Continuité et bijection continue en L1 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Limite en moins un d’un trinôme par epsilon et delta

On considère la fonction \(f : x \mapsto 2x^2 – x\) définie sur \(\mathbb{R}\). Le but est de prouver, sans théorème d’opérations, que \(f\) tend vers \(3\) en \(-1\).

1. Factoriser \(2x^2 – x – 3\) par \(x+1\).
2. Montrer que, si \(|x+1| \leq 1\), alors \(|2x-3| \leq 7\).
3. Soit \(\varepsilon > 0\). Proposer un \(\delta > 0\) explicite tel que \(|x+1| \leq \delta\) entraîne \(|f(x) – 3| \leq \varepsilon\), et conclure.

Exercice 2 – Quotient par une valeur absolue au point 2

Sur \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\), on pose \(f(x) = \frac{x^2-4}{|x-2|}\) et \(g(x) = \frac{(x-2)^2}{|x-2|}\).

1. Simplifier \(f(x)\) pour \(x > 2\), puis pour \(x < 2\).
2. Déterminer les limites à gauche et à droite de \(f\) en \(2\). La fonction \(f\) est-elle prolongeable par continuité en \(2\) ?
3. Simplifier \(g(x)\) et montrer que \(g\) se prolonge par continuité en \(2\).

Le graphe de \(f\) est représenté ci-dessous.

Exercice 3 – Deux prolongements par continuité

1. Soit \(u(x) = \frac{x^3-8}{x-2}\) pour \(x \neq 2\). Montrer que \(u\) se prolonge par continuité en \(2\) et préciser la valeur du prolongement.
2. Soit \(v(x) = x \left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor\) pour \(x \in \,]0,1]\), où \(\lfloor \cdot \rfloor\) désigne la partie entière. Encadrer \(v(x)\) entre \(1-x\) et \(1\).
3. En déduire que \(v\) se prolonge par continuité en \(0\).

Exercice 4 – Un sinus d’inverse sans limite en 0

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \sin\left(\frac{\pi}{2x}\right)\) si \(x \neq 0\), et \(f(0) = 0\).

1. Pour \(n \in \mathbb{N}\), calculer \(f\left(\frac{1}{4n+1}\right)\) et \(f\left(\frac{1}{4n+3}\right)\).
2. En déduire que \(f\) n’admet pas de limite en \(0\). Existe-t-il une valeur de \(f(0)\) qui rende \(f\) continue en \(0\) ?
3. Montrer, à l’aide de la définition, que \(x \mapsto x f(x)\) est continue en \(0\).

Exercice 5 – Rencontre d’une exponentielle et d’une parabole

On étudie l’équation \(e^{-x} = x^2\) sur \([0, +\infty[\). On pose \(h(x) = e^{-x} – x^2\).

1. Montrer que \(h\) est continue et strictement décroissante sur \([0,+\infty[\).
2. Montrer que l’équation admet une unique solution \(\alpha\) dans \([0,+\infty[\), et que \(\alpha \in \,]0,1[\).
3. À l’aide des valeurs \(e^{-0{,}7} \approx 0{,}4966\) et \(e^{-0{,}8} \approx 0{,}4493\), encadrer \(\alpha\) par deux décimaux distants de \(0{,}1\).

Exercice 6 – Une fraction rationnelle 1-lipschitzienne

Soit \(f(x) = \frac{1}{1+x^2}\) sur \(\mathbb{R}\).

1. Montrer que \(\frac{|t|}{1+t^2} \leq \frac{1}{2}\) pour tout réel \(t\).
2. Établir, pour tous réels \(x\) et \(y\), l’égalité \(f(x) – f(y) = \frac{(y-x)(y+x)}{(1+x^2)(1+y^2)}\).
3. En déduire que \(|f(x) – f(y)| \leq |x-y|\), puis que \(f\) est uniformément continue sur \(\mathbb{R}\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Deux limites en plus l’infini par définition

Chaque limite est à établir directement avec les quantificateurs, sans théorème d’opérations.

1. Montrer que \(\frac{3x+1}{x+2}\) tend vers \(3\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).
2. Montrer que \(\sqrt{x}\) tend vers \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).
3. Écrire avec des quantificateurs l’assertion « \(\ln x\) tend vers \(-\infty\) quand \(x\) tend vers \(0\) par la droite », puis la démontrer.

