Livre de contrôles corrigés de maths sup (MPSI) en PDF

Les sujets

1. 1

   Quantificateurs, injections et surjections

   p. 6
   • Durée : 2 heures
   • Calculatrice interdite
   • 5 exercices
   • Nier une propriété quantifiée d'une fonction réelle puis la réfuter à l'aide de témoins explicites
   • Rédiger une récurrence forte dont l'hypothèse porte sur tous les rangs inférieurs
   • Prouver ou réfuter l'injectivité et la surjectivité d'une application du plan, puis construire une bijection réciproque
   • Corrigé détaillé page 87
2. 2

   Télescopages et sommes doubles

   p. 9
   • Durée : 1 heure
   • Calculatrice interdite
   • 4 exercices
   • Effectuer un changement d'indice en transformant correctement les bornes
   • Décomposer un terme général pour faire apparaître un télescopage, dans une somme ou un produit
   • Intervertir les deux sommes d'une somme triangulaire en décrivant le domaine des indices
   • Corrigé détaillé page 91
3. 3

   Module, argument et similitudes

   p. 12
   • Durée : 2 heures
   • Calculatrice interdite
   • 5 exercices
   • Mettre sous forme trigonométrique une somme d'exponentielles grâce à la technique de l'angle moitié
   • Calculer les racines n-ièmes d'un nombre complexe et les représenter dans le plan
   • Calculer des sommes de cosinus à l'aide de l'exponentielle complexe et de la formule du binôme
   • Corrigé détaillé page 94
4. 4

   Formules trigonométriques et fonctions arc

   p. 15
   • Durée : 3 heures
   • Calculatrice interdite
   • 5 exercices
   • Retrouver des valeurs exactes à partir des formules d'addition et de l'angle moitié
   • Résoudre une équation trigonométrique dans R et une inéquation sur un intervalle
   • Démontrer une identité entre fonctions Arctan par dérivation sur chaque intervalle
   • Corrigé détaillé page 98
5. 5

   Problèmes de Cauchy linéaires

   p. 18
   • Durée : 1 h 30
   • Calculatrice interdite
   • 5 exercices
   • Résoudre une équation linéaire du premier ordre à coefficient variable par la méthode de variation de la constante
   • Chercher une solution particulière adaptée à un second membre exponentiel, y compris quand l'exposant est racine caractéristique
   • Écrire les solutions réelles d'une équation du second ordre dont l'équation caractéristique a des racines complexes
   • Corrigé détaillé page 103
6. 6

   Bornes supérieures et parties entières

   p. 21
   • Durée : 1 heure
   • Calculatrice interdite
   • 5 exercices
   • Démontrer la caractérisation de la borne supérieure par epsilon, puis sa version séquentielle
   • Encadrer une expression de deux variables sans diviser ni soustraire des inégalités de façon illicite
   • Établir qu'un réel est la borne supérieure d'un ensemble défini par une suite ou par une somme d'ensembles
   • Corrigé détaillé page 108
7. 7

   Sous-suites et encadrements

   p. 24
   • Durée : 2 heures
   • Calculatrice interdite
   • 5 exercices
   • Prouver la convergence d'une somme ou d'un quotient par encadrement et passage à la limite
   • Établir que deux suites sont adjacentes puis encadrer leur limite commune par des fractions
   • Démontrer la divergence d'une suite à l'aide de deux suites extraites de limites distinctes
   • Corrigé détaillé page 112
8. 8

   Étude d'une suite itérative

   p. 27
   • Durée : 2 heures
   • Calculatrice interdite
   • 5 exercices
   • Localiser le point fixe d'une fonction homographique et trouver un intervalle stable qui le contient
   • Exploiter une identité exacte sur l'écart au point fixe pour obtenir la position des termes
   • Étudier une suite associée à une fonction décroissante grâce aux suites des termes pairs et impairs
   • Corrigé détaillé page 117
9. 9

   Existence de solutions par continuité

   p. 30
   • Durée : 1 h 30
   • Calculatrice interdite
   • 5 exercices
   • Exhiber deux suites de même limite dont les images divergent l'une de l'autre, pour réfuter l'existence d'une limite
   • Localiser la racine d'une équation grâce au TVI, puis en garantir l'unicité par une monotonie stricte établie sans dériver
   • Utiliser le théorème des bornes atteintes pour obtenir un minorant strictement positif ou un minimum global
   • Corrigé détaillé page 122
10. 10

    Inégalités par Rolle et par convexité

    p. 33
    • Durée : 3 heures
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Appliquer le théorème de Rolle de façon itérée pour majorer puis compter les zéros d'une fonction
    • Majorer l'écart entre deux termes grâce à l'inégalité des accroissements finis et en déduire la convergence d'une suite
    • Démontrer la convexité ou la concavité d'une fonction par le signe de sa dérivée seconde
    • Corrigé détaillé page 127
11. 11

    Équations diophantiennes et valuations

    p. 36
    • Durée : 1 h 30
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Obtenir une relation de Bézout par l'algorithme d'Euclide étendu et en déduire un inverse modulo n
    • Résoudre une équation diophantienne ax + by = c dans l'ensemble des entiers puis dans celui des entiers naturels
    • Calculer un PGCD, un PPCM ou un nombre de zéros terminaux à l'aide des valuations p-adiques
    • Corrigé détaillé page 132
12. 12

    Sous-groupes, anneaux et matrices

    p. 39
    • Durée : 3 heures
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Montrer qu'une partie de GL_2(R) est un sous-groupe, ou produire un contre-exemple précis
    • Vérifier qu'un ensemble de matrices est un sous-anneau, puis un corps, et repérer des diviseurs de zéro
    • Élever une matrice triangulaire à toute puissance entière, y compris négative, grâce au binôme de Newton
    • Corrigé détaillé page 136
13. 13

