Ensembles et bijections en L1 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Trois descriptions d’un intervalle

On considère les parties de \(\mathbb{R}\) suivantes : \(A = \{x \in \mathbb{R} \mid |x – 2| < 1\}\), \(B = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 – 4x + 3 < 0\}\) et \(C = \{2 + \sin t \mid t \in \mathbb{R}\}\).

1. Établir l’égalité \(A = B\) par double inclusion.
2. Prouver que \(C = [1, 3]\).
3. Comparer \(A\) et \(C\) pour l’inclusion. Ces ensembles sont-ils égaux ?

Exercice 2 – Les lois de De Morgan en action

Soit \(E\) un ensemble et \(A\), \(B\), \(C\) trois parties de \(E\). Les complémentaires sont pris dans \(E\).

1. Prouver que \(\overline{(A \cup B) \cap C} = \left(\overline{A} \cap \overline{B}\right) \cup \overline{C}\).
2. Prouver que \(A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)\).
3. Simplifier \((A \cap B) \cup \left(A \cap \overline{B}\right)\) et \((A \cup B) \cap \left(A \cup \overline{B}\right)\).

Le diagramme ci-dessous aide à visualiser les trois parties et leurs huit zones.

Exercice 3 – Parties et produits cartésiens

1. Écrire la liste des éléments de \(\mathcal{P}(\{1, 2, 3\})\), puis celle de \(\{0, 1\} \times \{a, b, c\}\).
2. Soit \(A\) et \(B\) deux ensembles. Établir que \(\mathcal{P}(A \cap B) = \mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B)\).
3. Prouver que \(\mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B) \subset \mathcal{P}(A \cup B)\), puis exhiber un contre-exemple à l’égalité.
4. Trouver deux ensembles non vides \(A\) et \(B\) tels que \(A \times B \neq B \times A\).

Exercice 4 – Images d’intervalles par un trinôme

On considère \(f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(x \mapsto x^2 + 4x + 1\).

1. Mettre \(f(x)\) sous forme canonique.
2. Déterminer \(f([-3, 0])\) et \(f(\mathbb{R})\).
3. Déterminer \(f^{-1}([-2, 6])\) et \(f^{-1}(\{-4\})\).

Exercice 5 – Injective, surjective ou ni l’une ni l’autre

Étudier l’injectivité et la surjectivité de chacune des applications suivantes, en justifiant chaque réponse.

1. \(u : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\), \(n \mapsto n + 2\).
2. \(v : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\), \(n \mapsto \left\lfloor \frac{n}{3} \right\rfloor\) (partie entière).
3. \(w : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\), \(n \mapsto 5 – n\).
4. \(k : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(x \mapsto x^3 – x\).

Exercice 6 – Composer dans les deux sens

Sur \(\mathbb{R}\), on considère \(f(x) = 2x + 1\) et \(g(x) = x^2\).

1. Calculer \(f \circ g\) et \(g \circ f\). Que peut-on en conclure ?
2. Déterminer l’ensemble des réels \(x\) tels que \((f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)\).
3. Calculer \(f \circ f\) et vérifier que \(f\) est bijective en donnant \(f^{-1}\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Indicatrices et différence symétrique

Soit \(E\) un ensemble. Pour \(A, B \subset E\), on pose \(A \, \Delta \, B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)\).

1. Établir que \(\chi_{A \Delta B} = \left(\chi_A – \chi_B\right)^2 = \chi_A + \chi_B – 2 \, \chi_A \chi_B\).
2. En déduire que \(A \, \Delta \, B = \varnothing\) si et seulement si \(A = B\).
3. Prouver que \(A \, \Delta \, (B \, \Delta \, C) = (A \, \Delta \, B) \, \Delta \, C\) pour toutes parties \(A\), \(B\), \(C\) de \(E\).

Exercice 8 – Résoudre une équation ensembliste

Soit \(A\) et \(B\) deux parties d’un ensemble \(E\). On cherche les parties \(X\) de \(E\) telles que \(X \cup A = B\) et \(X \cap A = \varnothing\).

