Riemann, primitives et IPP en L1 de maths : cours et méthodes

Une subdivision de \([a, b]\) est une suite finie \(\sigma = (x_0, x_1, \ldots, x_n)\) telle que \(a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b\). Son pas est le plus grand des écarts \(x_{k+1} – x_k\). La subdivision régulière d’ordre \(n\) est donnée par \(x_k = a + k\frac{b – a}{n}\).

On appelle fonction en escalier sur \([a, b]\) toute fonction \(\varphi\) pour laquelle on peut trouver une subdivision \(\sigma\) découpant \([a, b]\) en morceaux ouverts \(\left]x_k, x_{k+1}\right[\) où \(\varphi\) ne varie pas. Une telle subdivision est dite adaptée à \(\varphi\).

Soit \(\varphi\) en escalier, de valeur \(c_k\) sur \(\left]x_k, x_{k+1}\right[\) pour une subdivision adaptée \((x_0, \ldots, x_n)\). On pose :

\[
\int_a^b \varphi = \sum_{k=0}^{n-1} c_k \left(x_{k+1} – x_k\right)
\]

Le résultat est le même pour toutes les subdivisions adaptées.

Sur \([0, 4]\), on définit \(\varphi\) par \(\varphi(x) = 2\) sur \([0, 1[\), \(\varphi(x) = -1\) sur \([1, 3[\) et \(\varphi(x) = 4\) sur \([3, 4]\).

1. La subdivision \((0, 1, 3, 4)\) est adaptée à \(\varphi\).
2. Ensuite, les longueurs des intervalles sont \(1\), \(2\) et \(1\).
3. Donc \(\int_0^4 \varphi = 2 \times 1 + (-1) \times 2 + 4 \times 1 = 4\).

Autrement dit, le rectangle situé sous l’axe compte négativement : l’intégrale est une aire algébrique.

Pour des fonctions en escalier, l’application \(\varphi \mapsto \int_a^b \varphi\) respecte les combinaisons linéaires. De plus, elle préserve l’ordre : une fonction en escalier située sous une autre a une intégrale plus petite.

Soit \(f\) bornée sur \([a, b]\). D’abord, \(I^{-}(f)\) désigne la borne supérieure des \(\int_a^b \varphi\) pour \(\varphi\) en escalier avec \(\varphi \leqslant f\). Ensuite, \(I^{+}(f)\) désigne la borne inférieure des \(\int_a^b \psi\) pour \(\psi\) en escalier avec \(\psi \geqslant f\). Par croissance de l’intégrale des fonctions en escalier, \(I^{-}(f) \leqslant I^{+}(f)\).

On dit que \(f\) est intégrable au sens de Riemann si \(I^{-}(f) = I^{+}(f)\). Cette valeur commune est l’intégrale de \(f\), notée \(\int_a^b f\) ou \(\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\).

Toute fonction monotone sur \([a, b]\) est intégrable. Toute fonction continue sur \([a, b]\) est intégrable.

Traitons le cas où \(f\) est croissante. On fixe \(n \geqslant 1\) et la subdivision régulière \(x_k = a + k\frac{b – a}{n}\). Sur \(\left[x_k, x_{k+1}\right[\), on pose \(\varphi = f(x_k)\) et \(\psi = f(x_{k+1})\). Comme \(f\) est croissante, on a bien \(\varphi \leqslant f \leqslant \psi\), avec \(\varphi(b) = \psi(b) = f(b)\). Ensuite, la somme se télescope :

\[
\int_a^b (\psi – \varphi) = \frac{b – a}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \left(f(x_{k+1}) – f(x_k)\right) = \frac{(b – a)\left(f(b) – f(a)\right)}{n}
\]

Ce majorant tend vers \(0\) quand \(n\) tend vers l’infini, donc \(f\) est intégrable. Le cas décroissant s’en déduit en remplaçant \(f\) par \(-f\). Pour une fonction continue, on utilise le théorème de Heine, que nous admettons ici : pour tout \(\varepsilon > 0\), il existe \(\eta > 0\) tel que \(|x – y| \leqslant \eta\) entraîne \(|f(x) – f(y)| \leqslant \varepsilon\). Sur une subdivision de pas inférieur à \(\eta\), le minimum et le maximum de \(f\) sur chaque morceau diffèrent alors d’au plus \(\varepsilon\). On obtient ainsi \(\int_a^b (\psi – \varphi) \leqslant \varepsilon(b – a)\).

