Suites et définition epsilon en L1 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Une suite homographique encadrée

Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(u_n = \dfrac{3n+2}{n+4}\).

1. Déterminer deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(u_n = \alpha – \dfrac{\beta}{n+4}\) pour tout \(n\).
2. Ensuite, en déduire que \((u_n)\) est croissante.
3. Montrer que \((u_n)\) est bornée en donnant un minorant et un majorant explicites.
4. Justifier que \((u_n)\) converge et donner sa limite.

Exercice 2 – Trouver le rang pour une précision donnée

On considère la suite définie par \(u_n = \dfrac{4n-1}{2n+5}\).

1. Calculer \(|u_n – 2|\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
2. Démontrer avec la définition epsilon que \((u_n)\) converge vers 2.
3. Déterminer le plus petit entier \(N\) tel que \(|u_n – 2| \leqslant 10^{-2}\) pour tout \(n \geqslant N\).

Exercice 3 – Une somme de racines entre deux gendarmes

Pour \(n \geqslant 1\), on pose \(u_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^2 + 3k}}\).

1. Encadrer chaque terme \(\dfrac{1}{\sqrt{n^2+3k}}\) pour \(1 \leqslant k \leqslant n\) par deux quantités indépendantes de \(k\).
2. Par conséquent, en déduire un encadrement de \(u_n\).
3. Déterminer la limite de \((u_n)\).

Exercice 4 – Tendre vers l’infini par la définition

1. Montrer que \(\sqrt{n} \geqslant 6\) entraîne \(3\sqrt{n} \leqslant \dfrac{n}{2}\). Ensuite, en déduire, avec la définition, que \(v_n = n – 3\sqrt{n}\) tend vers \(+\infty\).
2. Montrer que la suite \(w_n = (-1)^n n\) n’a pas de limite finie, et qu’elle ne tend ni vers \(+\infty\) ni vers \(-\infty\).
3. Soit \((u_n)\) une suite qui tend vers \(+\infty\). Démontrer avec epsilon que \(\dfrac{1}{u_n}\) est défini à partir d’un certain rang et tend vers 0.

Exercice 5 – Récurrence linéaire à deux racines réelles

Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\), \(u_1 = 8\) et \(u_{n+2} = u_{n+1} + 6u_n\) pour tout \(n\).

1. Écrire l’équation caractéristique et la résoudre.
2. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
3. Déterminer la limite de \((u_n)\), puis celle de \(\dfrac{u_n}{3^n}\).

Exercice 6 – Trois formes indéterminées classiques

Déterminer la limite de chacune des suites suivantes, en précisant la forme indéterminée levée.

1. \(a_n = \sqrt{n^2 + 5n} – n\).
2. \(b_n = \dfrac{2^n + 5^n}{3^n + 5^n}\).
3. \(c_n = \dfrac{n^3 – 2n}{4n^3 + n^2 + 7}\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Inverse d’une suite de limite non nulle

Soit \((u_n)\) une suite qui converge vers un réel \(\ell > 0\).

1. Montrer qu’il existe un rang \(N_0\) tel que \(u_n \geqslant \dfrac{\ell}{2}\) pour tout \(n \geqslant N_0\).
2. Établir, pour \(n \geqslant N_0\), l’inégalité \(\left|\dfrac{1}{u_n} – \dfrac{1}{\ell}\right| \leqslant \dfrac{2}{\ell^2}|u_n – \ell|\).
3. Ainsi, en déduire avec epsilon que \(\dfrac{1}{u_n} \to \dfrac{1}{\ell}\).
4. Étudier \(\dfrac{1}{u_n}\) lorsque \(u_n = \dfrac{1}{n+1}\), puis lorsque \(u_n = \dfrac{(-1)^n}{n+1}\). Que montrent ces exemples dans le cas \(\ell = 0\) ?

Exercice 8 – Deux preuves avec epsilon

1. Montrer que \(\sqrt{n+3} – \sqrt{n} \leqslant \dfrac{3}{2\sqrt{n}}\) pour \(n \geqslant 1\). Puis en déduire avec epsilon que \(\sqrt{n+3} – \sqrt{n} \to 0\), puis donner un rang qui convient pour \(\varepsilon = 10^{-2}\).
2. Démontrer avec epsilon que \(\dfrac{2n^2 + \sin n}{n^2 + 1} \to 2\).

Exercice 9 – Divergence par deux suites extraites

On pose \(u_n = \cos\left(\dfrac{n\pi}{3}\right)\). La figure représente ses premiers termes.

