Espaces vectoriels, bases, dimension en L1 de maths : exercices corrigés

---

---

Pour démarrer

Exercice 1 – Quatre parties de R3 à tester

Dire, en justifiant, si chacune des parties suivantes de \(\mathbb{R}^3\) est un sous-espace vectoriel. Donner la dimension de celles qui le sont.

1. \(A = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : 2x – y + 5z = 0\}\).
2. \(B = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x + y = 1\}\).
3. \(C = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x^2 = y^2\}\).
4. \(D = \{(a + b, a – b, 3a) : a, b \in \mathbb{R}\}\).

Exercice 2 – Équation d’un plan engendré

Soit \(P = \mathrm{Vect}(u, v)\), avec \(u = (2, -1, 1)\) et \(v = (1, 3, 0)\).

1. Justifier que \(P\) est un plan de \(\mathbb{R}^3\).
2. Trouver une relation entre \(x\), \(y\) et \(z\) qui caractérise l’appartenance de \((x, y, z)\) à \(P\).
3. Tester l’appartenance de \(w = (1, -4, 1)\) à \(P\) ; en cas de réponse positive, exprimer \(w\) à partir de \(u\) et \(v\).
4. Faire le même test avec \((1, 1, 1)\).

Exercice 3 – Liberté de quatre familles de R3

Dire si chaque famille de \(\mathbb{R}^3\) est libre ou liée. Lorsqu’elle est liée, donner une relation explicite.

1. \(\big((1, 0, 2), (3, 1, -1)\big)\).
2. \(\big((1, 2, 3), (2, 3, 4), (3, 4, 5)\big)\).
3. \(\big((1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)\big)\).
4. \(\big((1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1), (2, -1, 5)\big)\).

Exercice 4 – Coordonnées dans une base décalée de polynômes

1. Justifier que la famille \(\mathcal{B} = \big(1, X + 2, (X + 2)^2\big)\) forme une base de \(\mathbb{R}_2[X]\).
2. Écrire \(Q = X^2 + 3X – 1\) comme combinaison des trois polynômes de \(\mathcal{B}\).
3. Pour un polynôme \(P\) quelconque de degré au plus 2, relier ses trois coordonnées dans \(\mathcal{B}\) aux nombres \(P(-2)\), \(P^{\prime}(-2)\) et \(P^{\prime\prime}(-2)\).

Exercice 5 – Deux sous-espaces de matrices carrées d’ordre 2

Dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\), on note \(M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) et l’on pose :

\[ F = \{M : a + d = 0 \text{ et } b = 2c\}, \qquad G = \Big\{M : M \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\Big\}. \]

1. Montrer que \(F\) et \(G\) sont des sous-espaces et donner une base de chacun.
2. Déterminer \(F \cap G\).
3. En déduire que \(F\) et \(G\) sont supplémentaires dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\).

Exercice 6 – Cosinus, sinus et leurs cousines

On travaille dans \(\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})\).

1. Montrer que la famille \(\big(\cos, \sin, x \mapsto \sin(x + \pi/3)\big)\) est liée, en donnant une relation explicite.
2. Montrer que la famille \(\big(\cos, \sin, x \mapsto \cos(2x)\big)\) est libre.
3. La famille \(\big(x \mapsto \cos^2 x, x \mapsto \sin^2 x, x \mapsto \cos(2x)\big)\) est-elle libre ?

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Un plan et une droite supplémentaires

Dans \(\mathbb{R}^3\), on considère le plan \(P : x – 2y + z = 0\) et la droite \(D = \mathrm{Vect}\big((1, 1, 2)\big)\).

1. Montrer que \(P \cap D = \{0\}\).
2. En déduire que \(\mathbb{R}^3 = P \oplus D\).
3. Pour \(u = (x, y, z)\), déterminer l’unique couple \((p, d) \in P \times D\) tel que \(u = p + d\).
4. Appliquer au vecteur \((3, 0, -1)\).

Exercice 8 – Polynômes de degré au plus 3 sous deux conditions

Soit \(F = \{P \in \mathbb{R}_3[X] : P(2) = P(0) \text{ et } P^{\prime}(1) = 0\}\).

1. Montrer que \(F\) est un sous-espace de \(\mathbb{R}_3[X]\).
2. Déterminer une base de \(F\) et sa dimension.
3. Montrer que \(G = \mathrm{Vect}(X, X^3)\) est un supplémentaire de \(F\) dans \(\mathbb{R}_3[X]\).

