Manuel de cours de maths de L2 en PDF

Analyse

1. 1

   Séries positives : Riemann, Bertrand et comparaison

   p. 5
   • Le vocabulaire des séries numériques
   • Séries positives : majoration, comparaison, équivalence
   • Comparaison série-intégrale et séries de Riemann
   • Les séries de Bertrand
   • Les règles de d'Alembert et de Cauchy
   • Sommation des relations de comparaison
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
2. 2

   Convergence absolue, séries alternées et Abel

   p. 16
   • Suites de Cauchy et complétude de R
   • Critère de Cauchy et convergence absolue
   • Séries alternées et semi-convergence
   • La transformation d'Abel
   • Le produit de Cauchy de deux séries
   • Sommation par paquets et réarrangements
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
3. 3

   Intégrales impropres : critères de convergence

   p. 28
   • Définition des intégrales impropres
   • Intégrales impropres de fonctions positives
   • Convergence absolue et intégrabilité
   • Semi-convergence et règle d'Abel
   • Calculer une intégrale impropre
   • Intégration des relations de comparaison
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
4. 4

   Convergence uniforme et normale des fonctions

   p. 38
   • La convergence simple et ses limites
   • Convergence uniforme et norme infinie
   • Continuité de la limite et double limite
   • Intégration et dérivation des limites
   • Séries de fonctions et convergence normale
   • Continuité uniforme, Heine et Weierstrass
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
5. 5

   Séries entières : rayon et développements

   p. 48
   • Séries entières et lemme d'Abel
   • Rayon et disque de convergence
   • Opérations sur les séries entières
   • Régularité de la somme d'une série entière
   • Développement en série entière d'une fonction
   • Sommer une série entière et résoudre une équation différentielle
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
6. 6

   Continuité et dérivation sous l'intégrale, Gamma

   p. 60
   • Intégrales à paramètre sur un segment
   • Domination et continuité sur un intervalle quelconque
   • Dériver sous l'intégrale
   • La fonction Gamma, exemple fondamental
   • L'intégrale de Gauss
   • La transformée de Laplace
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
7. 7

   Coefficients de Fourier, Dirichlet et Parseval

   p. 70
   • Fonctions périodiques et polynômes trigonométriques
   • Orthogonalité et coefficients de Fourier
   • Inégalité de Bessel et décroissance des coefficients
   • Le théorème de Dirichlet
   • Formule de Parseval et convergence normale
   • Calcul de sommes : et
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
8. 8

   Intégrales doubles, triples et curvilignes

   p. 80
   • Intégrales doubles sur un rectangle
   • Domaines élémentaires et ordre d'intégration
   • Changement de variables et jacobien
   • Intégrales triples, aires et volumes
   • Courbes paramétrées et intégrales curvilignes
   • La formule de Green-Riemann
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo

Algèbre

1. 9

   Diagonaliser une matrice et applications

   p. 92
   • Vecteurs propres et sous-espaces stables
   • Le polynôme caractéristique
   • Diagonaliser une matrice : les critères
   • Puissances de matrices et suites récurrentes
   • Systèmes différentiels linéaires
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
2. 10

   Polynômes annulateurs et trigonalisation

   p. 103
   • Polynômes d'un endomorphisme
   • Polynômes annulateurs et polynôme minimal
   • Le lemme des noyaux et la diagonalisabilité
   • Le théorème de Cayley-Hamilton
   • Trigonalisation
   • Sous-espaces caractéristiques et nilpotents
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
3. 11

   Groupes, théorème de Lagrange et permutations

   p. 115
   • La notion de groupe à partir d'exemples
   • Sous-groupes et sous-groupe engendré
   • Morphismes de groupes
   • Ordre d'un élément et groupes cycliques
   • Classes modulo un sous-groupe et théorème de Lagrange
   • Le groupe symétrique et les cycles
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
4. 12

   Produit scalaire et projection orthogonale

   p. 126
   • Produit scalaire et formes bilinéaires symétriques
   • Norme euclidienne et inégalité de Cauchy-Schwarz
   • Orthogonalité et bases orthonormées
   • Le procédé de Gram-Schmidt
   • Supplémentaire orthogonal et projection orthogonale
   • Espaces hermitiens
   • Moindres carrés
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
5. 13

