Partiel d’algèbre du premier semestre : contrôle de maths en L1
Voici un contrôle de maths en L1 sur le thème « partiel d’algèbre du premier semestre », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce partiel de trois heures clôt l’algèbre du premier semestre. Après trois questions de cours démontrées, vous traiterez l’arithmétique des entiers : algorithme d’Euclide, équation diophantienne et puissances modulo un nombre premier. Ensuite, un polynôme de degré cinq vous fera calculer une multiplicité, factoriser dans R[X] et C[X], puis effectuer une division euclidienne.
Le pivot de Gauss intervient alors sur un système à paramètre, avec son interprétation par des plans, puis sur une matrice inversible. Enfin, le problème met en parallèle le théorème de Bézout dans Z et dans K[X]. Révisez les trois chapitres avant ce partiel, car chaque exercice suppose les deux autres maîtrisés.
Ce qu’évalue le contrôle : partiel d’algèbre du premier semestre
L’essentiel du sujet
- NiveauL1
- Durée3 heures
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitres : Divisibilité, algorithme d’Euclide et congruences et Polynômes : division, racines et d’Alembert-Gauss et Pivot de Gauss, systèmes et matrices (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Rédiger les preuves de cours du lemme de Gauss, de la factorisation par X – a et de l’inverse d’un produit
- Résoudre une équation diophantienne et réduire une grande puissance modulo un nombre premier
- Déterminer une multiplicité par les dérivées puis factoriser un polynôme dans R[X] et C[X]
- Discuter un système linéaire à paramètre par le pivot et inverser une matrice 3 × 3
- Comparer Bézout dans Z et dans K[X] à travers deux problèmes de restes simultanés
Avant de commencer le devoir
Commencez par les questions de cours, rapides et bien payées, puis traitez les exercices dans l’ordre. Dans le pivot, notez chaque opération sur les lignes, car une erreur se repère alors aisément. Pour la discussion, isolez d’abord le coefficient qui dépend du paramètre. De plus, gardez vingt minutes pour relire, notamment les signes des coefficients de Bézout, que vous vérifierez en recalculant la combinaison.
Le sujet du contrôle : partiel d’algèbre du premier semestre
Exercice 1 – Questions de cours (3 points)
Chaque résultat doit être démontré à partir des définitions et des théorèmes antérieurs du cours. Ici, \(\mathbb{K}\) désigne \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\).
- Soit \(a\), \(b\), \(c\) trois entiers non nuls, avec \(a\) premier avec \(b\) et \(a\) qui divise \(bc\). Prouver que \(a\) divise \(c\) à l’aide du théorème de Bézout.
- Soit \(P \in \mathbb{K}[X]\) et \(\lambda \in \mathbb{K}\). Démontrer que \(P(\lambda) = 0\) si et seulement si \(X – \lambda\) divise \(P\).
- Soit \(A\) et \(B\) deux matrices inversibles de taille \(n\). Établir que \(AB\) est inversible et préciser son inverse.
Exercice 2 – Arithmétique des entiers (4 points)
Dans cet exercice, on travaille avec les entiers \(2431\) et \(1001\).
- Calculer \(\mathrm{pgcd}(2431, 1001)\) par l’algorithme d’Euclide, puis en déduire deux entiers \(u\) et \(v\) tels que \(2431u + 1001v = \mathrm{pgcd}(2431, 1001)\).
- Décomposer \(2431\) et \(1001\) en produits de facteurs premiers. Donner ensuite leur PPCM.
- Résoudre dans \(\mathbb{Z}^2\) l’équation \(2431x + 1001y = 286\).
- Quel est le reste de \(6^{2027}\) modulo \(17\) ? Justifier la réponse.
Exercice 3 – Un polynôme de degré 5 (4 points)
On considère \(P = X^5 – 3X^4 + 4X^3 – 4X^2 + 3X – 1\). Près du point \(A(1\,;\,0)\), sa courbe semble très aplatie autour de l’axe des abscisses.
- Montrer que \(1\) est racine de \(P\), puis déterminer sa multiplicité exacte à l’aide des polynômes dérivés.
- En déduire la factorisation de \(P\) en produit d’irréductibles dans \(\mathbb{R}[X]\), puis dans \(\mathbb{C}[X]\).
- Effectuer la division euclidienne de \(P\) par \(X^2 + X + 1\).
- Calculer la somme et le produit des racines complexes de \(P\), comptées avec multiplicité, de deux façons.
Exercice 4 – Pivot de Gauss et paramètre (4 points)
Soit \(m\) et \(c\) deux réels. On étudie le système suivant, d’inconnues réelles \(x\), \(y\) et \(z\) :
\[(\Sigma) : \begin{cases} x + 2y – z = 1 \\ 2x + 5y + z = 3 \\ x + 4y + mz = c \end{cases}\]
On note \(A_m\) la matrice de ce système, de lignes \((1, 2, -1)\), \((2, 5, 1)\) et \((1, 4, m)\).
- Échelonner le système par la méthode du pivot de Gauss. Discuter ensuite, selon les valeurs de \(m\) et de \(c\), l’existence et le nombre de solutions, puis donner ces solutions.
- Interpréter géométriquement les différents cas à l’aide des trois plans de l’espace définis par les équations.
- On prend \(m = 6\). Calculer l’inverse de \(A_6\) par la méthode du pivot de Gauss.
- En déduire la solution de \((\Sigma)\) lorsque \(m = 6\) et \(c = 4\), puis la vérifier.
Exercice 5 – Problème : Bézout dans Z et dans K[X] (5 points)
Ce problème compare l’arithmétique des entiers et celle des polynômes à coefficients réels. Les parties A et B sont indépendantes, alors que la partie C les utilise toutes deux.
Partie A : un PGCD de polynômes. Soit \(A = X^4 + X^3 – X^2 – 2X – 2\) et \(B = X^3 + 2X^2 + 2X + 1\).
- Appliquer l’algorithme d’Euclide à \(A\) et \(B\), puis donner leur PGCD unitaire \(D\).
- Trouver deux polynômes \(U\) et \(V\) tels que \(AU + BV = D\), puis vérifier l’égalité.
Partie B : restes simultanés. La figure représente le polynôme \(P_0 = 3X^2 – 2X^3\), dont la courbe part de \(O\) et arrive en \(B(1\,;\,1)\) avec une tangente horizontale aux deux extrémités.
- Dans \(\mathbb{Z}\), vérifier que \(9 \times 9 – 16 \times 5 = 1\). Déterminer alors tous les entiers \(n\) tels que \(9\) divise \(n\) et \(16\) divise \(n – 1\).
- Dans \(\mathbb{R}[X]\), vérifier que \(X^2(3 – 2X) + (X – 1)^2(2X + 1) = 1\). Trouver alors tous les polynômes \(P\) tels que \(X^2\) divise \(P\) et \((X – 1)^2\) divise \(P – 1\).
Partie C : synthèse.
- Comparer le théorème de Bézout dans \(\mathbb{Z}\) et dans \(\mathbb{K}[X]\) : citer deux points communs, illustrés par ce problème, puis deux différences.
Réviser partiel d’algèbre du premier semestre avant le contrôle
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