Exercice 9 – Extraire une base dans R4

On considère dans \(\mathbb{R}^4\) les vecteurs \(u_1 = (1, 0, 2, 1)\), \(u_2 = (2, 1, 3, 0)\), \(u_3 = (0, 1, -1, -2)\), \(u_4 = (1, 1, 1, 1)\) et \(u_5 = (3, 2, 4, 1)\). On note \(F = \mathrm{Vect}(u_1, \dots, u_5)\).

1. Exprimer \(u_3\) et \(u_5\) à l’aide des autres vecteurs.
2. Montrer que \((u_1, u_2, u_4)\) est libre. En déduire une base de \(F\) et sa dimension.
3. Déterminer une équation de \(F\).

Exercice 10 – Rang selon un paramètre

Pour \(a\) réel, on pose \(v_1 = (1, -1, 0)\), \(v_2 = (2, a, 1)\) et \(v_3 = (0, 3, a)\).

1. Déterminer, selon \(a\), le rang de la famille \((v_1, v_2, v_3)\), à l’aide du pivot de Gauss.
2. Pour quelles valeurs de \(a\) cette famille est-elle une base de \(\mathbb{R}^3\) ?
3. Pour chaque valeur exceptionnelle, écrire \(v_3\) comme combinaison de \(v_1\) et \(v_2\).

Exercice 11 – Une récurrence linéaire d’ordre deux

On note \(F\) la partie de \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\) formée des suites \((u_n)\) qui vérifient, à chaque rang \(n\), la relation \(u_{n+2} = u_{n+1} + 6u_n\).

1. Établir que \(F\) contient la suite nulle et reste stable par combinaison linéaire.
2. Déterminer les réels \(r\) non nuls tels que la suite \((r^n)\) appartienne à \(F\).
3. Montrer que les deux suites obtenues forment une famille libre.
4. Montrer qu’elles engendrent \(F\). En déduire \(\dim F\).
5. Exprimer la suite de \(F\) telle que \(u_0 = 1\) et \(u_1 = 8\).

Exercice 12 – Fonctions nulles en 0 et en 1

Dans \(E = \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})\), on pose \(F = \{f \in E : f(0) = f(1) = 0\}\) et \(G = \{x \mapsto \alpha + \beta x : \alpha, \beta \in \mathbb{R}\}\).

1. Montrer que \(F\) et \(G\) sont des sous-espaces de \(E\).
2. Montrer, par analyse-synthèse, que \(E = F \oplus G\).
3. Décomposer la fonction exponentielle selon cette somme directe.

Exercice 13 – Grassmann dans R4

Dans \(\mathbb{R}^4\), on pose \(F = \{(x, y, z, t) : x – y + 2t = 0\}\) et \(G = \mathrm{Vect}(g_1, g_2, g_3)\), avec \(g_1 = (1, 1, 0, 0)\), \(g_2 = (0, 2, 1, 0)\) et \(g_3 = (1, -1, -1, 0)\).

1. Donner la dimension de \(F\).
2. Déterminer la dimension de \(G\). Attention au piège.
3. Déterminer \(F \cap G\).
4. En déduire \(F + G\). La somme est-elle directe ?

Exercice 14 – Base de Lagrange aux points 0, 1 et 2

On pose \(L_0 = \frac{1}{2}(X – 1)(X – 2)\), \(L_1 = -X(X – 2)\) et \(L_2 = \frac{1}{2}X(X – 1)\).

1. Calculer \(L_i(j)\) pour \(i, j \in \{0, 1, 2\}\).
2. En déduire que \((L_0, L_1, L_2)\) est une base de \(\mathbb{R}_2[X]\).
3. Montrer que tout \(P \in \mathbb{R}_2[X]\) s’écrit \(P = P(0)L_0 + P(1)L_1 + P(2)L_2\).
4. Donner les coordonnées de \(X^2 + 1\), puis celles du polynôme constant \(1\).

Exercice 15 – Matrices commutant avec une matrice triangulaire

Soit \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\) et \(\mathcal{C}(A) = \{M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) : AM = MA\}\).

1. Montrer que \(\mathcal{C}(A)\) est un sous-espace de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\).
2. Déterminer une base de \(\mathcal{C}(A)\) et sa dimension.
3. Vérifier que \(\mathcal{C}(A) = \mathrm{Vect}(I_2, A)\).

