Quiz développements limités en automatique en L1

En intégrant le DL de \(\tfrac{1}{1-x}\), le DL à l'ordre 3 de \(-\ln(1-x)\) est :

A.\(x - \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x^3}{3}\)B.\(x + x^2 + x^3\)C.\(1 + x + \tfrac{x^2}{2}\)D.\(x + \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x^3}{3}\)

Si \(f(x) = 2 + 3x - x^2 + o(x^2)\), alors près de 0 la courbe de \(f\) est :

A.sous sa tangente \(y = 2 + 3x\)B.au-dessus de sa tangente \(y = 2 + 3x\)C.sous sa tangente \(y = 3x\)D.de part et d'autre de sa tangente

Ce que ce quiz de L1 fait réviser

Ce quiz express fait travailler les automatismes du calcul asymptotique : retrouver un coefficient de développement limité de tête, adapter un DL usuel en remplaçant \(x\) par \(2x\), obtenir un équivalent pour lever une forme indéterminée, intégrer un DL connu, et lire la position d'une courbe par rapport à sa tangente ou à son asymptote. Les questions sont courtes et visent les gestes à faire sans réfléchir.

Utilise-le juste avant un TD de calcul de limites ou la veille d'un partiel d'analyse. Les mauvaises réponses reprennent les fautes classiques : oublier la factorielle, se tromper de signe dans le terme d'ordre deux, mal choisir l'ordre auquel développer, ou confondre \(o(x^2)\) et \(O(x^2)\). En cas d'erreur, réécris le DL au brouillon en partant de la formule de Taylor-Young, puis refais le quiz jusqu'au sans-faute.

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Questions fréquentes : développements limités en automatique en L1

Jusqu'à quel ordre faut-il développer pour calculer une limite ?

Il faut aller jusqu'au premier terme qui ne s'annule pas après simplification, au numérateur comme au dénominateur. Si tout s'annule, on recommence à un ordre plus élevé.

Peut-on dériver un développement limité terme à terme ?

Pas sans précaution : on peut intégrer un DL de \(f^{\prime}\) pour obtenir celui de \(f\), mais l'inverse demande de savoir que \(f^{\prime}\) admet un DL. Le réflexe sûr est d'intégrer.

Quelle différence entre un équivalent et un développement limité ?

Un équivalent ne garde que le terme principal, ce qui suffit pour une limite d'un produit ou d'un quotient. Un DL garde plusieurs termes et permet aussi les sommes et les différences.

Quiz développements limités en automatique en L1 de maths

Coefficient de \(x^3\) dans le DL en 0 de \(e^{2x}\) ?

Équivalent en 0 de \(1 - \cos(2x)\) ?

DL à l'ordre 2 en 0 de \((1+x)^{1/3}\) ?

Limite en 0 de \(\dfrac{\tan x - x}{x^3}\) ?

En intégrant le DL de \(\tfrac{1}{1-x}\), le DL à l'ordre 3 de \(-\ln(1-x)\) est :

Pour écrire Taylor-Young à l'ordre \(n\) en \(a\), il suffit que \(f\) soit :

Si \(f(x) = 2 + 3x - x^2 + o(x^2)\), alors près de 0 la courbe de \(f\) est :

Asymptote en \(+\infty\) de \(x \mapsto \sqrt{x^2 + 4x}\) ?

Laquelle de ces relations est vraie au voisinage de 0 ?

Si \(f\) est paire et admet un DL en 0, ses termes non nuls sont :

Ce que ce quiz de L1 fait réviser

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