la somme d'une série entière par dérivation ou intégration terme à terme sur l'intervalle ouvert
    • Corrigé détaillé page 140
12. 12

    Développer en série entière

    p. 41
    • Durée : 1 heure 30
    • Calculatrice interdite
    • 4 exercices
    • Développer une fraction rationnelle, un produit de fonctions hyperboliques et circulaires ou un logarithme par opérations sur les développements usuels
    • Obtenir le développement d'une fonction liée à Arcsin grâce à une équation différentielle linéaire et au théorème de Cauchy
    • Justifier chaque rayon de convergence par un argument explicite, et non par simple lecture
    • Corrigé détaillé page 145
13. 13

    Dérivée d'un déterminant de fonctions

    p. 45
    • Durée : 1 heure
    • Calculatrice interdite
    • 4 exercices
    • Dériver un produit scalaire de fonctions vectorielles et caractériser une norme constante
    • Établir et utiliser la formule de dérivation d'un déterminant de trois fonctions vectorielles
    • Comparer la majoration donnée par l'inégalité des accroissements finis et celle de Taylor avec reste intégral
    • Corrigé détaillé page 150
14. 14

    Intégrabilité aux bornes et IPP

    p. 48
    • Durée : 1 h 30
    • Calculatrice interdite
    • 4 exercices
    • Prouver l'intégrabilité d'une fonction en la comparant à une fonction de Riemann au voisinage de chaque borne
    • Justifier une intégration par parties sur un intervalle ouvert en étudiant la limite des crochets
    • Effectuer un changement de variable bijectif de classe C1 dans une intégrale généralisée
    • Corrigé détaillé page 155
15. 15

    Domination et théorèmes d'échange

    p. 50
    • Durée : 2 heures
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Trouver une fonction dominante intégrable puis passer à la limite sous l'intégrale
    • Justifier une intégration terme à terme par la convergence de la série des intégrales des valeurs absolues
    • Établir la classe C1 d'une intégrale à paramètre par domination globale ou locale
    • Corrigé détaillé page 159
16. 16

    Fonction définie par une intégrale

    p. 53
    • Durée : 4 heures
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Justifier l'existence d'une intégrale à paramètre et la calculer par changement de variable pour deux valeurs
    • Établir une relation fonctionnelle et en déduire un développement en série alternée
    • Prouver la classe C¹ d'une intégrale à paramètre par domination locale
    • Corrigé détaillé page 164
17. 17

    Événements presque sûrs et dénombrabilité

    p. 57
    • Durée : 1 heure 30
    • Calculatrice interdite
    • 4 exercices
    • Prouver qu'un ensemble est dénombrable ou, par un argument diagonal, qu'il ne l'est pas
    • Vérifier qu'une famille de parties est une tribu et qu'une application est une probabilité
    • Calculer la probabilité d'une intersection décroissante par continuité monotone
    • Corrigé détaillé page 169
18. 18

    Lois géométriques et minimum de variables

    p. 60
    • Durée : 1 heure 30
    • Calculatrice interdite
    • 4 exercices
    • Reconnaître une loi géométrique comme rang du premier succès dans une suite d'épreuves indépendantes
    • Obtenir la loi de la plus petite de deux durées géométriques indépendantes grâce aux probabilités de queue
    • Établir la loi d'une somme de deux variables de Poisson indépendantes et une loi conditionnelle binomiale
    • Corrigé détaillé page 175
19. 19

    Formule des queues et covariance

    p. 64
    • Durée : 2 heures
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Démontrer la formule des queues et sa variante pondérée par sommation de familles positives
    • Justifier l'existence d'une espérance avant tout calcul, et reconnaître une variable sans variance
    • Calculer une covariance à partir d'une loi conjointe, puis distinguer covariance nulle et indépendance
    • Corrigé détaillé page 179
20. 20

    Séries génératrices et loi faible

    p. 68
    • Durée : 1 h 30
    • Calculatrice interdite
    • 4 exercices
    • Identifier la loi d'une variable aléatoire à valeurs entières à partir de sa série génératrice
    • Calculer une espérance et une variance en dérivant la série génératrice au point 1
    • Démontrer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à partir de l'inégalité de Markov
    • Corrigé détaillé page 184
21. 21

    Problème de probabilités discrètes

    p. 71
    • Durée : 4 heures
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Reconnaître une loi géométrique et utiliser un système quasi-complet d'événements
    • Déterminer la loi d'une somme de variables indépendantes grâce aux fonctions génératrices
    • Majorer une probabilité d'écart avec Bienaymé-Tchebychev et calculer des covariances
    • Corrigé détaillé page 188
22. 22

    Axe et angle d'une rotation

    p. 74
    • Durée : 1 heure
    • Calculatrice interdite
    • 4 exercices
    • Reconnaître une matrice orthogonale par ses colonnes et classer son déterminant
    • Identifier une réflexion de l'espace et écrire sa matrice à partir d'un vecteur normal
    • Composer une rotation et une réflexion du plan euclidien, puis reconnaître le résultat
    • Corrigé détaillé page 193
23. 23

    Diagonalisation orthogonale et Rayleigh

    p. 77
    • Durée : 2 heures
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Redémontrer le théorème spectral pour une matrice symétrique réelle de taille 2
    • Calculer l'adjoint d'un endomorphisme de M_n(R) et transférer une stabilité à l'orthogonal
    • Diagonaliser une matrice symétrique 3 × 3 dans une base orthonormée et étudier sa positivité
    • Corrigé détaillé page 198
24. 24

    Raccordements, wronskien et exp(tA)

    p. 80
    • Durée : 3 heures
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Établir la relation vérifiée par le wronskien et l'utiliser pour trouver une seconde solution
    • Appliquer la variation des constantes à une équation d'ordre 2 dont un système fondamental est connu
    • Raccorder en 0 les solutions d'une équation non normalisée et discuter la dimension obtenue
    • Corrigé détaillé page 203
25. 25

    Différentielles, gradient et extremums liés

    p. 84
    • Durée : 4 heures
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Distinguer existence des dérivées directionnelles et différentiabilité en un point
    • Calculer la différentielle du déterminant et celle de l'inversion matricielle, puis un gradient pour le produit scalaire canonique
    • Ramener une équation linéaire du premier ordre en x et y à une dérivée partielle nulle, grâce à la règle de la chaîne
    • Corrigé détaillé page 210