1. Analyse : supposer qu’une telle partie \(X\) existe. Prouver que \(A \subset B\) et que \(X = B \setminus A\).
2. Synthèse : réciproquement, si \(A \subset B\), vérifier que \(X = B \setminus A\) convient.
3. Conclure en décrivant toutes les solutions selon les cas.

Exercice 9 – Image directe d’une intersection

Soit \(f : E \to F\) une application.

1. Rappeler pourquoi \(f(A \cap \tilde{A}) \subset f(A) \cap f(\tilde{A})\) pour toutes parties \(A\), \(\tilde{A}\) de \(E\).
2. Avec \(f(x) = x^2\) sur \(\mathbb{R}\), trouver deux intervalles \(A\), \(\tilde{A}\) de longueur \(1\) pour lesquels l’inclusion est stricte.
3. Prouver que l’égalité \(f(A \cap \tilde{A}) = f(A) \cap f(\tilde{A})\) a lieu pour toutes les parties \(A\), \(\tilde{A}\) si et seulement si \(f\) est injective.

Exercice 10 – Aller et retour par image réciproque

Soit \(f : E \to F\) une application, \(A \subset E\) et \(B \subset F\).

1. Prouver que \(A \subset f^{-1}(f(A))\) et que \(f\left(f^{-1}(B)\right) = B \cap f(E)\).
2. Avec \(f(x) = |x|\) sur \(\mathbb{R}\), \(A = [1, 2]\) et \(B = [-3, 1]\), calculer \(f^{-1}(f(A))\) et \(f\left(f^{-1}(B)\right)\).
3. Prouver que \(f^{-1}(f(A)) = A\) pour toute partie \(A\) de \(E\) si et seulement si \(f\) est injective.
4. Énoncer et prouver le résultat analogue pour \(f\left(f^{-1}(B)\right) = B\).

Exercice 11 – Une bijection homographique

On considère \(f \colon \mathbb{R} \setminus \{-2\} \to \mathbb{R}\), \(x \mapsto \frac{3x – 1}{x + 2}\).

1. Prouver que \(3\) n’a pas d’antécédent par \(f\). L’application \(f\) est-elle surjective ?
2. On note \(g\) l’application de \(\mathbb{R} \setminus \{-2\}\) dans \(\mathbb{R} \setminus \{3\}\) définie par la même formule. Prouver que \(g\) est bijective et expliciter \(g^{-1}\).
3. Vérifier le résultat en calculant \(g^{-1}(g(0))\) et \(g(g^{-1}(1))\).

Exercice 12 – Une bijection de la droite sur un intervalle borné

On définit \(\theta : \mathbb{R} \to \, ]-1, 1[\) par \(\theta(x) = \frac{x}{1 + |x|}\). La figure suivante en donne le graphe.

1. Vérifier que \(\theta\) est bien à valeurs dans \(]-1, 1[\) et qu’elle est impaire.
2. Prouver que \(\theta\) est injective, en étudiant d’abord le cas de deux réels de même signe.
3. Prouver que \(\theta\) est surjective et que \(\theta^{-1}(y) = \frac{y}{1 – |y|}\).

Exercice 13 – Composée injective, composée surjective

Soit \(f : E \to F\) et \(g : F \to G\).

1. Prouver que si \(g \circ f\) est injective, alors \(f\) est injective.
2. Prouver que si \(g \circ f\) est surjective, alors \(g\) est surjective.
3. Sur \(\mathbb{N}\), on pose \(f(n) = 2n\), puis \(g(n) = \frac{n}{2}\) si \(n\) est pair et \(g(n) = 0\) sinon. Calculer \(g \circ f\). Les applications \(f\) et \(g\) sont-elles bijectives ?
4. Prouver que si \(g \circ f\) est injective et \(f\) surjective, alors \(g\) est injective.