Exercice 8 – Fonction invariante par dilatation de rapport 3

Soit \(f\) une fonction réelle définie sur \(\mathbb{R}\), continue en \(0\) et telle que \(f(3x) = f(x)\) pour tout réel \(x\).

1. Montrer que \(f(x) = f\left(\frac{x}{3^n}\right)\) pour tout réel \(x\) et tout entier \(n\).
2. En déduire que \(f\) est constante.
3. Vérifier que la fonction signe, égale à \(1\) sur \(]0,+\infty[\), à \(-1\) sur \(]-\infty,0[\) et à \(0\) en \(0\), vérifie la relation. Quelle hypothèse est en défaut ?

Exercice 9 – Une fonction continue en un seul point

Soit \(g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \(g(x) = x^2\) si \(x \in \mathbb{Q}\), et \(g(x) = 2x – 1\) si \(x \notin \mathbb{Q}\).

1. Montrer que, pour \(|x-1| \leq 1\), on a \(|g(x) – 1| \leq 3|x-1|\). En déduire que \(g\) est continue en \(1\).
2. Soit \(a \neq 1\). À l’aide d’une suite de rationnels et d’une suite d’irrationnels qui tendent vers \(a\), montrer que \(g\) n’est pas continue en \(a\).

Exercice 10 – Points fixes sur un segment

1. Soit \(f : [0,1] \to [0,1]\) continue. En étudiant \(x \mapsto f(x) – x\), montrer que \(f\) admet un point fixe.
2. Montrer que \(x \mapsto \frac{1+x}{2}\) envoie \([0,1[\) dans \([0,1[\) sans y avoir de point fixe. Quelle hypothèse de la question 1 manque ?
3. Soit \(f : [a,b] \to \mathbb{R}\) continue telle que \([a,b] \subset f([a,b])\). Montrer que \(f\) admet un point fixe.

Exercice 11 – Corde horizontale de longueur un tiers

Soit \(f\) continue sur \([0,1]\) telle que \(f(0) = f(1)\). On pose \(g(x) = f\left(x+\frac{1}{3}\right) – f(x)\) pour \(x \in \left[0, \frac{2}{3}\right]\).

1. Calculer \(g(0) + g\left(\frac{1}{3}\right) + g\left(\frac{2}{3}\right)\).
2. En déduire qu’il existe \(c \in \left[0, \frac{2}{3}\right]\) tel que \(f\left(c + \frac{1}{3}\right) = f(c)\). Interpréter sur le graphe de \(f\).

Exercice 12 – Maximum atteint sur toute la droite réelle

Soit \(f\) continue sur \(\mathbb{R}\), de limite nulle en \(-\infty\) et en \(+\infty\), et telle que \(f(0) = 1\).

1. Montrer qu’il existe \(A > 0\) tel que \(f(x) \leq \frac{1}{2}\) pour tout \(x\) vérifiant \(|x| \geq A\).
2. En déduire que \(f\) est majorée sur \(\mathbb{R}\) et qu’elle y atteint sa borne supérieure.
3. Avec \(f(x) = \frac{1}{1+x^2}\), montrer qu’une telle fonction n’atteint pas forcément sa borne inférieure.

Exercice 13 – Réciproque de x plus logarithme de x

Soit \(f(x) = x + \ln x\) sur \(]0,+\infty[\).

1. Montrer que \(f\) réalise une bijection de \(]0,+\infty[\) sur \(\mathbb{R}\).
2. Calculer \(f^{-1}(1)\) et \(f^{-1}(e+1)\).
3. Justifier que \(f^{-1}\) est continue et strictement croissante, puis donner ses limites en \(-\infty\) et en \(+\infty\).
4. Montrer que \(\frac{f^{-1}(y)}{y}\) tend vers \(1\) quand \(y\) tend vers \(+\infty\).

La figure montre les courbes de \(f\) et de \(f^{-1}\).

Exercice 14 – Une bijection explicite de R sur un intervalle ouvert

Soit \(\theta(x) = \frac{x}{|x|+1}\) pour \(x \in \mathbb{R}\).

1. Montrer que \(\theta\) est impaire, continue, et à valeurs dans \(]-1,1[\).
2. Montrer que \(\theta\) est strictement croissante sur \([0,+\infty[\), puis sur \(\mathbb{R}\).
3. En déduire que \(\theta\) est une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(]-1,1[\), et déterminer explicitement \(\theta^{-1}\).
4. Vérifier directement que \(\theta^{-1}\) est continue sur \(]-1,1[\).