Soit \(\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}\) la fonction qui vaut \(1\) en tout rationnel et \(0\) en tout irrationnel de \([0, 1]\). Tout intervalle ouvert non vide contient des rationnels et des irrationnels. Par conséquent, une fonction en escalier \(\varphi \leqslant \mathbf{1}_{\mathbb{Q}}\) vaut au plus \(0\) sur chaque intervalle ouvert de sa subdivision : \(\int_0^1 \varphi \leqslant 0\). De même, toute fonction en escalier \(\psi \geqslant \mathbf{1}_{\mathbb{Q}}\) vérifie \(\int_0^1 \psi \geqslant 1\). Ainsi \(I^{-} \leqslant 0 < 1 \leqslant I^{+}\) : la fonction n’est pas intégrable.

Soient \(f\) et \(g\) intégrables sur \([a, b]\), et \(\lambda\), \(\mu\) deux réels.

• Linéarité : \(\int_a^b (\lambda f + \mu g) = \lambda \int_a^b f + \mu \int_a^b g\).
• Positivité : si \(f \geqslant 0\) sur \([a, b]\), alors \(\int_a^b f \geqslant 0\).
• Croissance : si \(f \leqslant g\) sur \([a, b]\), alors \(\int_a^b f \leqslant \int_a^b g\).
• Relation de Chasles : pour \(c \in \left]a, b\right[\), \(\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f\).
• Valeur absolue : \(\left|\int_a^b f\right| \leqslant \int_a^b |f|\).

Une fonction continue sur \([a, b]\), à valeurs positives, dont l’intégrale sur \([a, b]\) vaut zéro, est la fonction nulle.

Raisonnons par l’absurde et supposons \(f(x_0) > 0\) en un point \(x_0\). Par continuité, il existe un segment \([\alpha, \beta]\) non réduit à un point, contenant \(x_0\), sur lequel \(f \geqslant \frac{f(x_0)}{2}\). Par Chasles et positivité, \(\int_a^b f \geqslant \int_\alpha^\beta f \geqslant \frac{f(x_0)}{2}(\beta – \alpha) > 0\). C’est une contradiction.

Inégalité de la moyenne. Si \(m \leqslant f \leqslant M\) sur \([a, b]\), alors :

\[
m(b – a) \leqslant \int_a^b f \leqslant M(b – a)
\]

Plus généralement, si \(|f| \leqslant M\), alors \(\left|\int_a^b f g\right| \leqslant M \int_a^b |g|\).

Inégalité de Cauchy-Schwarz. Pour \(f\) et \(g\) continues sur \([a, b]\) :

\[
\left(\int_a^b f g\right)^2 \leqslant \left(\int_a^b f^2\right)\left(\int_a^b g^2\right)
\]

Pour tout réel \(\lambda\), la fonction \((f + \lambda g)^2\) est positive, donc son intégrale aussi. En développant par linéarité, on obtient pour tout \(\lambda\) :

\[
P(\lambda) = \lambda^2 \int_a^b g^2 + 2\lambda \int_a^b f g + \int_a^b f^2 \geqslant 0
\]

Supposons d’abord \(\int_a^b g^2 > 0\). Le polynôme \(P\) est alors de degré \(2\) et ne prend jamais de valeur strictement négative : il a au plus une racine réelle. Son discriminant réduit \(\left(\int_a^b fg\right)^2 – \int_a^b f^2 \int_a^b g^2\) est donc négatif ou nul, ce qui est l’inégalité voulue. Si \(\int_a^b g^2 = 0\), alors \(g = 0\) d’après la proposition précédente, et les deux membres sont nuls.

Pour majorer ou encadrer une intégrale sans la calculer :

1. vérifier que les bornes sont dans l’ordre croissant ;
2. encadrer la fonction intégrée sur tout le segment, souvent en encadrant un seul facteur ;
3. intégrer l’encadrement grâce à la croissance de l’intégrale ;
4. si un produit apparaît, penser à l’inégalité de la moyenne avec \(|g|\), ou à Cauchy-Schwarz.

Encadrons \(J = \int_0^{\pi} \frac{\sin x}{3 + x}\,\mathrm{d}x\).

1. Les bornes sont dans l’ordre croissant, et \(\sin x \geqslant 0\) sur \([0, \pi]\).
2. Pour \(x \in [0, \pi]\), on a \(3 \leqslant 3 + x \leqslant 3 + \pi\), donc \(\frac{1}{3 + \pi} \leqslant \frac{1}{3 + x} \leqslant \frac{1}{3}\).
3. En multipliant par \(\sin x \geqslant 0\) et en intégrant, on obtient \(\frac{1}{3 + \pi}\int_0^{\pi}\sin x\,\mathrm{d}x \leqslant J \leqslant \frac{1}{3}\int_0^{\pi}\sin x\,\mathrm{d}x\).
4. Enfin, \(\int_0^{\pi}\sin x\,\mathrm{d}x = 2\).

Ainsi \(\frac{2}{3 + \pi} \leqslant J \leqslant \frac{2}{3}\), soit environ \(0{,}33 \leqslant J \leqslant 0{,}67\). La figure montre la courbe intégrée entre son minorant et son majorant.

