Manuel de cours de maths spé (MP) en PDF

Algèbre

1. 1

   Sous-groupe engendré, ordre et groupes cycliques

   p. 5
   • Le plus petit sous-groupe contenant une partie
   • Sous-groupes de Z et groupe Z/nZ
   • Ordre d'un élément
   • Groupes monogènes et groupes cycliques
   • L'ordre divise le cardinal dans un groupe fini
   • Racines n-ièmes de l'unité : un modèle cyclique
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
2. 2

   Sous-espaces stables, blocs et éléments propres

   p. 15
   • Sommes directes de plusieurs sous-espaces
   • Matrices par blocs et déterminant
   • Sous-espaces stables et endomorphisme induit
   • Valeurs propres, vecteurs propres et spectre
   • Somme directe des sous-espaces propres
   • Endomorphismes qui commutent
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
3. 3

   Polynôme caractéristique, diagonalisation, trigonalisation

   p. 26
   • Le polynôme caractéristique
   • Diagonaliser un endomorphisme : définition et critères
   • Le plan type d'une diagonalisation
   • Trigonaliser une matrice
   • Puissances d'une matrice diagonalisable
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
4. 4

   Polynôme minimal, lemme des noyaux et Cayley-Hamilton

   p. 37
   • Algèbres et polynômes d'endomorphismes
   • Idéal annulateur et polynôme minimal
   • Valeurs propres et polynôme annulateur
   • Le lemme de décomposition des noyaux
   • Le théorème de Cayley-Hamilton
   • Sous-espaces caractéristiques et endomorphismes nilpotents
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
5. 5

   Adjoint, endomorphismes autoadjoints et théorème spectral

   p. 47
   • L'adjoint d'un endomorphisme
   • Endomorphismes autoadjoints et projecteurs orthogonaux
   • Le théorème spectral pour les matrices symétriques réelles
   • Matrices positives et définies positives
   • Le quotient de Rayleigh
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo

Arithmétique

1. 6

   Idéaux, anneau Z/nZ et théorème chinois

   p. 59
   • Produits d'anneaux et idéaux
   • Divisibilité et idéaux de Z
   • L'anneau Z/nZ et ses inversibles
   • Le théorème chinois et les systèmes de congruences
   • Indicatrice d'Euler et théorème d'Euler
   • Les idéaux de K[X]
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo

Topologie

1. 7

   Normes, boules et suites dans un espace normé

   p. 70
   • Norme et distance associée
   • Boules, sphères et parties bornées
   • Les normes usuelles
   • Suites dans un espace normé
   • Normes équivalentes
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
2. 8

   Ouverts, fermés, adhérence et limites

   p. 80
   • Ouverts, voisinages et fermés d'un espace normé
   • Intérieur, adhérence et frontière
   • Prouver qu'une partie est fermée par les suites
   • Parties denses et topologie relative
   • Limites, continuité et image réciproque
   • Applications lipschitziennes et uniformément continues
   • Ouverts, fermés et adhérence : trois méthodes pour conclure
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
3. 9

   Compacité, connexité et applications linéaires continues

   p. 89
   • Compacts d'un espace vectoriel normé
   • Ce que la continuité fait d'un compact
   • Parties d'un seul tenant : la connexité par arcs
   • En dimension finie, toutes les normes se valent
   • Applications linéaires continues et norme d'opérateur
   • Applications multilinéaires et polynomiales
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo

Analyse

1. 10

   Séries vectorielles, d'Alembert et sommation des équivalents

   p. 100
   • Séries dans un espace normé de dimension finie
   • La règle de d'Alembert
   • Comparaison série-intégrale
   • Sommation des équivalents et des relations de comparaison
   • Le théorème de Cesàro et les suites récurrentes
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
2. 11

   Convergence des suites et séries de fonctions

   p. 111
   • Convergence simple et convergence uniforme
   • Ce que la convergence uniforme transmet à la limite
   • Séries de fonctions : convergence uniforme et convergence normale
   • Approximation uniforme sur un segment
   • Fiche des hypothèses à cocher en colle
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
3. 12

   Rayon de convergence et séries entières

   p. 121
   • Série entière et lemme d'Abel
   • Rayon de convergence d'une série entière
   • Calculer un rayon selon la forme du coefficient
   • Somme et produit de Cauchy de deux séries entières
   • Régularité de la somme
   • Comportement au bord et théorème d'Abel radial
   • Calculer la somme d'une série entière selon le coefficient
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
4. 13

   Fonctions développables en série entière

   p. 132
   • Régularité de la somme et unicité des coefficients
   • Fonctions développables en série entière
   • Le catalogue des développements usuels
   • Développer par opérations
   • La méthode de l'équation différentielle
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
5. 14