1. Calculer \(u_0, u_1, \dots, u_5\), puis montrer que \(u_{n+6} = u_n\) pour tout \(n\).
2. Étudier les suites extraites \((u_{6k})\) et \((u_{6k+3})\). Conclure sur la nature de \((u_n)\).
3. Déterminer la limite de \(w_n = \dfrac{u_n}{n}\) pour \(n \geqslant 1\).

Exercice 10 – Une somme alternée et ses rangs pairs et impairs

Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{2k+1}\).

1. Calculer \(S_{2n+2} – S_{2n}\) et \(S_{2n+3} – S_{2n+1}\), puis étudier leur signe.
2. Montrer que les suites \((S_{2n})\) et \((S_{2n+1})\) sont adjacentes.
3. Puis en déduire que \((S_n)\) converge.
4. Calculer \(S_2\) et \(S_3\), puis en déduire un encadrement de la limite.

Exercice 11 – Moyennes harmonique et arithmétique adjacentes

On pose \(a_0 = 2\), \(b_0 = 8\) et, pour tout \(n\),

\[a_{n+1} = \frac{2a_n b_n}{a_n + b_n}, \qquad b_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}.\]

1. Montrer par récurrence que les deux suites sont bien définies et que \(0 < a_n \leqslant b_n\) pour tout \(n\).
2. Étudier la monotonie de \((a_n)\) et de \((b_n)\).
3. Établir que \(b_{n+1} – a_{n+1} \leqslant \dfrac{b_n – a_n}{2}\). Par conséquent, en déduire que les suites sont adjacentes.
4. Calculer \(a_{n+1} b_{n+1}\) en fonction de \(a_n b_n\), puis déterminer la limite commune.

Exercice 12 – Un produit infini croissant et majoré

Pour \(n \geqslant 1\), on pose \(p_n = \displaystyle\prod_{k=1}^{n} \left(1 + \frac{1}{3^k}\right)\). On admet que \(1 + x \leqslant \mathrm{e}^x\) pour tout réel \(x\).

1. Montrer que \((p_n)\) est croissante.
2. Montrer que \(p_n \leqslant \sqrt{\mathrm{e}}\) pour tout \(n \geqslant 1\).
3. Ensuite, en déduire que \((p_n)\) converge et encadrer sa limite.

Exercice 13 – Une récurrence à point fixe double

Soit \(u_0 = 3\) et \(u_{n+1} = 2 – \dfrac{1}{u_n}\) pour tout \(n\).

1. Montrer que la suite est bien définie et que \(u_n > 1\) pour tout \(n\).
2. Montrer que \(u_{n+1} – u_n = -\dfrac{(u_n – 1)^2}{u_n}\). Ainsi, en déduire la monotonie de \((u_n)\).
3. Prouver que \((u_n)\) converge et déterminer sa limite.
4. On pose \(v_n = \dfrac{1}{u_n – 1}\). Montrer que \((v_n)\) est arithmétique, puis exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
5. Déterminer le plus petit rang \(N\) tel que \(|u_n – 1| \leqslant 10^{-3}\) pour tout \(n \geqslant N\).

Exercice 14 – Racine double et racines complexes

Exprimer chaque suite en fonction de \(n\), puis étudier sa limite.

1. \(u_0 = 3\), \(u_1 = 4\) et \(u_{n+2} = 4u_{n+1} – 4u_n\).
2. \(v_0 = 2\), \(v_1 = 1\) et \(v_{n+2} = v_{n+1} – v_n\).
3. \(w_0 = 0\), \(w_1 = 1\) et \(w_{n+2} = w_{n+1} – \dfrac{1}{2} w_n\).

Exercice 15 – Comparaison et limites infinies

1. Pour \(n \geqslant 1\), on pose \(h_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}\). Montrer que \(h_n \geqslant \sqrt{n}\), puis en déduire la limite de \((h_n)\).
2. Montrer que \(0 < \dfrac{n!}{n^n} \leqslant \dfrac{1}{n}\) pour \(n \geqslant 1\). Ensuite, en déduire la limite.
3. Montrer que \(\dfrac{2^n}{n!} \leqslant 2\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-2}\) pour \(n \geqslant 2\). Puis en déduire la limite.
4. Déterminer la limite de \(z_n = \dfrac{n^2}{n + \cos n}\) pour \(n \geqslant 1\).

Pour approfondir

Exercice 16 – Moyennes de Cesàro

Soit \((u_n)_{n \geqslant 1}\) une suite réelle. On pose \(c_n = \dfrac{u_1 + u_2 + \dots + u_n}{n}\).