Exercice 14 – Graphe, restriction et prolongement

1. La partie \(\Gamma = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x = y^2\}\) est-elle le graphe d’une application de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) ? Et la partie \(\Gamma^{\prime} = \{(x, y) \in [0, +\infty[ \times [0, +\infty[ \ \mid x = y^2\}\), vue comme partie de \([0, +\infty[ \times [0, +\infty[\) ?
2. Soit \(f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^2 – 6x + 10\). Prouver que \(f\) n’est ni injective ni surjective, puis que sa restriction \([3, +\infty[ \to [1, +\infty[\) est bijective. Expliciter la réciproque.
3. Soit \(h : \, ]0, +\infty[ \to \mathbb{R}\), \(h(x) = x \ln x\). Décrire tous les prolongements de \(h\) à \([0, +\infty[\). Lequel est continu ?

Exercice 15 – Parties d’un ensemble et indicatrices

Soit \(E\) un ensemble. On note \(\{0, 1\}^E\) l’ensemble des applications de \(E\) dans \(\{0, 1\}\), et \(\mathcal{I} : \mathcal{P}(E) \to \{0, 1\}^E\), \(A \mapsto \chi_A\).

1. Prouver que \(\mathcal{I}\) est injective.
2. Pour \(u \in \{0, 1\}^E\), on pose \(A_u = u^{-1}(\{1\})\). Calculer \(\mathcal{I}(A_u)\). En déduire que \(\mathcal{I}\) est bijective et donner \(\mathcal{I}^{-1}\).
3. On admet qu’il existe \(2^n\) applications d’un ensemble à \(n\) éléments dans \(\{0, 1\}\). Combien \(\mathcal{P}(E)\) a-t-il d’éléments si \(E\) en a \(n\) ? Vérifier sur \(E = \{1, 2, 3\}\).

Pour approfondir

Exercice 16 – Une bijection de N² sur N*

On considère \(\psi : \mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{N}^*\), \((p, q) \mapsto 2^p (2q + 1)\).

1. Calculer \(\psi(0, 0)\), \(\psi(3, 0)\), \(\psi(1, 2)\) et trouver l’antécédent de \(40\).
2. Prouver que \(\psi\) est injective. On pourra raisonner par l’absurde sur les exposants de \(2\).
3. Prouver que \(\psi\) est surjective. On pourra considérer la plus grande puissance de \(2\) qui divise un entier \(m \geqslant 1\).

Exercice 17 – Aucune surjection d’un ensemble sur ses parties

Soit \(E\) un ensemble quelconque.

1. Construire une injection de \(E\) dans \(\mathcal{P}(E)\).
2. Soit \(f : E \to \mathcal{P}(E)\) une application. On pose \(D = \{x \in E \, | \, x \notin f(x)\}\). Supposer que \(D = f(a)\) pour un certain \(a\), puis aboutir à une contradiction en examinant si \(a\) appartient à \(D\).
3. Conclure : une bijection de \(E\) sur \(\mathcal{P}(E)\) peut-elle exister ? Illustrer la construction de \(D\) sur \(E = \{1, 2, 3\}\) avec \(f(1) = \{1, 2\}\), \(f(2) = \varnothing\), \(f(3) = \{1, 3\}\).

Exercice 18 – Problème : applications idempotentes et involutions

Soit \(E\) un ensemble. Une application \(f : E \to E\) est dite idempotente si \(f \circ f = f\), et c’est une involution si \(f \circ f = \mathrm{id}_E\).

1. Soit \(f\) idempotente. Prouver que \(f(E) = \{x \in E \, | \, f(x) = x\}\).
2. Soit \(f\) idempotente. Prouver que les trois propriétés suivantes sont équivalentes : \(f\) est injective ; \(f\) est surjective ; \(f = \mathrm{id}_E\).
3. Prouver qu’une involution est bijective et égale à sa réciproque.
4. On considère \(\sigma : \mathbb{R} \setminus \{2\} \to \mathbb{R} \setminus \{2\}\), \(\sigma(x) = \frac{2x + 1}{x – 2}\). Vérifier que \(\sigma\) est bien définie, puis que c’est une involution.
5. Pour \(E = \{1, 2, 3\}\), dénombrer les involutions de \(E\), puis les applications idempotentes de \(E\) dans \(E\).

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