Négations et types de démonstration : contrôle de maths en L1
Voici un contrôle de maths en L1 sur le thème « négations et types de démonstration », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure évalue votre maîtrise du raisonnement mathématique, tel qu’on l’installe au début du premier semestre de licence. Vous écrirez d’abord la négation de phrases quantifiées, puis vous dresserez des tables de vérité pour comparer des implications emboîtées. Ensuite, chaque type de preuve a son exercice : une preuve par contraposée, une preuve par l’absurde et enfin un problème d’analyse-synthèse qui se termine par un contre-exemple. Le barème valorise la rédaction autant que le résultat : annoncez donc le raisonnement choisi, puis menez-le jusqu’au bout. Traitez ce sujet juste après le chapitre de logique, avant d’aborder les ensembles et les applications.
Ce qu’évalue le contrôle : négations et types de démonstration
L’essentiel du sujet
- NiveauL1
- Durée1 heure
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Connecteurs, quantificateurs et types de démonstration (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Écrire la négation d’une phrase comportant plusieurs quantificateurs et décider de sa vérité sur un graphe
- Comparer des implications emboîtées à l’aide de tables de vérité
- Rédiger une preuve par contraposée puis une preuve par l’absurde en annonçant la méthode
- Mener une analyse-synthèse complète et produire un contre-exemple qui respecte toutes les hypothèses
Avant de commencer le devoir
Commencez par l’exercice 1, car les négations servent ensuite partout : la négation inverse chaque quantificateur sans modifier son domaine. Avant une preuve, écrivez en toutes lettres la phrase à démontrer, par exemple la contraposée. Dans une analyse-synthèse, la synthèse reste indispensable, puisque l’analyse fournit seulement des candidats. Enfin, testez chaque contre-exemple : il doit satisfaire toutes les hypothèses et contredire la conclusion. Gardez aussi dix minutes pour le problème, qui rapporte le plus de points.
Le sujet du contrôle : négations et types de démonstration
Exercice 1 – Quantificateurs lus sur un graphe (4 points)
La fonction \(f\) est définie et continue sur \([-3\,;4]\). Sa courbe, tracée ci-dessous, est formée de segments qui joignent les points \((-3\,;1)\), \((-1\,;3)\), \((1\,;-1)\), \((2\,;-1)\) et \((4\,;2)\).
On considère alors les quatre assertions suivantes.
\((A)\) : \(\forall x \in [-3\,;4],\ f(x) \leq 3\) ;
\((B)\) : \(\forall x \in [-3\,;4],\ f(x) \geq 0\) ;
\((C)\) : \(\forall y \in [-1\,;3],\ \exists x \in [-3\,;4],\ f(x) = y\) ;
\((D)\) : \(\exists x \in [-3\,;4],\ \forall y \in [-1\,;3],\ f(x) = y\).
- Écrire la négation de chacune des quatre assertions, sans utiliser le mot « non ».
- Pour chaque assertion, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier à l’aide du graphe ou d’un théorème du cours.
Exercice 2 – Implications emboîtées et tables de vérité (3 points)
Soient \(P\), \(Q\) et \(R\) trois assertions. On note V pour vrai et F pour faux.
- Dresser la table de vérité des assertions \(P \Rightarrow (Q \Rightarrow R)\), \((P \text{ et } Q) \Rightarrow R\) et \((P \Rightarrow Q) \Rightarrow R\), puis en déduire lesquelles sont équivalentes.
- Donner un choix de valeurs de vérité pour lequel \((P \Rightarrow Q) \Rightarrow R\) et \(P \Rightarrow (Q \Rightarrow R)\) diffèrent.
- Montrer enfin que \((P \text{ ou } Q) \Rightarrow R\) est équivalente à \((P \Rightarrow R) \text{ et } (Q \Rightarrow R)\).
Exercice 3 – Deux preuves par contraposée (4 points)
Dans les deux premières questions, la rédaction doit d’abord énoncer la contraposée, puis la démontrer.
- Soit \(n \in \mathbb{Z}\). Montrer par contraposée que si \(n^3 + 5\) est pair, alors \(n\) est impair.
- Soient \(a\) et \(b\) deux réels positifs. Montrer par contraposée que si \(ab > 20\), alors \(a > 4\) ou \(b > 5\).
- Écrire la réciproque de l’implication de la question 2, puis prouver qu’elle est fausse.
- Prouver enfin que l’hypothèse « \(a\) et \(b\) positifs » ne peut pas être supprimée dans la question 2.
Exercice 4 – Un quotient de logarithmes irrationnel (4 points)
Chaque preuve commence donc par l’hypothèse que l’on va contredire, écrite en toutes lettres.
- Établir par l’absurde que le réel \(\dfrac{\ln 3}{\ln 2}\) est irrationnel. On pourra d’abord justifier que ce réel est strictement positif.
- Montrer par l’absurde qu’il n’existe aucun réel \(x > 0\) tel que \(x + \dfrac{4}{x} < 4\).
Exercice 5 – Problème : analyse-synthèse et contre-exemples (5 points)
Partie A. On cherche les réels \(x \geq -5\) tels que \(\sqrt{x+5} = x – 1\). La figure montre les courbes des fonctions \(x \mapsto \sqrt{x+5}\) et \(x \mapsto x – 1\).
- Analyse : supposer que \(x\) est solution, puis montrer que \(x = -1\) ou \(x = 4\).
- Synthèse : tester ces deux candidats, conclure, puis expliquer ce que montre la figure.
Partie B. Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) une fonction quelconque. On veut prouver qu’il existe un unique couple \((g, h)\) de fonctions de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) tel que \(f = g + h\), où \(g\) est affine, de la forme \(g(x) = ax + b\), et où \(h(0) = h(1) = 0\).
- Analyse : en supposant qu’un tel couple existe, exprimer \(a\) et \(b\) en fonction de \(f(0)\) et \(f(1)\). En déduire l’unicité du couple.
- Synthèse : prouver l’existence du couple.
- Déterminer \(g\) et \(h\) lorsque \(f(x) = 2^x\) pour tout réel \(x\).
- Réfuter par un contre-exemple l’affirmation suivante : « pour toute fonction \(f\), la fonction \(h\) associée est nulle sur \([0\,;1]\) ».
Réviser négations et types de démonstration avant le contrôle
La page contrôles de maths en L1 regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
Sujets proches à faire ensuite
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