Complexes et forme exponentielle en L1 de maths : cours et méthodes

On associe à \(z = x + iy\) son conjugué \(\overline{z} = x – iy\). Dans le plan, on passe de l’un à l’autre en « retournant » la figure autour de l’axe des abscisses.

La conjugaison respecte les opérations : \(\overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w}\), \(\overline{zw} = \overline{z}\,\overline{w}\), et \(\overline{1/z} = 1/\overline{z}\) pour \(z\) non nul. Elle permet aussi de retrouver les deux coordonnées : \(\mathrm{Re}(z) = \frac{z + \overline{z}}{2}\) et \(\mathrm{Im}(z) = \frac{z – \overline{z}}{2i}\). Enfin, l’égalité \(\overline{z} = z\) caractérise les réels, tandis que \(\overline{z} = -z\) caractérise les imaginaires purs.

On appelle module de \(z = x + iy\) le nombre \(|z| = \sqrt{x^2 + y^2}\), qui mesure l’éloignement entre \(z\) et 0. De la même façon, \(|z – w|\) mesure l’écart entre \(z\) et \(w\) vus comme points du plan.

On a \(z\overline{z} = |z|^2\). Par conséquent, \(|zw| = |z|\,|w|\) et, pour \(w \neq 0\), \(|z/w| = |z|/|w|\). De plus, \(|z| = 0\) si et seulement si \(z = 0\).

Calculons le module de \(q = \dfrac{(2 – i)^3}{(1 + 2i)(3 + 4i)}\) sans développer. Le module est multiplicatif, donc \(|q| = \dfrac{|2 – i|^3}{|1 + 2i|\,|3 + 4i|}\). Or \(|2 – i| = \sqrt{5}\), \(|1 + 2i| = \sqrt{5}\) et \(|3 + 4i| = 5\). Ainsi, \(|q| = \dfrac{5\sqrt{5}}{5\sqrt{5}} = 1\). Autrement dit, \(q\) est sur le cercle unité, ce qu’un développement aurait caché derrière des calculs longs.

Pour tous complexes \(z\) et \(w\), on a \(\big|\,|z| – |w|\,\big| \leqslant |z + w| \leqslant |z| + |w|\). L’égalité \(|z + w| = |z| + |w|\) a lieu si et seulement si \(w = 0\) ou s’il existe un réel \(\lambda \geqslant 0\) tel que \(z = \lambda w\).

D’abord, on développe : \(|z + w|^2 = (z + w)(\overline{z} + \overline{w}) = |z|^2 + |w|^2 + 2\,\mathrm{Re}(z\overline{w})\). Ensuite, pour tout complexe \(u\), on a \(\mathrm{Re}(u) \leqslant |u|\), avec égalité si et seulement si \(u\) est un réel positif. Donc \(|z + w|^2 \leqslant |z|^2 + |w|^2 + 2|z|\,|w| = (|z| + |w|)^2\). Les deux membres étant positifs, on obtient l’inégalité de droite.

Pour le cas d’égalité, il faut \(\mathrm{Re}(z\overline{w}) = |z\overline{w}|\), c’est-à-dire \(z\overline{w} = \mu\) avec \(\mu \geqslant 0\). Si \(w \neq 0\), on multiplie par \(w\) : \(z|w|^2 = \mu w\), soit \(z = \lambda w\) avec \(\lambda = \mu/|w|^2 \geqslant 0\). La réciproque est immédiate. Enfin, l’inégalité de gauche s’obtient en écrivant \(z = (z + w) + (-w)\), puis en échangeant les rôles de \(z\) et \(w\).

Le module n’est pas additif : avec \(z = 1\) et \(w = i\), on a \(|z + w| = \sqrt{2}\), alors que \(|z| + |w| = 2\). De même, \(|z|^2\) n’est pas \(z^2\) : pour \(z = i\), on a \(|z|^2 = 1\) mais \(z^2 = -1\).