Exercice 15 – Sinus du carré et continuité uniforme

Soit \(f(x) = \sin(x^2)\) sur \([0,+\infty[\). Pour \(n \geq 1\), on pose \(x_n = \sqrt{n\pi + \frac{\pi}{2}}\) et \(y_n = \sqrt{n\pi}\).

1. Montrer que \(x_n – y_n = \frac{\pi}{2(x_n + y_n)}\), puis que \(x_n – y_n\) tend vers \(0\).
2. Calculer \(|f(x_n) – f(y_n)|\).
3. En déduire que \(f\) n’est pas uniformément continue sur \([0,+\infty[\). Est-elle uniformément continue sur \([0,10]\) ?

Exercice 16 – Racine carrée uniformément continue mais non lipschitzienne

1. Montrer que, pour \(0 \leq y \leq x\), on a \(\sqrt{x} – \sqrt{y} \leq \sqrt{x-y}\). On pourra développer \(\left(\sqrt{y} + \sqrt{x-y}\right)^2\).
2. En déduire que \(|\sqrt{x} – \sqrt{y}| \leq \sqrt{|x-y|}\) pour tous \(x, y \geq 0\), puis que la racine carrée est uniformément continue sur \([0,+\infty[\).
3. Montrer que la racine carrée n’est lipschitzienne sur aucun intervalle \([0, r]\) avec \(r > 0\).

Pour approfondir

Exercice 17 – Continue et injective implique strictement monotone

Soit \(f\) continue et injective sur un intervalle \(I\). On fixe \(x < y\) et \(x^{\prime} < y^{\prime}\) dans \(I\). Pour \(t \in [0,1]\), on pose \(p(t) = (1-t)x + t x^{\prime}\), \(q(t) = (1-t)y + t y^{\prime}\) et \(\psi(t) = f(q(t)) – f(p(t))\).

1. Montrer que \(p(t)\) et \(q(t)\) appartiennent à \(I\), et que \(p(t) < q(t)\) pour tout \(t \in [0,1]\).
2. Montrer que \(\psi\) est continue sur \([0,1]\) et ne s’annule pas.
3. En déduire que \(f(y) – f(x)\) et \(f(y^{\prime}) – f(x^{\prime})\) ont le même signe.
4. Conclure que \(f\) est strictement monotone sur \(I\).

Exercice 18 – Problème : continuité uniforme et prolongement au bord

Soit \(f\) uniformément continue sur \(]0,1]\). On admet qu’une suite réelle de Cauchy converge.

1. Soit \((u_n)\) une suite de \(]0,1]\) qui tend vers \(0\). Montrer que \((f(u_n))\) est une suite de Cauchy, donc convergente.
2. Soit \((v_n)\) une autre suite de \(]0,1]\) qui tend vers \(0\). En considérant la suite \((w_n)\) définie par \(w_{2n} = u_n\) et \(w_{2n+1} = v_n\), montrer que \((f(u_n))\) et \((f(v_n))\) ont la même limite.
3. En déduire que \(f\) admet une limite finie en \(0\) et se prolonge en une fonction continue sur \([0,1]\).
4. Montrer que la fonction \(\sigma\), définie sur \(]0,1]\) par \(\sigma(x) = \sin\left(\frac{1}{x}\right)\), n’y est pas uniformément continue.
5. Montrer en revanche que \(x \mapsto x \sin\left(\frac{1}{x}\right)\) est uniformément continue sur \(]0,1]\).

Exercice 19 – Problème : fonctions continues et périodiques

Soit \(T > 0\) et \(f\) une fonction réelle, continue sur \(\mathbb{R}\) et \(T\)-périodique.

1. Montrer que \(f\) est bornée sur \(\mathbb{R}\) et qu’elle y atteint ses bornes.
2. Soit \(\varepsilon > 0\). Le théorème de Heine sur \([0, 2T]\) fournit un \(\delta\), que l’on peut supposer inférieur ou égal à \(T\). Montrer que ce \(\delta\) convient pour tous \(x, y\) réels, et en déduire que \(f\) est uniformément continue sur \(\mathbb{R}\).
3. Montrer que \(x \mapsto x^2\) n’est périodique pour aucune période \(T > 0\).
4. On suppose de plus que \(f\) admet une limite finie \(\ell\) en \(+\infty\). Montrer que \(f\) est constante.

Pour aller plus loin

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