   Dérivation et intégration des fonctions vectorielles

   p. 141
   • Dériver une fonction à valeurs vectorielles
   • Les règles de dérivation vectorielle
   • Intégrer une fonction vectorielle sur un segment
   • L'inégalité des accroissements finis
   • Les formules de Taylor vectorielles
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
6. 15

   Intégrabilité sur un intervalle quelconque

   p. 151
   • Intégrales convergentes
   • Les intégrales de référence
   • Comparaison pour les fonctions positives
   • Intégrabilité sur un intervalle et espace L¹
   • Intégrer par parties, changer de variable
   • Intégration des relations de comparaison
   • Intégrales semi-convergentes
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
7. 16

   Convergence dominée et intégrales à paramètre

   p. 161
   • Le théorème de convergence dominée
   • Intégration terme à terme d'une série
   • Continuité d'une intégrale à paramètre
   • Dérivation sous l'intégrale
   • Fonction Gamma, transformées de Laplace et de Fourier
   • Étude asymptotique d'une intégrale à paramètre
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
8. 17

   Théorème de Cauchy linéaire et wronskien

   p. 172
   • Le cadre des équations différentielles linéaires
   • Théorème de Cauchy linéaire et structure des solutions
   • Le wronskien d'une équation d'ordre 2
   • Variation des constantes pour une équation du second ordre
   • Équations non normalisées et raccordements
   • Solutions développables en série entière
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
9. 18

   Exponentielle de matrice et systèmes X' = AX

   p. 183
   • Définir l'exponentielle de matrice
   • Exponentielle d'une somme et commutation
   • Calculer exp(tA) selon la réduction disponible
   • Spectre, continuité et dérivée
   • Systèmes X' = AX à coefficients constants
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo

Probabilités

1. 19

   Dénombrabilité, tribus et espaces probabilisés

   p. 195
   • Ensembles dénombrables
   • Tribus et espaces probabilisables
   • Probabilités sur un espace probabilisable
   • Continuité monotone et sous-additivité des probabilités
   • Événements de probabilité nulle ou égale à 1
   • Conditionnement, indépendance et systèmes quasi-complets
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
2. 20

   Lois discrètes usuelles : géométrique et Poisson

   p. 207
   • Variables aléatoires discrètes
   • Couples de variables et lois marginales
   • Indépendance de variables aléatoires
   • La loi géométrique, loi du premier succès
   • La loi de Poisson et les événements rares
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
3. 21

   Espérance, variance et covariance d'une variable discrète

   p. 217
   • Espérance d'une variable positive, à valeurs dans [0, +∞]
   • Variables d'espérance finie et formule de transfert
   • Produits de variables et inégalité de Cauchy-Schwarz
   • Variance, écart type et variable centrée réduite
   • Moments des lois géométrique et de Poisson
   • Covariance et variance d'une somme
   • Espérance, variance et covariance : ce que les correcteurs exigent
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
4. 22

   Loi faible des grands nombres et séries génératrices

   p. 228
   • Les inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev
   • La loi faible des grands nombres
   • Séries génératrices : définition et caractérisation de la loi
   • Les fonctions génératrices des lois usuelles
   • Espérance et variance par la fonction génératrice
   • Somme de variables indépendantes
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo

Géométrie

1. 23

   Isométries vectorielles et matrices orthogonales

   p. 240
   • Représenter une forme linéaire par un vecteur
   • Isométries vectorielles
   • Matrices orthogonales et orientation
   • Symétries orthogonales et réflexions
   • Isométries du plan euclidien
   • Réduction et rotations de l'espace
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo

Calcul différentiel

1. 24

   Différentielle, jacobienne et règle de la chaîne

   p. 251
   • Dériver dans une direction : le point de départ
   • Différentielle, matrice jacobienne et gradient
   • Différentielle des applications multilinéaires, du déterminant et de l'inverse
   • Règle de la chaîne et dérivée le long d'un arc
   • Classe C1, intégrale de df et fonctions constantes
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo
2. 25

   Extremums, hessienne et optimisation sous contrainte

   p. 262
   • Dérivées d'ordre supérieur et théorème de Schwarz
   • Matrice hessienne et formule de Taylor-Young
   • Points critiques et extremums libres
   • Le cas n = 2 : trace et déterminant de la hessienne
   • Vecteurs tangents et espace tangent à une ligne de niveau
   • Extremums liés : optimiser sous une contrainte
   • Équations aux dérivées partielles simples
   • Erreurs fréquentes et fiche mémo