Pour tous réels \(a\) et \(b\) :

\[ \cos(a + b) = \cos a \cos b – \sin a \sin b, \qquad \sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b. \]

On en déduit les formules de duplication \(\cos 2a = 2\cos^2 a – 1 = 1 – 2\sin^2 a\) et \(\sin 2a = 2 \sin a \cos a\).

Pour tout réel \(\theta\), on pose \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\). C’est le point du cercle unité \(\mathbb{U} = \{z \in \mathbb{C}, \ |z| = 1\}\) repéré par l’angle \(\theta\).

Pour tous réels \(a\) et \(b\), on a \(e^{ia} e^{ib} = e^{i(a+b)}\). De plus, \(\overline{e^{ia}} = e^{-ia} = 1/e^{ia}\), et \(e^{ia} = 1\) si et seulement si \(a \in 2\pi\mathbb{Z}\).

On développe le produit : \((\cos a + i\sin a)(\cos b + i\sin b) = (\cos a\cos b – \sin a \sin b) + i(\sin a\cos b + \cos a \sin b)\). Par les formules d’addition, c’est \(\cos(a+b) + i\sin(a+b)\). Ensuite, \(e^{ia}e^{-ia} = e^{0} = 1\), d’où l’inverse, et le conjugué se lit sur la définition. Enfin, \(e^{ia} = 1\) équivaut à \(\cos a = 1\), car alors \(\sin a = 0\) automatiquement. Cela revient à \(a \in 2\pi\mathbb{Z}\).

Soit \(z\) un complexe non nul. Le nombre \(z/|z|\) est de module 1, donc il s’écrit \(e^{i\theta}\). Tout réel \(\theta\) qui convient est un argument de \(z\) ; deux arguments diffèrent d’un multiple de \(2\pi\). L’écriture \(z = r e^{i\theta}\), avec \(r = |z| > 0\), est la forme exponentielle de \(z\).

Soit \(z\) et \(w\) deux complexes non nuls, d’arguments respectifs \(\theta\) et \(\varphi\). Alors \(zw\) a pour argument \(\theta + \varphi\), et \(z/w\) a pour argument \(\theta – \varphi\). De plus, \(\overline{z}\) a pour argument \(-\theta\). Toutes ces égalités s’entendent modulo \(2\pi\).

Pour mettre \(z = x + iy\) non nul sous forme exponentielle :

1. Calculer \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\).
2. Écrire \(\cos\theta = x/r\) et \(\sin\theta = y/r\).
3. Reconnaître un angle remarquable en utilisant les deux équations, pas seulement la tangente.
4. Conclure \(z = r e^{i\theta}\) et vérifier le quadrant à l’aide des signes de \(x\) et \(y\).

Soit \(z = (1 – i)(\sqrt{3} + i)\). D’une part, \(1 – i = \sqrt{2}\,e^{-i\pi/4}\) et \(\sqrt{3} + i = 2e^{i\pi/6}\). Donc \(z = 2\sqrt{2}\,e^{i(\pi/6 – \pi/4)} = 2\sqrt{2}\,e^{-i\pi/12}\). D’autre part, en développant, \(z = (\sqrt{3} + 1) + i(1 – \sqrt{3})\). On identifie alors les parties réelles :

\[ 2\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{12} = \sqrt{3} + 1, \quad \text{donc} \quad \cos\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}. \]

Ainsi, la comparaison des deux formes fournit gratuitement une valeur exacte de cosinus.

Formule de Moivre : pour tout réel \(\theta\) et tout entier \(n \in \mathbb{Z}\), \((\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)\).

Formules d’Euler : pour tout réel \(\theta\),

\[ \cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}, \qquad \sin\theta = \frac{e^{i\theta} – e^{-i\theta}}{2i}. \]

Pour linéariser \(\cos^p x \sin^q x\) :

1. Remplacer \(\cos x\) et \(\sin x\) par leurs expressions d’Euler.
2. Développer avec la formule du binôme, en posant \(u = e^{ix}\).
3. Regrouper les termes conjugués \(u^k\) et \(u^{-k}\) pour faire apparaître \(2\cos(kx)\) ou \(2i\sin(kx)\).
4. Contrôler le résultat en une valeur simple de \(x\).

