Livre de contrôles corrigés de maths de L2 en PDF

Les sujets

1. 1

   Séries de Bertrand et comparaisons

   p. 6
   • Durée : 1 h 30
   • Calculatrice interdite
   • 5 exercices
   • Déterminer la nature d'une série à termes positifs par équivalent ou par négligeabilité devant une série de Riemann
   • Établir la nature des séries de Bertrand selon les valeurs de leurs deux exposants
   • Appliquer la règle de d'Alembert en calculant soigneusement la limite du quotient
   • Corrigé détaillé page 88
2. 2

   Transformation d'Abel et convergence absolue

   p. 9
   • Durée : 1 h 30
   • Calculatrice interdite
   • 4 exercices
   • Démontrer qu'une série absolument convergente converge en utilisant le critère de Cauchy
   • Appliquer le critère des séries alternées et majorer le reste pour atteindre une précision donnée
   • Prouver la convergence d'une série trigonométrique par la transformation d'Abel
   • Corrigé détaillé page 92
3. 3

   Convergence d'intégrales impropres

   p. 12
   • Durée : 1 h 30
   • Calculatrice interdite
   • 5 exercices
   • Établir la nature des intégrales de Riemann en l'infini et en 0
   • Déterminer la nature d'une intégrale de fonction positive par équivalent, domination ou négligeabilité
   • Reconnaître et calculer des intégrales de Bertrand à l'aide d'une primitive
   • Corrigé détaillé page 96
4. 4

   Intégrale de sin(t)/t et règle d'Abel

   p. 15
   • Durée : 2 heures
   • Calculatrice interdite
   • 5 exercices
   • Démontrer la règle d'Abel pour les séries à partir de la sommation par parties
   • Majorer des sommes trigonométriques pour établir une semi-convergence
   • Étudier la convergence d'intégrales impropres par comparaison, Riemann et Bertrand
   • Corrigé détaillé page 100
5. 5

   Puissances de matrices et suites récurrentes

   p. 18
   • Durée : 1 h 30
   • Calculatrice interdite
   • 5 exercices
   • Calculer le polynôme caractéristique, le spectre et les sous-espaces propres d'une matrice carrée
   • Décider de la diagonalisabilité en comparant multiplicité algébrique et dimension du sous-espace propre
   • Former la matrice de passage, calculer son inverse et en déduire la puissance n-ième d'une matrice
   • Corrigé détaillé page 104
6. 6

   Lemme des noyaux et trigonalisation

   p. 21
   • Durée : 1 h 30
   • Calculatrice interdite
   • 4 exercices
   • Démontrer le lemme des noyaux pour deux polynômes premiers entre eux à l'aide d'une relation de Bézout
   • Déterminer le polynôme minimal d'une matrice et en déduire si elle est diagonalisable
   • Trigonaliser une matrice 3×3 en construisant explicitement la matrice de passage
   • Corrigé détaillé page 109
7. 7

   Calculs dans Z/nZ et RSA

   p. 24
   • Durée : 1 h 30
   • Calculatrice interdite
   • 5 exercices
   • Démontrer que tout idéal de Z est principal grâce à la division euclidienne
   • Caractériser les classes inversibles de Z/nZ et calculer un inverse par l'algorithme d'Euclide étendu
   • Démontrer le théorème d'Euler puis l'utiliser pour réduire de grandes puissances modulo n
   • Corrigé détaillé page 113
8. 8

   Ordre, Lagrange et permutations

   p. 28
   • Durée : 1 heure
   • Calculatrice interdite
   • 4 exercices
   • Montrer qu'une partie d'un groupe en est un sous-groupe, ou prouver qu'elle ne l'est pas par un contre-exemple
   • Calculer l'ordre d'un élément dans un groupe additif, multiplicatif ou matriciel
   • Appliquer le théorème de Lagrange aux groupes d'ordre premier et à l'intersection de deux sous- groupes
   • Corrigé détaillé page 117
9. 9

   Partiel d'algèbre du semestre 3

   p. 31
   • Durée : 3 heures
   • Calculatrice interdite
   • 5 exercices
   • Démontrer le théorème de Lagrange et la liberté d'une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes
   • Déduire la diagonalisabilité d'une matrice d'un polynôme annulateur scindé à racines simples
   • Décomposer une permutation en cycles disjoints, puis calculer son ordre, sa signature et une grande puissance
   • Corrigé détaillé page 122
10. 10

    Limites en plusieurs variables

    p. 34
    • Durée : 1 h 30
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Vérifier les axiomes d'une norme sur R² et la comparer à la norme infinie avec des constantes optimales
    • Prouver qu'une partie de R² est ouverte ou fermée grâce à l'image réciproque par une fonction continue
    • Étudier une limite en (0, 0) à l'aide des coordonnées polaires ou d'une majoration par une norme
    • Corrigé détaillé page 127
11. 11

    Différentiabilité en un point

    p. 38
    • Durée : 1 h 30
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Calculer des dérivées partielles, un gradient et une dérivée directionnelle pour une fonction de classe C1
    • Montrer qu'une fonction admettant des dérivées dans toutes les directions peut ne pas être continue
    • Établir la différentiabilité en (0, 0) d'une fonction définie par morceaux grâce à une majoration du reste
    • Corrigé détaillé page 132
12. 12

    Points critiques et points selles

    p. 41
    • Durée : 1 h 30
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Calculer les dérivées partielles secondes d'une fonction et vérifier la conclusion du théorème de Schwarz
    • Trouver les points critiques d'une fonction polynomiale de deux variables et conclure sur leur nature par la hessienne
    • Prouver qu'un point critique est un point selle à l'aide de deux restrictions à des courbes
    • Corrigé détaillé page 136
13. 13

    Urnes infinies et formule de Bayes

    p. 44
    • Durée : 1 heure
    • Calculatrice interdite
    • 4 exercices
    • Modéliser une suite infinie d'essais et exprimer un événement comme réunion ou intersection dénombrable
    • Calculer une probabilité limite grâce au théorème de continuité monotone
    • Appliquer la formule des probabilités totales à un système complet fini puis dénombrable
    • Corrigé détaillé page 141
14. 14

    Lois usuelles et calculs d'espérance

    p. 47
    • Durée : 1 h 30
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Identifier une loi hypergéométrique, géométrique ou de Poisson à partir d'une situation décrite
    • Calculer une espérance par le théorème de transfert en justifiant la convergence absolue de la série
    • Obtenir une variance avec la formule de König-Huygens ou par le moment factoriel
    • Corrigé détaillé page 144
15. 15

    Covariance et fonctions génératrices

    p. 50
    • Durée : 1 heure 30
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Construire le tableau de la loi conjointe d'un couple de variables discrètes et en déduire les lois marginales
    • Calculer une covariance et l'utiliser pour obtenir la variance d'une somme
    • Lire une loi, une espérance et une variance sur une fonction génératrice
    • Corrigé détaillé page 148
16. 16

    Partiel de probabilités discrètes

    p. 53
    • Durée : 3 heures
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Démontrer des propriétés de l'indépendance et construire un couple non corrélé mais dépendant
    • Utiliser la continuité monotone, la formule des probabilités totales et la formule de Bayes sur des lancers répétés
    • Exploiter une loi conjointe : marginales, covariance, variance d'une somme et loi conditionnelle
    • Corrigé détaillé page 153
17. 17

    Suites de fonctions et double limite

    p. 56
    • Durée : 1 h 30
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Démontrer qu'une suite de fonctions uniformément de Cauchy converge uniformément
    • Étudier la convergence simple puis uniforme d'une suite de fonctions à partir de ses maxima
    • Établir la convergence normale d'une série de fonctions sur des segments et en déduire la continuité de sa somme
    • Corrigé détaillé page 157
18. 18

    Sommes de séries entières

    p. 59
    • Durée : 1 h 30
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Justifier le rayon de convergence d'une série entière lacunaire ou à coefficients irréguliers
    • Calculer la somme d'une série entière en dérivant terme à terme une série géométrique
    • Sommer une série entière par intégration terme à terme puis étendre le résultat au bord du disque
    • Corrigé détaillé page 162
19. 19

    Fonction Gamma et intégrale de Gauss

    p. 62
    • Durée : 1 heure 30
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Rédiger une hypothèse de domination pour dériver une intégrale à paramètre sur un intervalle quelconque
    • Établir le domaine de définition de la fonction Gamma et la relation entre Gamma en x + 1 et Gamma en x
    • Démontrer la continuité, la dérivabilité et la convexité de la fonction Gamma
    • Corrigé détaillé page 167
20. 20

    Moindres carrés et projection orthogonale

    p. 65
    • Durée : 1 h 30
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Démontrer qu'une forme bilinéaire symétrique est un produit scalaire grâce à une réduction en carrés
    • Orthonormaliser la base canonique de polynômes de degré au plus 2 par le procédé de Gram- Schmidt
    • Calculer la projection orthogonale d'un vecteur sur un sous-espace, sa matrice et la distance associée
    • Corrigé détaillé page 171
21. 21

    Matrices symétriques et isométries

    p. 69
    • Durée : 1 heure 30
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Établir les propriétés de l'adjoint d'un endomorphisme d'un espace euclidien
    • Retrouver, à partir de sa matrice, la droite fixe d'une rotation de R3 puis le signe de son angle
    • Reconnaître une réflexion et préciser son plan à partir de sa matrice
    • Corrigé détaillé page 177
22. 22

    Coefficients de Fourier et sommes de séries

    p. 73
    • Durée : 1 h 30
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Démontrer l'orthonormalité des exponentielles et en déduire l'inégalité de Bessel
    • Calculer les coefficients de Fourier d'un créneau et d'un signal triangulaire par intégration par parties
    • Vérifier les hypothèses du théorème de Dirichlet pour sommer une série numérique en un point
    • Corrigé détaillé page 183
23. 23

    Réduction de Gauss et signature

    p. 76
    • Durée : 1 heure 30
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Écrire la matrice et la forme polaire d'une forme quadratique
    • Réduire une forme quadratique par la méthode de Gauss, avec ou sans terme carré
    • Déterminer le rang, la signature, le noyau et le cône isotrope d'une forme quadratique
    • Corrigé détaillé page 188
24. 24

    Intégrales doubles et couples à densité

    p. 79
    • Durée : 2 heures
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Calculer une intégrale double sur un domaine élémentaire dans les deux ordres d'intégration
    • Passer en coordonnées polaires et en déduire la valeur de l'intégrale de Gauss
    • Déterminer la constante de normalisation et les densités marginales d'un couple à densité
    • Corrigé détaillé page 192
25. 25

    Coniques, barycentres et affinités

    p. 83
    • Durée : 3 heures
    • Calculatrice interdite
    • 5 exercices
    • Calculer un barycentre et utiliser son associativité dans un triangle
    • Reconnaître une affinité à partir de son expression analytique et déterminer l'image d'une droite
    • Démontrer un alignement par le théorème de Ménélaüs puis le confirmer en coordonnées
    • Corrigé détaillé page 197