Exercice 16 – Liberté sur R et liberté sur C

On considère \(z_1 = (1, i)\) et \(z_2 = (i, -1)\) dans \(\mathbb{C}^2\).

1. Montrer que \((z_1, z_2)\) est liée dans \(\mathbb{C}^2\) vu comme espace sur \(\mathbb{C}\).
2. Montrer que \((z_1, z_2)\) est libre dans \(\mathbb{C}^2\) vu comme espace sur \(\mathbb{R}\).
3. Donner une base de \(\mathbb{C}^2\) sur \(\mathbb{R}\) et sa dimension réelle.
4. Compléter \((z_1, z_2)\) en une base de \(\mathbb{C}^2\) sur \(\mathbb{R}\).

Pour approfondir

Exercice 17 – Fonctions valeur absolue décalées

Soient \(n \geq 1\) et des réels \(a_1 < a_2 < \dots < a_n\). On note \(f_k : x \mapsto |x – a_k|\).

1. Montrer que \((f_1, \dots, f_n)\) est une famille libre de \(\mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})\). On pourra étudier la dérivabilité en chaque \(a_j\).
2. En déduire que \(\mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})\) n’est pas de dimension finie.
3. Soit \(g : x \mapsto |x| + |x – 2| – 2|x – 1|\). Montrer que \(g\) est nulle hors de \([0, 2]\), mais que \(g\) n’est pas la fonction nulle. Expliquer pourquoi ce fait est cohérent avec la question 1.
4. La famille \(\big(x \mapsto |x|, x \mapsto |x – 1|, x \mapsto x, x \mapsto 1\big)\) est-elle libre ?

Exercice 18 – Intersection forcée chez les polynômes de degré 4

Dans \(\mathbb{R}_4[X]\), on pose \(F = \{P : P(1) = P(-1) = 0\}\) et \(G = \mathrm{Vect}(1 + X^2, X^3, X + X^4)\).

1. Montrer que \(F = \{(X^2 – 1)Q : Q \in \mathbb{R}_2[X]\}\) et en déduire \(\dim F\).
2. Déterminer \(\dim G\).
3. Sans calcul, prouver que \(F \cap G\) n’est pas réduit à \(\{0\}\).
4. Déterminer \(F \cap G\), puis \(F + G\).

Exercice 19 – Problème – Base des polynômes binomiaux

Soit \(n \in \mathbb{N}^*\). On pose \(H_0 = 1\) et, pour \(k \geq 1\) :

\[ H_k = \frac{X(X – 1) \cdots (X – k + 1)}{k!}. \]

Pour \(P \in \mathbb{R}[X]\), on note \(\Delta P = P(X + 1) – P(X)\), puis \(\Delta^0 P = P\) et \(\Delta^{k+1} P = \Delta(\Delta^k P)\).

1. Montrer que \((H_0, \dots, H_n)\) est une base de \(\mathbb{R}_n[X]\).
2. Montrer que \(\Delta H_k = H_{k-1}\) pour \(k \geq 1\), et que \(\Delta H_0 = 0\).
3. Soit \(P = \sum_{k=0}^{n} c_k H_k\). Montrer que \(c_k = (\Delta^k P)(0)\) pour tout \(k\).
4. Calculer les coordonnées de \(X^3\) dans \((H_0, H_1, H_2, H_3)\) à l’aide des valeurs \(P(0), \dots, P(3)\).
5. Montrer que \(H_k(m)\) est un entier pour tout entier naturel \(m\). En déduire que si les \(c_k\) sont entiers, alors \(P(m)\) est entier pour tout \(m \in \mathbb{N}\).
6. Réciproquement, montrer que si \(P \in \mathbb{R}_n[X]\) prend des valeurs entières en \(0, 1, \dots, n\), alors ses coordonnées \(c_k\) sont entières.
7. Application : écrire \(S = \frac{1}{6}X(X + 1)(2X + 1)\) dans la base \((H_0, H_1, H_2, H_3)\).

Pour aller plus loin

Télécharger puis imprimer cette fiche en PDF.

Télécharger ou imprimer cette fiche «espaces vectoriels, bases, dimension en L1 de maths : exercices corrigés» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.

---

OK

 Maths PDF c'est 16 224 769 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 4 250 exercices.