   Isométries et endomorphismes symétriques

   p. 137
   • L'adjoint d'un endomorphisme
   • Isométries et groupe orthogonal
   • Isométries du plan et de l'espace
   • Endomorphismes symétriques et théorème spectral
   • Matrices positives et définies positives
   • Le cas complexe : hermitien, unitaire, normal
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
6. 14

   Formes quadratiques, Sylvester et coniques

   p. 149
   • Formes bilinéaires et matrices
   • Formes quadratiques et forme polaire
   • La réduction de Gauss pas à pas
   • Rang, signature et loi d'inertie de Sylvester
   • Réduction en base orthonormée
   • Classification des coniques et des quadriques
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo

Arithmétique

1. 15

   Anneaux, idéaux, Z/nZ et chiffrement RSA

   p. 161
   • Anneaux, corps et idéaux
   • Congruences et construction de l'anneau Z/nZ
   • Inversibles de Z/nZ et corps Z/pZ
   • Indicatrice d'Euler et théorème d'Euler
   • Le théorème chinois
   • Les carrés dans le corps F_p
   • Le chiffrement RSA
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo

Topologie

1. 16

   Normes de R^n, ouverts, fermés et continuité

   p. 173
   • Normes de R^n et boules
   • Convergence des suites et normes équivalentes
   • Ouverts, fermés et frontière
   • Compacts de R^n
   • Limite et continuité en plusieurs variables
   • Continuité et compacité
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo

Calcul différentiel

1. 17

   Dérivées partielles, différentielle et jacobienne

   p. 185
   • Dérivées directionnelles et dérivées partielles
   • La différentielle en un point
   • Les fonctions de classe C1
   • Matrice jacobienne
   • Règle de la chaîne et différentielle d'une composée
   • Inégalité des accroissements finis
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
2. 18

   Hessienne, Taylor à l'ordre 2 et extrema libres

   p. 194
   • Dérivées partielles d'ordre 2 et théorème de Schwarz
   • Matrice hessienne et formule de Taylor-Young
   • Points critiques et condition nécessaire d'extremum
   • Conditions d'ordre 2 : lire la hessienne
   • Extremum global sur un compact
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo

Probabilités

1. 19

   Probabilités sur un univers dénombrable

   p. 206
   • Modéliser une expérience : univers, événements, tribu
   • Probabilité sur un univers dénombrable
   • Continuité monotone : passer à la limite
   • Probabilité conditionnelle et probabilités totales
   • La formule de Bayes : remonter des effets aux causes
   • Indépendance d'événements
   • Modèles d'urnes
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
2. 20

   Lois discrètes, espérance et variance

   p. 217
   • Variable aléatoire discrète et loi
   • Lois discrètes finies construites à partir de modèles
   • Lois géométrique et de Poisson
   • Espérance d'une variable discrète
   • Variance et écart type
   • Majorer une probabilité : Markov et Bienaymé-Tchebychev
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
3. 21

   Couples de variables, indépendance et grands nombres

   p. 228
   • Couples de variables et loi conjointe
   • Indépendance de variables aléatoires
   • Covariance et variance d'une somme
   • Fonction génératrice et loi d'une somme
   • Loi faible des grands nombres
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
4. 22

   Variables à densité : lois exponentielle et normale

   p. 241
   • Du discret au continu : densité et fonction de répartition
   • Espérance, variance et formule de transfert
   • Lois à densité usuelles : uniforme, exponentielle, normale
   • Loi de l'image d'une variable à densité
   • Couples à densité et loi d'une somme
   • Approximation normale d'une loi binomiale
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo

Géométrie

1. 23

   Espaces affines, barycentres et applications affines

   p. 252
   • Espaces affines et sous-espaces affines
   • Barycentres
   • Applications affines, translations et homothéties
   • Projections, symétries et affinités
   • Thalès, Ménélaüs et Céva
   • Isométries affines
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo