Relations d’équivalence et d’ordre en L1 de maths : cours et méthodes
Ce chapitre de relations L1 prolonge le langage des ensembles et des applications. Nous y étudions deux familles qui structurent toutes les mathématiques : les relations d’équivalence, qui servent à regrouper des objets jugés semblables, et les relations d’ordre, qui servent à les comparer. Ainsi, la congruence, la divisibilité et l’inclusion deviennent trois exemples fondamentaux d’un même cadre.
Le cours suit une construction pas à pas : définitions, preuves commentées, exemples guidés et contre-exemples. Vous apprendrez à décrire des classes d’équivalence, à manipuler un premier ensemble quotient, puis à distinguer plus grand élément et borne supérieure. Ces outils reviennent ensuite en arithmétique, avec les entiers modulo n, en analyse avec la borne supérieure des réels, et en algèbre linéaire avec les espaces quotients du second semestre.
Ce que vous saurez faire
- Traduire une relation binaire par son graphe et tester ses propriétés une à une.
- Vérifier qu’une relation est d’équivalence, puis décrire ses classes par une condition simple.
- Passer d’une partition à une relation d’équivalence, et inversement.
- Manipuler un premier ensemble quotient, comme les entiers modulo n.
- Reconnaître un ordre partiel ou total et dessiner son diagramme de Hasse.
- Déterminer majorants, plus grand élément et borne supérieure d’une partie.
1. Relations binaires : le vocabulaire de base
Dans tout le chapitre, \(E\) désigne un ensemble non vide. Une relation compare deux éléments de \(E\) : soit ils sont liés, soit ils ne le sont pas. Autrement dit, la relation se résume à la liste des couples liés.
1.1 Graphe d’une relation
Une relation binaire \(\mathcal{R}\) sur \(E\) est la donnée d’une partie \(G\) de \(E \times E\), appelée graphe de \(\mathcal{R}\). On écrit \(x \,\mathcal{R}\, y\) lorsque le couple \((x,y)\) appartient à \(G\).
Par exemple, sur \(E = \{1, 2, \dots, 8\}\), posons \(x \,\mathcal{R}\, y\) lorsque \(x\) divise \(y\). Le graphe contient alors \((2,6)\) mais pas \((6,2)\). La figure place chaque couple lié dans un quadrillage : c’est une image fidèle de la relation.
On lit déjà plusieurs informations sur ce dessin. D’abord, toute la diagonale est remplie, car chaque entier se divise lui-même. Ensuite, aucun point n’a de symétrique par rapport à la diagonale, hors de celle-ci. Ces deux remarques annoncent les propriétés qui suivent.
1.2 Les quatre propriétés fondamentales
On dit que la relation \(\mathcal{R}\) sur \(E\) est :
- réflexive si \(\forall x \in E,\ x \,\mathcal{R}\, x\) ;
- symétrique si \(\forall (x,y) \in E^2,\ x \,\mathcal{R}\, y \Rightarrow y \,\mathcal{R}\, x\) ;
- antisymétrique si \(\forall (x,y) \in E^2,\ (x \,\mathcal{R}\, y \text{ et } y \,\mathcal{R}\, x) \Rightarrow x = y\) ;
- transitive si \(\forall (x,y,z) \in E^3,\ (x \,\mathcal{R}\, y \text{ et } y \,\mathcal{R}\, z) \Rightarrow x \,\mathcal{R}\, z\).
Sur le graphe, la réflexivité signifie que la diagonale est entièrement couverte. De même, la symétrie signifie que le graphe est invariant par la symétrie d’axe la diagonale. En revanche, la transitivité ne se voit pas aussi facilement : il faut suivre des chemins de deux flèches.
Pour tester une propriété sur une relation donnée :
- écrire la propriété avec ses quantificateurs, sans rien sous-entendre ;
- pour la démontrer, fixer des éléments quelconques, traduire les hypothèses puis calculer ;
- pour la réfuter, exhiber un seul contre-exemple numérique explicite ;
- vérifier ce contre-exemple en écrivant ce qui est vrai et ce qui est faux.
Sur \(\mathbb{R}\), posons \(x \,\mathcal{S}\, y\) lorsque \(x y \geqslant 0\). D’abord, \(x^2 \geqslant 0\), donc \(\mathcal{S}\) est réflexive. Ensuite, \(xy = yx\), donc \(\mathcal{S}\) est symétrique. Cependant, \(\mathcal{S}\) n’est pas antisymétrique : on a \(1 \,\mathcal{S}\, 2\) et \(2 \,\mathcal{S}\, 1\) avec \(1 \neq 2\). Enfin, la transitivité échoue à cause de zéro : \(-3 \,\mathcal{S}\, 0\) et \(0 \,\mathcal{S}\, 5\), mais \((-3) \times 5 = -15 < 0\).
Piège à éviter :
Antisymétrique ne veut pas dire « non symétrique ». Ces deux mots ne sont pas contraires. Par exemple, l’égalité est à la fois symétrique et antisymétrique. À l’inverse, une relation peut n’être ni l’une ni l’autre.
Sur \(\{1,2,3\}\), la relation de graphe \(\{(1,2),(2,1),(2,3)\}\) n’est pas symétrique, car \((3,2)\) manque. Elle n’est pas antisymétrique non plus, car \(1\) et \(2\) sont liés dans les deux sens. Ainsi, nier la symétrie ne prouve jamais l’antisymétrie.
2. Relations d’équivalence et classes
Une relation d’équivalence formalise l’idée « avoir le même attribut ». Deux entiers ont le même reste, deux droites ont la même direction, deux fractions représentent le même rationnel. Nous allons voir que ce point de vue découpe toujours l’ensemble en morceaux disjoints.