Linéarisons \(f(x) = \cos x \sin^3 x\). Avec \(u = e^{ix}\), on a \(\sin^3 x = \dfrac{(u – u^{-1})^3}{(2i)^3} = \dfrac{u^3 – 3u + 3u^{-1} – u^{-3}}{-8i}\). Ensuite, on multiplie par \(\cos x = \frac{u + u^{-1}}{2}\) :

\[ (u^3 – 3u + 3u^{-1} – u^{-3})(u + u^{-1}) = u^4 – 2u^2 + 2u^{-2} – u^{-4}. \]

Or \(u^4 – u^{-4} = 2i\sin 4x\) et \(u^2 – u^{-2} = 2i\sin 2x\). Donc \(f(x) = \dfrac{2i\sin 4x – 4i\sin 2x}{-16i} = \dfrac{\sin 2x}{4} – \dfrac{\sin 4x}{8}\). Contrôle en \(x = \pi/4\) : \(f(\pi/4) = (\sqrt{2}/2)^4 = 1/4\), et le membre de droite vaut bien \(1/4 – 0\).

Résolvons \(\cos 5x + \cos 3x = 0\) sur \([0, \pi]\). D’abord, la formule de l’angle moitié donne \(e^{5ix} + e^{3ix} = 2\cos x \, e^{4ix}\). En prenant la partie réelle, on obtient \(\cos 5x + \cos 3x = 2\cos 4x \cos x\). Ensuite, l’équation équivaut à \(\cos 4x = 0\) ou \(\cos x = 0\). Le premier cas donne \(4x = \frac{\pi}{2} + k\pi\), soit \(x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{4}\). Le second donne \(x = \frac{\pi}{2}\) dans \([0, \pi]\). Finalement, les solutions sont \(\frac{\pi}{8}\), \(\frac{3\pi}{8}\), \(\frac{\pi}{2}\), \(\frac{5\pi}{8}\) et \(\frac{7\pi}{8}\). Ainsi, la factorisation a transformé une équation compliquée en deux équations élémentaires.

Soit \(w = re^{i\alpha}\) avec \(r > 0\). L’équation \(\delta^2 = w\), d’inconnue \(\delta \in \mathbb{C}\), a pour solutions \(\sqrt{r}\,e^{i\alpha/2}\) et son opposé, et seulement elles.

Le complexe \(\delta_0 = \sqrt{r}\,e^{i\alpha/2}\) vérifie \(\delta_0^2 = r e^{i\alpha} = w\). Ensuite, \(\delta^2 = w\) équivaut à \(\delta^2 – \delta_0^2 = 0\), soit \((\delta – \delta_0)(\delta + \delta_0) = 0\). Comme \(\mathbb{C}\) n’a pas de diviseur de zéro, on obtient \(\delta = \pm\delta_0\). Enfin, ces deux nombres sont distincts car \(\delta_0 \neq 0\).

Pour trouver les racines carrées \(\delta = a + ib\) de \(w = u + iv\) :

1. Écrire \(\delta^2 = w\) : cela donne \(a^2 – b^2 = u\) et \(2ab = v\).
2. Ajouter l’égalité des modules : \(a^2 + b^2 = |w|\).
3. En déduire \(a^2\) et \(b^2\) par demi-somme et demi-différence.
4. Choisir les signes de \(a\) et \(b\) grâce au signe de \(ab\), donné par \(2ab = v\).