Soit \(f\) continue sur \([a, b]\). Pour \(n \geqslant 1\), on pose :

\[
R_n(f) = \frac{b – a}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\!\left(a + k\frac{b – a}{n}\right)
\]

Alors \(R_n(f)\) tend vers \(\int_a^b f\) quand \(n\) tend vers l’infini. Le résultat reste vrai si la somme porte sur \(k\) de \(1\) à \(n\).

1. Écrire le terme général de la somme et chercher à faire apparaître le quotient \(\frac{k}{n}\), en factorisant par une puissance de \(n\).
2. Isoler un facteur \(\frac{1}{n}\) devant la somme.
3. Identifier la fonction \(f\) telle que le terme restant soit \(f\!\left(\frac{k}{n}\right)\), et vérifier qu’elle est continue sur \([0, 1]\).
4. Calculer \(\int_0^1 f\) à l’aide d’une primitive.

Cherchons la limite de \(S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2n + k}\).

1. On factorise le dénominateur par \(n\) : \(\frac{1}{2n + k} = \frac{1}{n} \times \frac{1}{2 + \frac{k}{n}}\).
2. Ainsi \(S_n = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} f\!\left(\frac{k}{n}\right)\) avec \(f(x) = \frac{1}{2 + x}\), continue sur \([0, 1]\).
3. Par conséquent, \(S_n\) tend vers \(\int_0^1 \frac{\mathrm{d}x}{2 + x} = \left[\ln(2 + x)\right]_0^1 = \ln 3 – \ln 2\).

La suite \((S_n)\) converge donc vers \(\ln\frac{3}{2} \approx 0{,}405\).

On dit que \(F\) est une primitive de \(f\) sur l’intervalle \(I\) lorsque \(F\) est dérivable en tout point de \(I\), de dérivée \(f\). Sur un intervalle, si \(F\) et \(G\) sont deux primitives de \(f\), alors \(F – G\) a une dérivée nulle, donc elle est constante.

Théorème fondamental de l’analyse. Soit \(f\) continue sur un intervalle \(I\) et \(a \in I\). La fonction \(F : x \mapsto \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t\) est dérivable sur \(I\), et \(F^{\prime} = f\). C’est l’unique primitive de \(f\) qui s’annule en \(a\).

Soient \(x \in I\) et \(h \neq 0\) tel que \(x + h \in I\). Par Chasles, \(F(x + h) – F(x) = \int_x^{x+h} f(t)\,\mathrm{d}t\). Comme \(\int_x^{x+h} f(x)\,\mathrm{d}t = h f(x)\), on obtient :

\[
\left|\frac{F(x + h) – F(x)}{h} – f(x)\right| = \frac{1}{|h|}\left|\int_x^{x+h}\left(f(t) – f(x)\right)\mathrm{d}t\right|
\]

Soit \(\varepsilon > 0\). Par continuité de \(f\) en \(x\), il existe \(\eta > 0\) tel que \(|t – x| \leqslant \eta\) entraîne \(|f(t) – f(x)| \leqslant \varepsilon\). Pour \(|h| \leqslant \eta\), tout \(t\) entre \(x\) et \(x + h\) vérifie cette condition. L’inégalité de la moyenne majore donc le membre de droite par \(\frac{1}{|h|} \times \varepsilon |h| = \varepsilon\). Le taux d’accroissement tend ainsi vers \(f(x)\).

Pour \(f\) continue sur \([a, b]\), toutes les primitives donnent le même résultat. Si \(G\) est l’une d’elles, alors \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = G(b) – G(a)\), noté \(\left[G(t)\right]_a^b\).

Soit \(f\) continue sur un intervalle \(I\), et \(u\), \(v\) dérivables sur un intervalle \(J\), à valeurs dans \(I\). La fonction \(g : x \mapsto \int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,\mathrm{d}t\) est dérivable sur \(J\) et :

\[
g^{\prime}(x) = f\left(v(x)\right)v^{\prime}(x) – f\left(u(x)\right)u^{\prime}(x)
\]

Soit \(g(x) = \int_x^{2x} \mathrm{e}^{-t^2}\,\mathrm{d}t\) pour \(x\) réel. La fonction \(t \mapsto \mathrm{e}^{-t^2}\) est continue sur \(\mathbb{R}\), mais on ne connaît pas de primitive explicite. Cela n’empêche pas de dériver \(g\) :

\[
g^{\prime}(x) = 2\,\mathrm{e}^{-4x^2} – \mathrm{e}^{-x^2} = \mathrm{e}^{-x^2}\left(2\,\mathrm{e}^{-3x^2} – 1\right)
\]

Le signe de \(g^{\prime}(x)\) est donc celui de \(2\,\mathrm{e}^{-3x^2} – 1\). Par conséquent, il est positif si et seulement si \(x^2 \leqslant \frac{\ln 2}{3}\).