1. On suppose \(u_n \to 0\). Soit \(\varepsilon > 0\) et \(N\) un rang tel que \(|u_n| \leqslant \dfrac{\varepsilon}{2}\) pour \(n > N\). Montrer que, pour \(n > N\), \(|c_n| \leqslant \dfrac{|u_1| + \dots + |u_N|}{n} + \dfrac{\varepsilon}{2}\). Conclure que \(c_n \to 0\).
2. Par conséquent, en déduire que si \(u_n \to \ell\), alors \(c_n \to \ell\).
3. Montrer que la réciproque est fausse.
4. Application. Soit \((x_n)\) telle que \(x_0 = 0\) et \(x_{n+1} – x_n = \dfrac{3n+1}{n+2}\). Déterminer la limite de \(\dfrac{x_n}{n}\).

Exercice 17 – Récurrence par une fonction décroissante

Soit \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\), avec \(f(x) = 1 + \dfrac{2}{x}\).

1. Montrer que \([1, 3]\) est stable par \(f\). Par conséquent, en déduire que \(u_n \in [1, 3]\) pour tout \(n\).
2. Calculer \(g = f \circ f\) sur \([1, 3]\) et montrer que \(g\) est croissante.
3. Montrer que \((u_{2n})\) est croissante et que \((u_{2n+1})\) est décroissante.
4. Déterminer les limites de ces deux suites extraites, puis conclure sur \((u_n)\).
5. Montrer que \(u_n \in \left[\dfrac{5}{3}, 3\right]\) pour \(n \geqslant 1\), puis que \(|u_{n+1} – 2| \leqslant \dfrac{3}{5}|u_n – 2|\). Ainsi, en déduire \(|u_n – 2| \leqslant \left(\dfrac{3}{5}\right)^{n-1}\) pour \(n \geqslant 1\).

Exercice 18 – La suite des sinus des entiers diverge

On étudie la suite \(s_n = \sin n\). On rappelle que \(\pi > 3\).

1. Justifier que \((s_n)\) possède une suite extraite convergente.
2. Pour \(k \geqslant 1\), on pose \(I_k = \left[2k\pi + \dfrac{\pi}{4},\ 2k\pi + \dfrac{3\pi}{4}\right]\) et \(J_k = \left[2k\pi + \dfrac{5\pi}{4},\ 2k\pi + \dfrac{7\pi}{4}\right]\). Montrer que chacun de ces intervalles contient au moins un entier.
3. On note \(n_k\) un entier de \(I_k\) et \(m_k\) un entier de \(J_k\). Montrer que \((n_k)\) et \((m_k)\) sont strictement croissantes.
4. Montrer que \(s_{n_k} \geqslant \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) et \(s_{m_k} \leqslant -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) pour tout \(k\).
5. Ainsi, en déduire que \((\sin n)\) n’a pas de limite.

Exercice 19 – Problème : une famille de suites récurrentes

Soit \(f(x) = \dfrac{x^2 + 3}{4}\) et \(a\) un réel. On définit \((u_n)\) par \(u_0 = a\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\). La figure montre la courbe de \(f\) et la droite \(y = x\).

Partie A : étude de \(f\).

1. Déterminer les points fixes de \(f\) et le signe de \(f(x) – x\) selon \(x\).
2. Montrer que \(f\) est croissante sur \([0, +\infty[\) et que les intervalles \([0, 1]\), \([1, 3]\) et \([3, +\infty[\) sont stables par \(f\).

Partie B : comportement selon \(a\).

3. On suppose \(a \in [0, 1[\). Montrer que \((u_n)\) est croissante, puis qu’elle converge vers 1.
4. On suppose \(a \in \,]1, 3[\). Montrer que \((u_n)\) est décroissante et converge vers 1.
5. On suppose \(a > 3\). Montrer que \((u_n)\) tend vers \(+\infty\).
6. Traiter les cas \(a \in \{1, 3\}\), puis le cas \(a < 0\).

Partie C : vitesse de convergence.

7. On suppose \(a \in [0, 2]\). Montrer que \(u_n \in [0, 2]\) pour tout \(n\), puis que \(|u_{n+1} – 1| \leqslant \dfrac{3}{4}|u_n – 1|\).
8. Puis en déduire que \(|u_n – 1| \leqslant \left(\dfrac{3}{4}\right)^n\). Déterminer un rang \(N\) à partir duquel \(|u_n – 1| \leqslant 10^{-6}\), sachant que \(\ln\left(\dfrac{3}{4}\right) \approx -0{,}2877\) et \(\ln\left(10^{-6}\right) \approx -13{,}82\).

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