QCM : Dérivabilité, Rolle et TAF en L1 de maths

Réponse D.

On développe \((1+h)^3=1+3h+3h^2+h^3\), donc \(f(1+h)-f(1)=5h+3h^2+h^3\). Ainsi, après division par \(h\), on obtient \(5+3h+h^2\), qui tend vers \(f^{\prime}(1)=5\). Le piège \(5h+3h^2+h^3\) oublie la division par \(h\) ; la réponse \(3+3h+h^2\) oublie le terme \(2x\).

Réponse C.

Pour \(x>2\), \(g(x)=x^2-2x\), de dérivée \(2x-2\), soit \(2\) en 2. Pour \(x<2\), \(g(x)=2x-x^2\), de dérivée \(2-2x\), soit \(-2\). Par conséquent, les deux dérivées latérales diffèrent. Cependant \(g\) reste continue en 2 : le piège « non continue » confond continuité et dérivabilité, et le piège « à gauche 2 » inverse les côtés.

Réponse C.

Par la règle de la composée, \(F^{\prime}(x)=\dfrac{2u(x)u^{\prime}(x)}{u(x)^2+1}\). En 0, cela donne \(\dfrac{2\times 1\times 3}{2}=3\). Le piège \(6\) oublie le dénominateur, tandis que \(\tfrac{3}{2}\) oublie le facteur 2 venant de la dérivée du carré. Enfin, \(\tfrac12\) revient à ne pas dériver la fonction intérieure.

Réponse A.

On cherche d’abord l’antécédent : \(h(1)=3\), donc \(h^{-1}(3)=1\). Ensuite \(h^{\prime}(x)=5x^4+1\) vaut 6 en 1, et ne s’annule pas. Ainsi \((h^{-1})^{\prime}(3)=\dfrac{1}{h^{\prime}(1)}=\dfrac16\). Le piège \(\tfrac{1}{406}\) évalue \(h^{\prime}\) en 3 au lieu de l’antécédent ; la réponse 6 oublie d’inverser.

Réponse B.

La condition \(f^{\prime}(c)=0\) est nécessaire pour un extremum local en un point intérieur, mais elle n’est pas suffisante. En effet, \(x\mapsto (x-\tfrac12)^3\) a une dérivée nulle en \(\tfrac12\) et reste strictement croissante. Le piège principal consiste donc à prendre la réciproque du théorème pour vraie ; le changement de monotonie échoue sur le même contre-exemple.

Réponse D.

Le polynôme \(x^4-x^2\) est continu, dérivable, et prend la valeur 0 aux deux bornes. Au contraire, \(|x|\) a bien des valeurs égales aux bornes, mais n’est pas dérivable en 0. Ensuite, \(x^3\) vaut \(-1\) et \(1\) aux bornes. Enfin, la fonction modifiée en 1 a des valeurs égales mais n’est pas continue en 1 : c’est l’hypothèse de continuité sur le segment qui manque.

Réponse A.

On a \(f(4)-f(1)=15\), donc il faut \(2c\times 3=15\), soit \(c=\tfrac52\). Pour une parabole, ce point est d’ailleurs toujours le milieu du segment. Le piège \(c=5\) résout \(f^{\prime}(c)=10\) en oubliant de diviser par 2 ; de plus, il sort de l’intervalle. La valeur \(\tfrac32\) est la demi-longueur, et non le milieu.

Réponse C.

Le lien entre dérivée nulle et fonction constante repose sur les accroissements finis, donc il n’est valable que sur un intervalle. Or \(\mathbb{R}^*\) n’en est pas un. Ainsi la fonction qui vaut \(-1\) sur les négatifs et \(4\) sur les positifs convient, et elle est bornée. Le piège consiste à oublier l’hypothèse d’intervalle.

Réponse D.

La dérivée \(\dfrac{1}{1+x^2}\) est comprise entre 0 et 1, et le maximum 1 est atteint en 0. Par conséquent, l’inégalité des accroissements finis donne la constante 1. Le facteur \(\tfrac12\) serait faux : il suffit de prendre \(a\) et \(b\) proches de 0. Enfin, l’inégalité dans l’autre sens contredit la borne de la dérivée.

Réponse B.

Une dérivée positive qui ne s’annule qu’en des points isolés donne une fonction strictement croissante. En effet, si \(f(x)=f(y)\) avec \(x<y\), alors \(f\) serait constante sur \([x,y]\), donc \(f^{\prime}\) y serait nulle partout. Cependant l’ensemble des entiers ne contient aucun intervalle non trivial. Le piège croit qu’un seul zéro de \(f^{\prime}\) suffit à casser la stricte monotonie.

Réponse A.

Par la formule de Leibniz, seuls trois termes restent : \(\binom50 x^2(-1)^5e^{-x}+\binom51 2x(-1)^4e^{-x}+\binom52 2(-1)^3e^{-x}\). Cela donne \((-x^2+10x-20)e^{-x}\). Le piège sans signe moins oublie \((-1)^5\). La réponse \(-5x\) oublie le facteur 2 de \((x^2)^{\prime}\), et la constante 10 oublie celui de \((x^2)^{\prime\prime}\).

Réponse B.

Le taux \(x^2\sin(1/x)\) tend vers 0, donc \(f^{\prime}(0)=0\). Pour \(x\neq 0\), \(f^{\prime}(x)=3x^2\sin(1/x)-x\cos(1/x)\) tend aussi vers 0 : ainsi \(f\) est \(C^1\). En revanche, \(f^{\prime}(x)/x=3x\sin(1/x)-\cos(1/x)\) n’a pas de limite. Le piège « \(f^{\prime}\) non continue » décrit plutôt \(x^2\sin(1/x)\), avec un exposant trop petit.