Quiz dimension et familles de vecteurs en L1

En dimension finie, \(F\) et \(G\) sont supplémentaires dans \(E\) si…

A.\(F \cap G = \{0\}\) et \(\dim F + \dim G = \dim E\)B.\(F \cap G = \{0\}\) seulementC.\(\dim F + \dim G = \dim E\) seulementD.\(F \cup G = E\)

\(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : xy = 0\}\) est-il un sous-espace de \(\mathbb{R}^2\) ?

A.Non, il n'est pas stable par sommeB.Oui, il contient le vecteur nulC.Non, il ne contient pas le vecteur nulD.Oui, c'est une droite vectorielle

Ce que ce quiz de L1 fait réviser

Ce quiz express travaille les réflexes d'algèbre linéaire de licence : donner de tête la dimension d'un espace de matrices, d'un hyperplan ou d'un espace de suites récurrentes, reconnaître si un ensemble est un sous-espace vectoriel, et savoir sans calcul qu'une famille trop longue est forcément liée. Chaque question se règle en moins d'une minute.

Il te fait aussi manipuler le rang d'une famille, trouver des coordonnées dans une base simple, utiliser la formule de Grassmann pour minorer une intersection et appliquer le bon critère de supplémentarité en dimension finie. Fais-le avant ton TD pour repérer les notions floues, puis refais-le avant le partiel ou le contrôle continu en visant le sans-faute : ces automatismes servent ensuite dans tous les chapitres sur les applications linéaires et les matrices.

Aller plus loin sur dimension et familles de vecteurs

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Questions fréquentes : dimension et familles de vecteurs en L1

Comment montrer rapidement qu'un ensemble n'est pas un sous-espace vectoriel ?

On vérifie d'abord qu'il contient le vecteur nul ; sinon c'est réglé. S'il le contient, on cherche deux éléments dont la somme sort de l'ensemble, ou un multiple qui en sort.

Quel critère utiliser pour prouver que deux sous-espaces sont supplémentaires ?

En dimension finie, il suffit que leur intersection soit réduite au vecteur nul et que la somme de leurs dimensions soit égale à la dimension de l'espace.

Une famille génératrice contient-elle toujours une base ?

Oui en dimension finie : on peut retirer un à un les vecteurs qui sont combinaisons linéaires des autres jusqu'à obtenir une famille libre, qui reste génératrice.

Quiz dimension et familles de vecteurs en L1 de maths

Dimension de l'espace des matrices réelles à 2 lignes et 3 colonnes ?

Dimension de \(\{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 : x + y + z + t = 0\}\) ?

Dans \(\mathbb{R}^5\), \(\dim F = 3\) et \(\dim G = 4\). Que peut-on dire de \(\dim(F \cap G)\) ?

En dimension finie, \(F\) et \(G\) sont supplémentaires dans \(E\) si…

\(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : xy = 0\}\) est-il un sous-espace de \(\mathbb{R}^2\) ?

Une famille de 4 vecteurs de \(\mathbb{R}^3\) est forcément…

Rang de la famille \(((1,2), (2,4), (3,6))\) ?

Dans \(\mathbb{R}_2[X]\), la famille \((1, X-1, (X-1)^2)\) est…

Coordonnées de \((3,5)\) dans la base \(((1,1), (1,-1))\) ?

Dimension de l'espace des suites réelles vérifiant \(u_{n+2} = u_{n+1} + u_n\) ?

Ce que ce quiz de L1 fait réviser

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Questions fréquentes : dimension et familles de vecteurs en L1