QCM : Continuité et bijection continue en L1 de maths

Réponse D.

On factorise : \(x^2-4=(x-2)(x+2)\). Pour \(x>2\), on a \(|x-2|=x-2\), donc \(f(x)=x+2\), qui tend vers 4. En revanche, pour \(x<2\), \(f(x)=-(x+2)\), qui tend vers \(-4\). Les deux limites latérales diffèrent, si bien que \(f\) n’a pas de limite en 2. Le piège 4 ne regarde qu’un côté, et le dernier inverse les signes.

Réponse B.

On multiplie par la quantité conjuguée : \(g(x)=\frac{6x}{x(\sqrt{1+6x}+1)}=\frac{6}{\sqrt{1+6x}+1}\). Cette expression tend vers \(\frac{6}{2}=3\). On peut aussi y voir un taux d’accroissement, celui de \(\sqrt{1+6x}\) en 0. Le piège 6 oublie le facteur \(\frac{1}{2}\) de la dérivée d’une racine. Quant à 0, il vient d’un numérateur qui tend vers 0, sans regarder le dénominateur.

Réponse D.

Les deux suites tendent vers 0. De plus, \(\frac{\pi}{2x_n}=2n\pi+\frac{\pi}{2}\) donne l’image 1, tandis que \(\frac{\pi}{2y_n}=2n\pi+\frac{3\pi}{2}\) donne \(-1\). Deux limites distinctes interdisent donc toute limite en 0. Avec \(\frac{1}{8n+1}\), on retrouve l’image 1, sans contradiction. Les inverses de \(2n\) et \(4n\) donnent deux fois 0. Enfin, \(4n+1\) tend vers \(+\infty\), et non vers 0.

Réponse C.

Raisonnons par l’absurde. Si \(f+g\) était continue en \(a\), alors \(g=(f+g)-f\) serait une différence de fonctions continues en \(a\). Par conséquent, \(g\) serait continue, ce qui est exclu. Les conditions \(f(a)=0\) ou \(g\) bornée ne changent rien à cet argument. Attention cependant : pour un produit, la conclusion est fausse, car \(0\times g\) est continue.

Réponse A.

Hors des entiers, \(h\) est un produit de fonctions continues. En 0, on a \(h(x)=-x\) à gauche et \(h(x)=0\) à droite : les deux limites valent 0, donc \(h\) est continue malgré le saut de la partie entière. En revanche, en 1, la limite à gauche vaut 0 et la limite à droite vaut 1. Le piège consiste donc à croire que tout saut de \(\lfloor x\rfloor\) se transmet.

Réponse C.

On trouve \(P(-2)=-25\), \(P(0)=1\), \(P(1)=-1\) et \(P(2)=27\). Il y a donc trois changements de signe, et la fonction polynôme est continue. Ainsi, le TVI fournit une racine dans chacun des intervalles \(]-2,0[\), \(]0,1[\) et \(]1,2[\). Le degré impair garantit seulement une racine, d’où le piège. Enfin, rien ne prouve ici l’existence de cinq racines réelles.

Réponse D.

Une seule discontinuité suffit à sauter une valeur : la fonction qui vaut \(-1\) sur \([-1,0[\) et 1 sur \([0,1]\) change de signe sans s’annuler. La continuité aux extrémités ne protège donc de rien. En revanche, la dérivabilité est inutile, car la valeur absolue vérifie le théorème. De même, la monotonie stricte sert seulement à obtenir l’unicité de l’antécédent.

Réponse B.

Sur un intervalle fermé borné, une fonction continue possède un maximum effectivement atteint : ici, le maximum \(\frac{1}{4}\) est atteint en \(\frac{1}{2}\). Les trois pièges sont continus et bornés, mais pas sur un segment. En effet, la borne 1 de \(x\) sur \([0,1[\) n’est pas atteinte. De même, l’arc tangente reste sous \(\frac{\pi}{2}\). Enfin, \(-\frac{1}{x}\) reste strictement négative tout en tendant vers 0.

Réponse A.

Sa dérivée \(1+e^x\) est strictement positive, donc \(f\) est continue et strictement croissante. Ses limites aux deux bouts de \(\mathbb{R}\) sont \(-\infty\) et \(+\infty\). Le théorème de la bijection fournit donc une bijection sur \(\mathbb{R}\), avec une réciproque continue de même monotonie. Le piège \(]0,+\infty[\) pense à l’image de l’exponentielle seule. Enfin, une formule explicite n’est jamais exigée.

Réponse A.

On cherche l’unique réel \(x\) tel que \(x+e^x=1\). Or \(f(0)=0+1=1\), donc \(f^{-1}(1)=0\), et l’unicité vient de la bijectivité. Le piège \(1+e\) calcule \(f(1)\) au lieu de \(f^{-1}(1)\). De même, \(\frac{1}{1+e}\) confond la réciproque avec l’inverse \(\frac{1}{f(1)}\). Enfin, 1 suppose à tort que \(f\) fixe 1.

Réponse C.

Si \(0\leqslant y\leqslant x\), alors \((\sqrt{x}-\sqrt{y})^2\leqslant(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})=x-y\). Ainsi, choisir l’écart \(\varepsilon^2\) convient partout, ce qui prouve la continuité uniforme malgré la pente infinie en 0. En revanche, \(x^2\) varie de plus en plus vite à l’infini. De même, \(\frac{1}{x}\) explose près de 0. Enfin, \(\sin(x^2)\) oscille de plus en plus vite, bien qu’elle soit bornée.

Réponse B.

Une limite finie en 0 permet de définir \(f(0)\) sans créer de saut. On obtient ainsi une fonction continue sur \([0,1]\), fermé et borné, que Heine rend uniformément continue, et sa restriction l’est aussi. En revanche, \(\sin\frac{1}{x}\) est bornée et dérivable, mais pas uniformément continue. De même, \(\frac{1}{x}\) est monotone et échoue. Par conséquent, seule la limite en 0 permet de conclure.