Résolvons \(z^2 – (1 + 4i)z – 5 – i = 0\). Le discriminant vaut \(\Delta = (1 + 4i)^2 + 4(5 + i) = 1 + 8i – 16 + 20 + 4i = 5 + 12i\). Cherchons \(\delta = a + ib\) avec \(\delta^2 = \Delta\). On a \(a^2 – b^2 = 5\), \(2ab = 12\) et \(a^2 + b^2 = |\Delta| = 13\). Donc \(a^2 = 9\) et \(b^2 = 4\). De plus, \(ab > 0\), d’où \(\delta = \pm(3 + 2i)\). Les solutions sont alors

\[ z_1 = \frac{1 + 4i + 3 + 2i}{2} = 2 + 3i, \qquad z_2 = \frac{1 + 4i – 3 – 2i}{2} = -1 + i. \]

Vérification rapide : \(z_1 + z_2 = 1 + 4i\) et \(z_1 z_2 = -2 + 2i – 3i – 3 = -5 – i\).

Soit \(a, b, c\) des complexes avec \(a \neq 0\), et \(\Delta = b^2 – 4ac\). Si \(\Delta \neq 0\) et si \(\delta\) est une racine carrée de \(\Delta\), l’équation \(az^2 + bz + c = 0\) a deux solutions distinctes \(\dfrac{-b \pm \delta}{2a}\). Si \(\Delta = 0\), elle a une solution double \(-b/(2a)\). Dans tous les cas, la somme des solutions vaut \(-b/a\) et leur produit \(c/a\).

Soit \(n \geqslant 1\). L’équation \(z^n = 1\) possède exactement \(n\) solutions, les racines \(n\)-ièmes de l’unité : \(\omega_k = e^{2ik\pi/n}\) pour \(k \in \{0, \dots, n-1\}\). On note \(\mathbb{U}_n\) leur ensemble. Pour \(n \geqslant 2\), leur somme est nulle.

Si \(z^n = 1\), alors \(|z|^n = 1\), donc \(|z| = 1\) et \(z = e^{i\theta}\). L’équation devient \(e^{in\theta} = 1\), soit \(n\theta \in 2\pi\mathbb{Z}\). Ainsi, \(\theta = 2k\pi/n\) avec \(k\) entier. Deux valeurs de \(k\) donnent le même point si et seulement si elles sont congrues modulo \(n\), d’où exactement \(n\) solutions. Enfin, posons \(\omega = e^{2i\pi/n} \neq 1\). La somme vaut \(\sum_{k=0}^{n-1} \omega^k = \dfrac{1 – \omega^n}{1 – \omega} = 0\).

Pour \(n = 3\), on note traditionnellement \(j = e^{2i\pi/3} = -\frac12 + i\frac{\sqrt{3}}{2}\). Les racines cubiques de l’unité sont alors \(1\), \(j\) et \(j^2\). Plusieurs relations en découlent. D’abord, \(1 + j + j^2 = 0\), par le théorème. Ensuite, \(j^3 = 1\), donc \(j^2 = 1/j = \overline{j}\). Enfin, on obtient la factorisation \(X^3 – 1 = (X – 1)(X – j)(X – \overline{j})\). En regroupant les deux derniers facteurs, on retrouve \(X^3 – 1 = (X – 1)(X^2 + X + 1)\), car \(j + \overline{j} = -1\) et \(j\overline{j} = 1\). Par conséquent, \(j\) et \(\overline{j}\) sont exactement les racines de \(X^2 + X + 1\).

Soit \(w = re^{i\alpha}\) avec \(r > 0\). L’équation \(z^n = w\) possède exactement \(n\) solutions :

\[ z_k = r^{1/n}\, e^{i\left(\frac{\alpha}{n} + \frac{2k\pi}{n}\right)}, \qquad k \in \{0, \dots, n-1\}. \]

Autrement dit, ce sont les produits de l’une d’entre elles par les racines \(n\)-ièmes de l’unité.

Cherchons les racines cubiques de \(w = -8i\). D’abord, \(w = 8e^{-i\pi/2}\). Les solutions de \(z^3 = w\) sont donc \(z_k = 2e^{i(-\pi/6 + 2k\pi/3)}\) pour \(k \in \{0, 1, 2\}\). Ensuite, on les écrit sous forme algébrique : \(z_0 = 2e^{-i\pi/6} = \sqrt{3} – i\), \(z_1 = 2e^{i\pi/2} = 2i\) et \(z_2 = 2e^{7i\pi/6} = -\sqrt{3} – i\). Vérification : \((2i)^3 = 8i^3 = -8i\). Par ailleurs, leur somme est nulle, comme prévu.

