Relations d’équivalence et d’ordre en L1 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Quatre relations sur un ensemble à quatre éléments

Sur \(E = \{1, 2, 3, 4\}\), on considère les relations dont les graphes sont :

• \(R_1 = \{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)\}\) ;
• \(R_2 = \{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,3),(1,3),(1,4)\}\) ;
• \(R_3 = \{(1,1),(1,2),(2,3),(3,1)\}\), représentée par le diagramme ci-dessous ;
• \(R_4 = \{(1,3),(3,1),(2,4),(4,2)\}\).

1. Pour chaque relation, dire si elle est réflexive, symétrique, antisymétrique, transitive. Justifier chaque réponse négative par un contre-exemple.
2. Identifier la relation d’équivalence et donner ses classes.
3. Identifier la relation d’ordre. Est-elle totale ?

Exercice 2 – Le chiffre des unités

Sur \(\mathbb{N}\), on pose \(a \sim b\) lorsque \(a\) et \(b\) ont le même chiffre des unités en écriture décimale.

1. Montrer que \(\sim\) est une relation d’équivalence.
2. Montrer que \(a \sim b\) équivaut à \(10 \mid b – a\).
3. Décrire la classe de \(7\) et préciser le nombre de classes.
4. Les entiers \(2026\) et \(1996\) sont-ils équivalents ? Et \(2026\) et \(2062\) ?

Exercice 3 – Une partie de N* ordonnée par la divisibilité

On munit \(\mathbb{N}^*\) de la divisibilité et on considère \(A = \{2, 3, 4, 6, 12, 18\}\).

1. Dessiner le diagramme de Hasse de \(A\) pour l’ordre induit.
2. La partie \(A\) a-t-elle un plus grand élément ? un plus petit élément ?
3. Déterminer l’ensemble des majorants de \(A\) dans \(\mathbb{N}^*\), puis \(\sup A\).
4. Déterminer \(\inf A\).

Exercice 4 – Une congruence déguisée

Sur \(\mathbb{Z}\), on pose \(x \,\mathcal{R}\, y\) lorsque \(3\) divise \(x + 2y\).

1. Montrer que \(\mathcal{R}\) est réflexive et symétrique.
2. Montrer que \(\mathcal{R}\) est transitive.
3. Montrer que \(x \,\mathcal{R}\, y \iff x \equiv y \ [3]\), puis décrire les classes.

Exercice 5 – Les parties d’un ensemble à trois éléments

On ordonne \(\mathcal{P}(\{1,2,3\})\) par l’inclusion.

1. Justifier que cet ordre est partiel.
2. Déterminer le plus grand et le plus petit élément de \(\mathcal{P}(\{1,2,3\})\).
3. Soit \(A = \{\{1\}, \{2\}\}\). Donner les majorants et les minorants de \(A\), puis \(\sup A\) et \(\inf A\). La partie \(A\) a-t-elle un plus grand élément ?
4. Compter les couples \((X, Y)\) de parties de \(\{1,2,3\}\) tels que \(X \subset Y\).

Exercice 6 – Symétrique et antisymétrique à la fois

Soit \(\mathcal{R}\) une relation sur un ensemble \(E\).

1. Montrer que si \(\mathcal{R}\) est symétrique et antisymétrique, alors \(x \,\mathcal{R}\, y\) entraîne \(x = y\).
2. En déduire qu’une relation réflexive, symétrique et antisymétrique est l’égalité.
3. Donner, sur \(\{1,2,3\}\), une relation qui n’est ni symétrique ni antisymétrique.

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Classes définies par la fonction x exp(-x)

Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \(f(x) = x\,e^{-x}\). On pose \(x \sim y\) lorsque \(f(x) = f(y)\).

1. Justifier que \(\sim\) est une relation d’équivalence.
2. Étudier les variations de \(f\), ses limites en \(-\infty\) et \(+\infty\), et son signe.
3. Montrer que la classe d’un réel \(x \leqslant 0\) est \(\{x\}\), et que celle de \(1\) est \(\{1\}\).
4. Montrer que toute autre classe contient exactement deux éléments.
5. Déterminer la classe de \(\ln 2\). On pourra chercher l’autre élément sous la forme \(2\ln 2\).

Exercice 8 – Des paraboles comme classes

Sur \(\mathbb{R}^2\), on pose \((x,y) \sim (x^{\prime},y^{\prime})\) lorsque \(y – x^2 = y^{\prime} – x^{\prime 2}\).

