QCM : Complexes et forme exponentielle en L1 de maths

Réponse C.

On fait apparaître un réel au dénominateur en le multipliant, ainsi que le numérateur, par \(1+2i\). En bas, on trouve \(1+4=5\) ; en haut, \((2+i)(1+2i)=2+5i+2i^2=5i\). Donc \(z=i\). La réponse \(\frac{4}{5}+i\) oublie que \(i^2=-1\). Quant à \(\frac{4-3i}{5}\), elle provient d’une multiplication par \(1-2i\), qui ne rend pas le dénominateur réel.

Réponse D.

Pour que les modules s’ajoutent exactement, les deux vecteurs doivent pointer dans la même direction et le même sens. Autrement dit, \(z\overline{w}\) doit être un réel positif. Le piège du réel quelconque oublie le signe : avec \(w=-z\), on obtient \(|z+w|=0\). De plus, l’égalité des modules ne suffit pas, comme le montrent \(1\) et \(i\). Enfin, \(z\overline{w}\) imaginaire pur traduit l’orthogonalité.

Réponse A.

Le module vaut \(\sqrt{12+4}=4\). On cherche ensuite \(\theta\) tel que \(\cos\theta=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) et \(\sin\theta=-\frac{1}{2}\) : le point est dans le troisième quadrant, d’où \(\theta=-\frac{5\pi}{6}\). La réponse en \(\frac{\pi}{6}\) vient d’un arc tangente appliqué sans regarder les signes. Le facteur 16 oublie la racine carrée dans le module, et \(\frac{5\pi}{6}\) inverse le signe du sinus.

Réponse C.

On écrit \(1+i=\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}\). La formule de Moivre donne alors \((\sqrt{2})^{10}e^{10i\pi/4}=32\,e^{5i\pi/2}\). Or \(e^{5i\pi/2}=e^{i\pi/2}=i\), donc le résultat est \(32i\). La réponse \(1024i\) prend 2 pour module au lieu de \(\sqrt{2}\). Par ailleurs, \(-32i\) et \(32\) proviennent d’une erreur dans la réduction de l’angle modulo \(2\pi\).

Réponse D.

On remplace d’abord \(\cos^2 x\) par \(\frac{1+\cos 2x}{2}\). Ensuite, le produit \(\sin x\cos 2x\) se transforme en \(\frac{\sin 3x-\sin x}{2}\). Au total, on obtient \(\frac{\sin x}{2}+\frac{\sin 3x-\sin x}{4}=\frac{\sin x+\sin 3x}{4}\). Le signe moins confond avec la linéarisation de \(\sin^3 x\), et le coefficient 3 aussi. Enfin, le dénominateur 2 oublie un facteur \(\frac{1}{2}\).

Réponse C.

On met en facteur l’exponentielle de l’angle moyen \(2\theta\) : la somme vaut \(e^{2i\theta}(e^{-i\theta}+e^{i\theta})=2\cos\theta\,e^{2i\theta}\). Cependant, \(\cos\theta\) est négatif sur cet intervalle, donc ce n’est pas une forme exponentielle. On écrit alors \(2\cos\theta=-2\cos\theta\times e^{i\pi}\). Garder \(2\cos\theta\) devant revient à accepter un module négatif. Écrire \(-2\cos\theta\,e^{2i\theta}\) oublie le facteur \(-1\), et l’angle \(2\theta+\frac{\pi}{2}\) ajoute un quart de tour.

Réponse B.

On cherche \(a+ib\) avec \(a^2-b^2=-15\), \(2ab=8\) et \(a^2+b^2=17\), le module de \(-15+8i\). On obtient \(a^2=1\) et \(b^2=16\). De plus, \(ab>0\), donc \(a\) et \(b\) ont le même signe. Ainsi, \(\pm(1+4i)\) convient. Le carré de \(4+i\) vaut \(15+8i\) : ce piège échange les rôles de \(a\) et \(b\). Enfin, \(1-4i\) donne une partie imaginaire négative.

Réponse A.

On peut tester les candidats grâce aux relations entre coefficients et racines : la somme doit valoir \(3+i\) et le produit \(2+2i\). Or \(2+(1+i)=3+i\) et \(2(1+i)=2+2i\), donc ce sont les racines. Le couple \(1\) et \(2+i\) a la bonne somme mais le produit \(2+i\). Les opposés proviennent d’une erreur de signe sur la somme. Enfin, \(1-i\) conjugue à tort.

Réponse D.

On écrit \(-8i=8\,e^{-i\pi/2}\). Les racines cubiques ont donc pour module 2 et pour arguments \(-\frac{\pi}{6}\), \(\frac{\pi}{2}\) et \(\frac{7\pi}{6}\), espacés de \(\frac{2\pi}{3}\). On vérifie d’ailleurs que \((2i)^3=-8i\). Le triplet \(-2i\), \(\sqrt{3}+i\), \(-\sqrt{3}+i\) résout \(z^3=8i\). Celui avec \(1-i\sqrt{3}\) utilise des angles de \(\frac{\pi}{3}\) au lieu de \(\frac{\pi}{6}\). Enfin, une équation de degré 3 a trois solutions dans \(\mathbb{C}\).

Réponse B.

Les racines s’écrivent \(e^{2ik\pi/n}\) pour \(k\) de 0 à \(n-1\). Leur produit vaut donc \(e^{2i\pi S/n}\), avec \(S=\frac{n(n-1)}{2}\), soit \(e^{i\pi(n-1)}=(-1)^{n-1}\). Pour \(n=2\), on retrouve bien \(1\times(-1)=-1\). La réponse 0 confond avec la somme des racines. Quant à \((-1)^n\), elle provient d’une erreur de signe dans les relations coefficients-racines.

Réponse B.

Le coefficient \(-i=e^{-i\pi/2}\) a pour module 1 : c’est donc une rotation d’angle \(-\frac{\pi}{2}\). Son centre est le point fixe, solution de \(\omega(1+i)=1+3i\), soit \(\omega=\frac{(1+3i)(1-i)}{2}=2+i\). Le piège \(1+3i\) prend la constante pour le centre. Le centre \(-1+2i\) vient d’une division par \(1-i\) au lieu de \(1+i\).

Réponse A.

On a \(1+i=\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}\) : le rapport vaut donc \(\sqrt{2}\) et l’angle \(\frac{\pi}{4}\). Le point fixe vérifie \(\omega=(1+i)\omega+1\), c’est-à-dire \(i\omega=-1\), d’où \(\omega=i\). En effet, \((1+i)i+1=i\). Le centre \(-i\) provient d’une erreur de signe en divisant par \(i\). Le rapport 2 oublie la racine du module, et l’angle droit confond avec \(i\).