L’égalité \(a^n = b^n\) n’entraîne pas \(a = b\). Par exemple, \(i^4 = 1^4\) alors que \(i \neq 1\). On peut seulement conclure que \(a/b\) est une racine \(n\)-ième de l’unité, lorsque \(b \neq 0\).

Soit \(b \in \mathbb{C}\), \(\omega \in \mathbb{C}\), \(k \in \mathbb{R}^*\) et \(\theta \in \mathbb{R}\).

1. La translation de vecteur d’affixe \(b\) s’écrit \(z \mapsto z + b\).
2. L’homothétie de centre \(\omega\) et de rapport \(k\) s’écrit \(z \mapsto \omega + k(z – \omega)\).
3. La rotation de centre \(\omega\) et d’angle \(\theta\) s’écrit \(z \mapsto \omega + e^{i\theta}(z – \omega)\).

Soit \(f(z) = az + b\) avec \(a \neq 0\).

1. Si \(a = 1\), \(f\) est la translation de vecteur \(b\).
2. Si \(a \neq 1\), \(f\) possède un unique point fixe \(\omega = \dfrac{b}{1 – a}\), et \(f(z) – \omega = a(z – \omega)\) pour tout \(z\).
3. Dans ce second cas, si \(a\) est un réel, \(f\) est l’homothétie de centre \(\omega\) et de rapport \(a\). Si \(|a| = 1\), c’est la rotation de centre \(\omega\) et d’angle \(\arg a\).

Si \(a \neq 1\), l’équation \(a\omega + b = \omega\) a pour unique solution \(\omega = b/(1 – a)\). Ensuite, on soustrait membre à membre \(f(z) = az + b\) et \(\omega = a\omega + b\). On obtient \(f(z) – \omega = a(z – \omega)\). Les deux derniers cas se lisent alors sur les définitions.

Étudions \(f(z) = (1 + i)z + 2 – i\). Ici \(a = 1 + i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}\), qui est différent de 1. Le point fixe vérifie \(\omega(1 – (1+i)) = 2 – i\), soit \(-i\omega = 2 – i\). Donc \(\omega = \dfrac{2 – i}{-i} = (2 – i)\,i = 1 + 2i\). Vérifions : \((1 + i)(1 + 2i) + 2 – i = (-1 + 3i) + 2 – i = 1 + 2i\). Ainsi, \(f\) tourne chaque point de \(\pi/4\) autour de \(1 + 2i\), puis multiplie sa distance à ce centre par \(\sqrt{2}\).

Soit \(A\), \(B\), \(C\) trois points distincts d’affixes \(a\), \(b\), \(c\). Un argument de \(\dfrac{c – a}{b – a}\) est une mesure de l’angle orienté entre les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\). Ainsi, les points sont alignés si et seulement si ce quotient est réel. De plus, les droites \((AB)\) et \((AC)\) sont perpendiculaires si et seulement s’il est imaginaire pur.

• S’exercer : exercices corrigés de L1 de maths sur complexes et forme exponentielle
• Bases utiles : Connecteurs, quantificateurs et types de démonstration
• Chapitre d’avant : Récurrence, symboles Σ et coefficients binomiaux
• Chapitre d’après : Inégalités, borne supérieure et propriété d'Archimède
• Vérifier ses acquis : QCM de L1 de maths sur complexes et forme exponentielle
• Contrôle corrigé en temps limité : Forme exponentielle et linéarisation : contrôle de maths en L1
• Le même thème en maths sup (MPSI) : Complexes : module, argument et racines n-ièmes
• Tous les chapitres : le sommaire de la L1 de maths
• Après le bac : les maths post-bac, de la MPSI à la L3