Quiz résoudre vite une équation linéaire en L1

Quiz résoudre vite une équation linéaire en L1 de maths

Dix questions éclair pour automatiser la résolution des équations différentielles linéaires du premier et du second ordre, de l'homogène au problème de Cauchy.

Sur un intervalle, avec \(a\) et \(b\) continues, les solutions de \(y^{\prime} + a(x) y = b(x)\) forment :

A.un plan vectoriel de fonctionsB.un ensemble fini de fonctionsC.un plan affine de fonctionsD.une droite affine de fonctions

Ce que ce quiz de L1 fait réviser

Ce quiz express fait travailler les gestes de base des équations différentielles linéaires : écrire tout de suite les solutions d'une équation homogène du premier ordre, savoir quelle dérivée on obtient dans la variation de la constante, lire les racines d'une équation caractéristique et en déduire la forme des solutions, réelles ou oscillantes. Il passe aussi en revue la forme à chercher pour une solution particulière, le principe de superposition, le nombre de conditions d'un problème de Cauchy et le parallèle avec les suites récurrentes linéaires d'ordre deux.

Fais-le avant un TD ou une interrogation écrite, en notant seulement la réponse, sans brouillon. Une hésitation sur la forme de la solution particulière ou sur une racine double indique la fiche à relire en priorité. Reprends-le la semaine d'un partiel pour vérifier que la méthode tombe sans effort.

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Questions fréquentes : résoudre vite une équation linéaire en L1

Quand faut-il multiplier la solution particulière cherchée par x ?

Quand l'exposant du second membre exponentiel est racine de l'équation caractéristique : on multiplie par x pour une racine simple et par x² pour une racine double.

La variation de la constante marche-t-elle toujours au premier ordre ?

Oui, dès que a et b sont continues sur un intervalle. Elle ramène le problème au calcul d'une primitive, qui peut ensuite être plus ou moins explicite.

Pourquoi faut-il travailler sur un intervalle ?

Le théorème de Cauchy linéaire et la structure de l'ensemble des solutions supposent un intervalle. Sur une réunion d'intervalles, les constantes peuvent changer d'un morceau à l'autre.

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Solutions sur \(\mathbb{R}\) de \(y^{\prime} + 2xy = 0\) ?

\(y^{\prime} = 3y\) et \(y(0) = 5\). Que vaut \(y(1)\) ?

Pour \(y^{\prime} + a y = b\), on pose \(y = C(x) e^{-A(x)}\) avec \(A\) primitive de \(a\). Alors \(C^{\prime}(x)\) vaut :

Racines de l'équation caractéristique de \(y^{\prime\prime} - 2y^{\prime} + 10y = 0\) ?

Solutions réelles de \(y^{\prime\prime} + 10y^{\prime} + 25y = 0\) ?

Pour \(y^{\prime\prime} - 3y^{\prime} + 2y = e^{2x}\), quelle forme de solution particulière chercher ?

Sur un intervalle, avec \(a\) et \(b\) continues, les solutions de \(y^{\prime} + a(x) y = b(x)\) forment :

\(y_1\) résout l'équation de second membre \(x\), \(y_2\) celle de second membre \(e^x\). Solution pour \(x + 3ème^x\) ?

Combien de conditions initiales fixent une unique solution d'une équation linéaire d'ordre 2 ?

Forme générale des suites vérifiant \(u_{n+2} = 5u_{n+1} - 6u_n\) ?

Ce que ce quiz de L1 fait réviser

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