QCM : Applications linéaires et rang en L1 de maths

Réponse B.

Chaque coordonnée de la bonne réponse est une combinaison linéaire de \(x\) et \(y\), donc l’application est linéaire. En revanche, \((x+1,y)\) envoie \((0,0)\) sur \((1,0)\) : une application linéaire fixe toujours le vecteur nul. Ensuite, le produit \(xy\) n’est pas additif. Enfin, la valeur absolue ne respecte pas la multiplication par \(-1\).

Réponse C.

Le système \(2x-z=0\), \(x+y+z=0\) donne \(z=2x\), puis \(y=-3x\). Les solutions forment donc la droite dirigée par \((1,-3,2)\). Le piège \(\{0\}\) est exclu d’emblée : partant de la dimension \(3\) vers la dimension \(2\), \(g\) ne peut pas être injective. Ensuite, \((1,3,2)\) contient une erreur de signe. Enfin, le plan proposé ne vérifie que la première équation.

Réponse A.

Si une combinaison \(\sum\lambda_kf(u_k)\) est nulle, la linéarité la transforme en \(f\big(\sum\lambda_ku_k\big)=0\). Comme le noyau est réduit à zéro, \(\sum\lambda_ku_k=0\), donc tous les \(\lambda_k\) sont nuls. Le piège « génératrice » relève de la surjectivité, qui n’est pas supposée. De même, rien ne garantit une base de \(F\). Enfin, « liée » contredit le calcul.

Réponse C.

Le théorème du rang donne \(\dim\operatorname{Ker}f+\operatorname{rg}f=\dim\mathbb{R}^5=5\). Comme \(f\) est surjective, son rang vaut \(3\), donc le noyau est de dimension \(5-3=2\). Le piège \(3\) confond le noyau avec l’image. Ensuite, \(0\) suppose à tort qu’une surjection est injective. Enfin, \(8\) additionne les dimensions au lieu de les soustraire.

Réponse D.

Les trois vecteurs donnés engendrent l’image de \(u\). Or le troisième est la somme des deux premiers, qui ne sont pas proportionnels : le rang vaut donc \(2\). Le piège du rang \(3\) compte trois vecteurs sans vérifier leur indépendance. Ensuite, un rang \(2\) dans \(\mathbb{R}^3\) interdit la surjectivité. De plus, pour un endomorphisme en dimension finie, injectivité et surjectivité vont ensemble.

Réponse C.

Une application linéaire de \(E\) dans \(F\) correspond à une matrice à \(4\) lignes et \(3\) colonnes, une fois des bases fixées. Par conséquent, \(\mathcal{L}(E,F)\) a la même dimension que l’espace de ces matrices, soit \(3\times 4=12\). Le piège \(7\) additionne les dimensions, comme pour un produit cartésien. Ensuite, \(64=4^3\) compte des applications d’ensembles finis. Enfin, \(4\) ne retient que l’espace d’arrivée.

Réponse B.

Tout polynôme admet une primitive polynomiale, donc \(D\) est surjective. Cependant, les constantes non nulles ont une dérivée nulle, si bien que le noyau n’est pas réduit à \(\{0\}\). Cet exemple montre que l’équivalence entre injectivité et surjectivité d’un endomorphisme exige la dimension finie. Le piège « bijectif » applique justement ce résultat hors de son cadre.

Réponse D.

Un projecteur vérifie \(p\circ p=p\). Pour la bonne réponse, appliquer deux fois donne \((x-y-0,0)=(x-y,0)\), donc la condition est remplie. En revanche, l’échange des coordonnées vérifie \(s\circ s=\mathrm{id}\) : c’est une symétrie. Ensuite, \((0,x)\) composé avec lui-même donne l’application nulle. Enfin, \((2x,0)\) appliqué deux fois donne \((4x,0)\).

Réponse D.

Tout vecteur s’écrit \(u=a+b\), avec \(s(a)=a\) et \(s(b)=-b\). Alors \(u+s(u)=2a\), donc \(\frac{1}{2}(\mathrm{id}+s)\) renvoie bien la composante \(a\). Le piège \(\frac{1}{2}(\mathrm{id}-s)\) donne l’autre projecteur, sur \(\operatorname{Ker}(s+\mathrm{id})\). Ensuite, \(\mathrm{id}+s\) oublie le facteur \(\frac{1}{2}\). Enfin, \(s\circ s\) est l’identité.

Réponse A.

Si \(v=p(u)\), alors \(p(v)=p\circ p(u)=p(u)=v\), donc \(v\) est invariant. Inversement, un vecteur invariant est sa propre image. Ainsi, l’image est l’ensemble des vecteurs fixes. Le piège \(\operatorname{Ker}p\) donne la direction de la projection. Par ailleurs, \(\operatorname{Im}(p-\mathrm{id})\) coïncide justement avec ce noyau. Enfin, \(\operatorname{Ker}(p+\mathrm{id})\) concerne les symétries.

Réponse B.

On cherche une forme \(ax+by+cz\) qui s’annule sur les deux générateurs, car \(H\) en est alors le noyau. Or \(1-1+0=0\) et \(0-1+1=0\), ce qui valide \(x-y+z=0\). Le piège \(x+y+z=0\) n’annule pas \((1,1,0)\). De même, \(x-y-z\) prend la valeur \(-2\) en \((0,1,1)\). Ainsi, tester chaque générateur suffit à trancher.

Réponse A.

Chaque hyperplan est de dimension \(4\). Comme ils sont distincts, leur somme contient strictement chacun d’eux, donc elle vaut \(\mathbb{R}^5\). La formule de Grassmann donne alors \(4+4-5=3\). Le piège \(4\) suppose les hyperplans égaux. Ensuite, \(2\) retranche deux fois au lieu d’une. Autrement dit, deux équations indépendantes font perdre exactement deux dimensions.