    Interpolation de Lagrange et Viète

    p. 42
    • Durée : 1 heure 30
    • Calculatrice interdite
    • 4 exercices
    • Déterminer l'ordre de multiplicité d'une racine à l'aide des dérivées successives
    • Calculer des sommes de puissances des racines d'un polynôme sans connaître ces racines
    • Factoriser X^8 − 1 dans C[X] puis dans R[X] et en tirer un produit de sinus
    • Corrigé détaillé page 141
14. 14

    Primitives de fractions rationnelles

    p. 45
    • Durée : 2 heures
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Décomposer une fraction rationnelle en éléments simples sur R, avec un pôle double ou un facteur irréductible de degré 2
    • Intégrer un élément de seconde espèce en isolant la dérivée du dénominateur, puis en faisant apparaître une arctangente
    • Relier la décomposition sur C de la dérivée logarithmique P'/P aux racines du polynôme et à leurs multiplicités
    • Corrigé détaillé page 145
15. 15

    Étude locale, tangentes et asymptotes

    p. 49
    • Durée : 2 heures
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Calculer le développement limité d'une composée ou d'un quotient en choisissant l'ordre utile de chaque facteur
    • Lever une forme indéterminée, y compris de type puissance, à l'aide de développements limités
    • Écrire la tangente à une courbe et savoir de quel côté de cette droite la courbe se place localement
    • Corrigé détaillé page 149
16. 16

    Sommes directes, dimension et rang

    p. 52
    • Durée : 4 heures
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Établir par analyse-synthèse qu'un plan et une droite de R³ sont supplémentaires et expliciter la décomposition d'un vecteur
    • Calculer des dimensions de sous-espaces de polynômes et appliquer la formule de Grassmann
    • Relier le rang d'une composée à l'intersection d'un noyau et d'une image grâce au théorème du rang
    • Corrigé détaillé page 154
17. 17

    Projecteurs, symétries et hyperplans

    p. 55
    • Durée : 1 h 30
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Reconnaître un projecteur par la relation p ∘ p = p et déterminer son image et son noyau
    • Écrire la symétrie associée à un projecteur et vérifier qu'elle est involutive
    • Trouver une équation d'un hyperplan donné par une famille génératrice, puis un supplémentaire de cet hyperplan
    • Corrigé détaillé page 159
18. 18

    Matrices semblables et trace

    p. 58
    • Durée : 1 h 30
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Écrire la matrice d'un endomorphisme dans une base adaptée et en déduire ses puissances
    • Appliquer la formule de changement de base A = PTP⁻¹ sans inverser l'ordre des matrices
    • Calculer le rang d'une matrice à paramètre par opérations élémentaires sur les lignes
    • Corrigé détaillé page 164
19. 19

    Déterminants tridiagonaux et signatures

    p. 62
    • Durée : 2 heures
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Démontrer la formule du déterminant d'un produit à partir des formes n-linéaires alternées
    • Décomposer une permutation en cycles disjoints, puis calculer sa signature et son ordre
    • Établir et résoudre une relation de récurrence linéaire d'ordre 2 vérifiée par un déterminant tridiagonal
    • Corrigé détaillé page 169
20. 20

    Sommes de Riemann et Taylor-Lagrange

    p. 65
    • Durée : 1 h 30
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Majorer l'écart entre une intégrale et sa somme de Riemann pour une fonction lipschitzienne
    • Reconnaître une somme de Riemann dans une somme ou un produit, puis calculer sa limite
    • Étudier une fonction définie par une intégrale à bornes variables, en 0 et en l'infini
    • Corrigé détaillé page 173
21. 21

    Équivalents, séries et interversions

    p. 68
    • Durée : 4 heures
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Obtenir un équivalent simple par développement limité ou par la formule de Stirling, sans additionner d'équivalents
    • Établir un développement asymptotique à deux termes d'une suite définie par une équation
    • Encadrer le reste d'une série convergente par des intégrales et en déduire un équivalent
    • Corrigé détaillé page 178
22. 22

    Urnes, dénombrement et formule de Bayes

    p. 72
    • Durée : 1 h 30
    • Calculatrice interdite
    • 4 exercices
    • Choisir entre listes, arrangements, combinaisons et anagrammes pour dénombrer une situation
    • Démontrer une identité sur les coefficients binomiaux par un double comptage de chemins
    • Appliquer la formule des probabilités totales sur un système complet d'événements
    • Corrigé détaillé page 183
23. 23

    Indicatrices et variance d'une somme

    p. 76
    • Durée : 2 heures
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Justifier qu'une variable aléatoire suit une loi binomiale en nommant les épreuves de Bernoulli indépendantes
    • Dresser le tableau de la loi conjointe d'un couple, en déduire les lois marginales et la covariance
    • Calculer une espérance et une variance en décomposant une variable en somme d'indicatrices
    • Corrigé détaillé page 188
24. 24

    Distance à un sous-espace euclidien

    p. 79
    • Durée : 1 h 30
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Démontrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz avec son cas d'égalité, puis l'utiliser pour un maximum
    • Vérifier qu'une forme bilinéaire sur le plan ou sur des polynômes est un produit scalaire
    • Orthonormaliser une famille par le procédé de Gram-Schmidt
    • Corrigé détaillé page 192
25. 25

    Gradient, règle de la chaîne et EDP

    p. 82
    • Durée : 2 heures
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Étudier la continuité en l'origine d'une fonction de deux variables définie par un quotient
    • Calculer un gradient, une dérivée selon un vecteur et l'équation d'un plan tangent
    • Dériver une fonction composée à l'aide de la règle de la chaîne
    • Corrigé détaillé page 197