1. Montrer que \(\sim\) est une relation d’équivalence.
2. Décrire géométriquement la classe de \((1,3)\), puis une classe quelconque.
3. Montrer que chaque classe rencontre l’axe des ordonnées en exactement un point.
4. En déduire une bijection entre l’ensemble quotient \(\mathbb{R}^2/\sim\) et \(\mathbb{R}\).

Exercice 9 – Égalité à une puissance de 2 près

Sur \(\mathbb{N}^*\), on pose \(a \sim b\) lorsqu’il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(a = 2^k b\). On admet que tout \(n \in \mathbb{N}^*\) s’écrit de façon unique \(n = 2^v m\) avec \(v \in \mathbb{N}\) et \(m\) impair ; on appelle \(m\) la partie impaire de \(n\).

1. Montrer que \(\sim\) est une relation d’équivalence.
2. Montrer que \(a \sim b\) si et seulement si \(a\) et \(b\) ont la même partie impaire.
3. Décrire la classe de \(12\).
4. Combien de classes contiennent au moins un élément de \(\{1, 2, \dots, 20\}\) ?

Exercice 10 – Ordre lexicographique et ordre produit

Sur \(\mathbb{R}^2\), on note \(\leqslant_p\) l’ordre produit et \(\leqslant_{\ell}\) l’ordre lexicographique, définis dans le cours.

1. Montrer que \(\leqslant_{\ell}\) est une relation d’ordre total.
2. Soit \(A = \{(0,1), (1,0)\}\). Déterminer \(\sup A\) pour l’ordre produit, puis pour l’ordre lexicographique. Dans chaque cas, \(A\) a-t-elle un plus grand élément ?
3. Pour l’ordre lexicographique, on pose \(B = \{(0, y) \mid y \in \mathbb{R}\}\). Montrer que \(B\) est majorée mais n’admet pas de borne supérieure.

Exercice 11 – Comparer des fonctions point par point

Sur l’ensemble \(\mathcal{F}\) des fonctions de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\), on pose \(f \leqslant g\) lorsque \(f(x) \leqslant g(x)\) pour tout réel \(x\).

1. Montrer que \(\leqslant\) est une relation d’ordre sur \(\mathcal{F}\).
2. Montrer que \(\cos\) et \(\sin\) ne sont pas comparables. L’ordre est-il total ?
3. Montrer que \(\sup\{\cos, \sin\}\) existe et vaut \(h : x \mapsto \max(\cos x, \sin x)\).
4. Déterminer de même \(\inf\{\cos, \sin\}\).

Exercice 12 – Le rôle surprenant de 0 pour la divisibilité

On munit \(\mathbb{N}\), zéro compris, de la divisibilité : \(a \mid b\) s’il existe \(k \in \mathbb{N}\) tel que \(b = ka\).

1. Montrer que c’est une relation d’ordre sur \(\mathbb{N}\).
2. Montrer que \(\mathbb{N}\) possède un plus petit et un plus grand élément pour cet ordre.
3. Déterminer \(\sup\{12, 20, 45\}\) et \(\inf\{12, 20, 45\}\) en justifiant.

Exercice 13 – Être proches ne suffit pas

Sur \(\mathbb{R}\), on pose \(x \,\mathcal{R}\, y\) lorsque \(|x – y| \leqslant 1\).

1. Montrer que \(\mathcal{R}\) est réflexive et symétrique, mais pas transitive.
2. Soit \(\sim\) une relation d’équivalence sur \(\mathbb{R}\) qui contient \(\mathcal{R}\), c’est-à-dire telle que \(x \,\mathcal{R}\, y\) entraîne \(x \sim y\). Montrer que \(x \sim x + n\) pour tout réel \(x\) et tout entier naturel \(n\).
3. En déduire que \(\sim\) n’a qu’une seule classe.

Exercice 14 – Calculer dans Z/6Z

1. Dresser la table de multiplication de \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\).
2. Trouver les classes \(\overline{a}\) non nulles telles qu’il existe \(\overline{b} \neq \overline{0}\) avec \(\overline{a}\,\overline{b} = \overline{0}\).
3. Montrer que la règle \(\overline{a} \mapsto (a \bmod 4)\), de \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\) vers \(\{0,1,2,3\}\), ne définit pas une application.
4. Montrer en revanche que \(\overline{a} \mapsto (a \bmod 3)\) définit bien une application de \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\) vers \(\{0,1,2\}\).