Soient \(u\) et \(v\) deux fonctions de classe \(C^1\) sur \([a, b]\). Alors :

\[
\int_a^b u(t)\,v^{\prime}(t)\,\mathrm{d}t = \left[u(t)\,v(t)\right]_a^b – \int_a^b u^{\prime}(t)\,v(t)\,\mathrm{d}t
\]

La fonction \(uv\) est de classe \(C^1\) et \((uv)^{\prime} = u^{\prime}v + uv^{\prime}\). Or les deux termes sont continus, donc intégrables. D’après le corollaire du théorème fondamental, \(\int_a^b (u^{\prime}v + uv^{\prime}) = \left[uv\right]_a^b\). Il reste enfin à utiliser la linéarité.

Calculons \(K = \int_1^{\mathrm{e}} t^2 \ln t\,\mathrm{d}t\).

1. Le logarithme se simplifie en dérivant : on pose \(u(t) = \ln t\) et \(v^{\prime}(t) = t^2\), d’où \(u^{\prime}(t) = \frac{1}{t}\) et \(v(t) = \frac{t^3}{3}\). Ces fonctions sont de classe \(C^1\) sur \([1, \mathrm{e}]\).
2. L’IPP donne \(K = \left[\frac{t^3}{3}\ln t\right]_1^{\mathrm{e}} – \int_1^{\mathrm{e}} \frac{t^2}{3}\,\mathrm{d}t\).
3. Le crochet vaut \(\frac{\mathrm{e}^3}{3}\), car \(\ln 1 = 0\). L’intégrale restante vaut \(\frac{\mathrm{e}^3 – 1}{9}\).

Finalement, \(K = \frac{3\mathrm{e}^3 – \mathrm{e}^3 + 1}{9} = \frac{2\mathrm{e}^3 + 1}{9}\).

On se donne \(\varphi : [\alpha, \beta] \to \mathbb{R}\) de classe \(C^1\) et une fonction \(f\) continue sur un intervalle \(J\) qui contient toutes les valeurs prises par \(\varphi\). On a alors :

\[
\int_{\alpha}^{\beta} f\left(\varphi(s)\right)\varphi^{\prime}(s)\,\mathrm{d}s = \int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} f(x)\,\mathrm{d}x
\]

Soit \(F\) une primitive de \(f\). La fonction \(F \circ \varphi\) est de classe \(C^1\), de dérivée \((f \circ \varphi)\,\varphi^{\prime}\). Par conséquent, le membre de gauche vaut \(F(\varphi(\beta)) – F(\varphi(\alpha))\), c’est-à-dire le membre de droite.

1. Repérer une expression \(\varphi(s)\) dont la dérivée \(\varphi^{\prime}(s)\) figure aussi, à une constante près, dans l’intégrale.
2. Poser \(x = \varphi(s)\) et écrire \(\mathrm{d}x = \varphi^{\prime}(s)\,\mathrm{d}s\).
3. Changer les bornes : \(s = \alpha\) donne \(x = \varphi(\alpha)\), et \(s = \beta\) donne \(x = \varphi(\beta)\).
4. Vérifier que \(\varphi\) est de classe \(C^1\), puis calculer la nouvelle intégrale.

Calculons \(L = \int_0^1 \frac{s}{1 + s^4}\,\mathrm{d}s\). On pose \(x = s^2\), fonction de classe \(C^1\), de sorte que \(\mathrm{d}x = 2s\,\mathrm{d}s\). Quand \(s\) va de \(0\) à \(1\), \(x\) va aussi de \(0\) à \(1\). On obtient :

\[
L = \frac{1}{2}\int_0^1 \frac{\mathrm{d}x}{1 + x^2} = \frac{1}{2}\left[\arctan x\right]_0^1 = \frac{\pi}{8}
\]

• S’exercer : exercices corrigés de L1 de maths sur riemann, primitives et IPP
• Bases utiles : Nombre dérivé, théorème de Rolle et TAF, Exponentielle, logarithme, fonctions arc et hyperboliques
• Chapitre d’avant : Pivot de Gauss, systèmes et matrices
• Chapitre d’après : Fractions rationnelles : décomposer et intégrer
• Vérifier ses acquis : QCM de L1 de maths sur riemann, primitives et IPP
• Contrôle corrigé en temps limité : Calculs d'intégrales et sommes de Riemann : contrôle de maths en L1
• Un autre sujet noté sur 20 : Partiel de calcul intégral : contrôle de maths en L1
• Tous les chapitres : le sommaire de la L1 de maths
• Après le bac : les maths post-bac, de la MPSI à la L3