Exercice 15 – D’une partition à une relation

Sur \(E = \{1, 2, \dots, 8\}\), on considère \(P = \{\{1,4,7\}, \{2,5,8\}, \{3,6\}\}\).

1. Vérifier que \(P\) est une partition de \(E\).
2. On note \(\sim\) la relation d’équivalence associée. Exprimer \(x \sim y\) à l’aide d’une congruence.
3. Combien de couples \((x, y) \in E^2\) vérifient \(x \sim y\) ?
4. Dans le quadrillage \(E \times E\), le graphe de \(\sim\) est-il symétrique par rapport à la diagonale ? Justifier.

Pour approfondir

Exercice 16 – Compter les relations sur quatre éléments

Soit \(E = \{a, b, c, d\}\).

1. Combien existe-t-il de relations binaires sur \(E\) ? Combien sont réflexives ?
2. Combien de relations sur \(E\) sont symétriques ?
3. En utilisant le lien entre équivalences et partitions, compter les relations d’équivalence sur \(\{a, b, c\}\), puis sur \(E\).

Exercice 17 – Intersection et réunion de deux équivalences

On note \(\equiv_2\) et \(\equiv_3\) les congruences modulo \(2\) et modulo \(3\) sur \(\mathbb{Z}\).

1. Soient \(\sim_1\) et \(\sim_2\) deux équivalences sur un ensemble \(E\). Montrer que la relation « \(x \sim_1 y\) et \(x \sim_2 y\) » est une équivalence.
2. Montrer que l’intersection de \(\equiv_2\) et \(\equiv_3\) est la congruence modulo \(6\).
3. Montrer que la relation « \(x \equiv_2 y\) ou \(x \equiv_3 y\) » n’est pas transitive.
4. Montrer que la seule équivalence contenant à la fois \(\equiv_2\) et \(\equiv_3\) est la relation totale \(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\).

Exercice 18 – Existence des bornes selon l’ordre choisi

1. Soit \(X\) un ensemble et \((A_i)_{i \in I}\) une famille non vide de parties de \(X\). Montrer que, dans \((\mathcal{P}(X), \subset)\), cette famille a pour borne supérieure \(\bigcup_{i \in I} A_i\) et pour borne inférieure \(\bigcap_{i \in I} A_i\).
2. Dans \((\mathbb{N}^*, \mid)\), on pose \(D = \{2^k \mid k \in \mathbb{N}\}\). Montrer que \(D\) n’a aucun majorant.
3. Dans \((\mathbb{N}, \mid)\), zéro compris, déterminer les majorants de \(D\) et \(\sup D\).
4. Dans \((\mathbb{R}, \leqslant)\), la partie \(D\) a-t-elle une borne supérieure ? Comparer les trois situations.

Exercice 19 – Problème : d’un préordre à un ordre

Un préordre sur \(E\) est une relation \(\preccurlyeq\) réflexive et transitive. On pose \(x \sim y\) lorsque \(x \preccurlyeq y\) et \(y \preccurlyeq x\).

1. Montrer que \(\sim\) est une relation d’équivalence sur \(E\).
2. Soient \(x \sim x^{\prime}\) et \(y \sim y^{\prime}\). Montrer que \(x \preccurlyeq y\) entraîne \(x^{\prime} \preccurlyeq y^{\prime}\).
3. Sur le quotient \(E/\sim\), on pose \(\overline{x} \leqslant \overline{y}\) lorsque \(x \preccurlyeq y\). Justifier que cette définition ne dépend pas des représentants, puis montrer que c’est une relation d’ordre.
4. Application : sur \(\mathbb{Z}\), on pose \(a \preccurlyeq b\) lorsque \(a \mid b\). Vérifier que c’est un préordre qui n’est pas un ordre, décrire les classes de \(\sim\), puis montrer que \(\overline{a} \mapsto |a|\) est une bijection de \(\mathbb{Z}/\sim\) sur \(\mathbb{N}\) qui transforme \(\leqslant\) en divisibilité.
5. Seconde application : sur \(\mathbb{R}\), on pose \(x \preccurlyeq y\) lorsque \(|x| \leqslant |y|\). Décrire les classes et montrer que l’ordre obtenu sur le quotient est total.

Pour aller plus loin

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