2.1 Définition et premiers exemples
On appelle relation d’équivalence sur \(E\) toute relation à la fois réflexive, transitive et symétrique. Le symbole \(\sim\) la désigne le plus souvent.
Le premier exemple est l’égalité. Le deuxième, fondamental, est la congruence. Fixons un entier \(n \geqslant 1\) et posons \(a \equiv b \ [n]\) lorsque \(n\) divise \(b – a\).
Montrons que la congruence modulo \(n\) est une relation d’équivalence sur \(\mathbb{Z}\).
- Réflexivité : \(a – a = 0 = n \times 0\).
- Symétrie : si \(b – a = nk\), alors \(a – b = n(-k)\).
- Transitivité : si \(b – a = nk\) et \(c – b = n\ell\), alors on additionne et \(c – a = n(k + \ell)\).
Les trois propriétés sont donc vérifiées.
Un procédé très général fabrique des équivalences. Il suffit de comparer des éléments à travers une application.
Soit \(f : E \to F\) une application. La relation définie par \(x \sim y \iff f(x) = f(y)\) est une relation d’équivalence sur \(E\).
Chacune des trois propriétés de l’égalité dans \(F\) se transporte dans \(E\). En effet, \(f(x) = f(x)\) donne la réflexivité. De plus, \(f(x) = f(y)\) entraîne \(f(y) = f(x)\). Enfin, \(f(x) = f(y)\) et \(f(y) = f(z)\) entraînent \(f(x) = f(z)\).
Cette proposition règle beaucoup de vérifications d’un coup. Par exemple, la relation « avoir la même valeur absolue » sur \(\mathbb{R}\) provient de \(f(x) = |x|\). C’est pourquoi, face à une relation inconnue, on cherche d’abord une application cachée.
2.2 Classes d’équivalence
Soit \(\sim\) une relation d’équivalence sur \(E\) et \(x \in E\). La classe d’équivalence de \(x\) est l’ensemble \(\overline{x} = \{ y \in E \mid x \sim y \}\). Tout élément d’une classe en est un représentant.
Pour la congruence modulo 4, la classe de \(1\) contient \(1, 5, 9\), mais aussi \(-3\) et \(-7\). Il y a exactement quatre classes, celles de \(0, 1, 2, 3\). La figure les colore chacune d’une teinte.
Pour tous \(x, y \in E\), on a l’équivalence \(x \sim y \iff \overline{x} = \overline{y}\). De plus, deux classes sont soit égales, soit disjointes.
Supposons \(x \sim y\) et prenons \(z \in \overline{y}\). Alors \(y \sim z\), donc \(x \sim z\) par transitivité, et ainsi \(z \in \overline{x}\). Par symétrie, \(y \sim x\), donc l’inclusion inverse est vraie aussi. Réciproquement, si \(\overline{x} = \overline{y}\), alors \(y \in \overline{y} = \overline{x}\) grâce à la réflexivité, donc \(x \sim y\).
Supposons maintenant que \(\overline{x}\) et \(\overline{y}\) aient un point commun \(z\). Alors \(x \sim z\) et \(y \sim z\), donc \(x \sim y\). Par conséquent, \(\overline{x} = \overline{y}\) d’après la première partie.
2.3 Classes et partitions
On appelle partition de \(E\) toute famille \((A_i)_{i \in I}\) de sous-ensembles de \(E\) soumise à trois conditions : aucun \(A_i\) n’est vide, \(A_i \cap A_j = \varnothing\) dès que \(i \neq j\), et enfin \(\bigcup_{i \in I} A_i = E\).
Les classes d’une relation d’équivalence sur \(E\) forment une partition de \(E\). Réciproquement, toute partition \((A_i)_{i \in I}\) de \(E\) définit une relation d’équivalence : \(x \sim y\) lorsque \(x\) et \(y\) appartiennent à la même partie \(A_i\). Les classes de cette relation sont exactement les \(A_i\).
Chaque classe contient son représentant, donc elle n’est pas vide. Ensuite, tout \(x\) appartient à \(\overline{x}\), donc les classes recouvrent \(E\). Enfin, le lemme garantit que deux classes distinctes sont disjointes.
Pour la réciproque, chaque \(x\) se trouve dans une unique partie \(A_{i(x)}\). La relation s’écrit alors \(i(x) = i(y)\) : c’est le cas d’une application, déjà traité. Sa classe de \(x\) est précisément \(A_{i(x)}\).
Pour décrire les classes d’une équivalence :
- chercher une quantité \(f(x)\) telle que \(x \sim y \iff f(x) = f(y)\) ;
- décrire chaque classe comme un ensemble de niveau \(\{ y \mid f(y) = c \}\) ;
- indiquer quelles valeurs \(c\) sont réellement atteintes ;
- si possible, choisir dans chaque classe un représentant canonique.
Sur \(\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}\), posons \(u \sim v\) lorsqu’il existe \(\lambda > 0\) tel que \(v = \lambda u\). On a \(u = 1 \cdot u\), puis \(u = \lambda^{-1} v\), et enfin \(w = \mu \lambda u\) si \(v = \lambda u\) et \(w = \mu v\). C’est donc une équivalence. La classe de \(u\) est la demi-droite ouverte issue de l’origine et dirigée par \(u\). Un représentant canonique est le vecteur unitaire \(u / \lVert u \rVert\) : le quotient s’identifie ainsi au cercle unité.
3. Ensemble quotient : un premier contact
Une fois les classes connues, on change de point de vue. Chaque classe devient un objet à part entière. On oublie les différences internes à une classe pour ne garder que l’attribut commun.
L’ensemble quotient de \(E\) par \(\sim\), noté \(E / \sim\), est l’ensemble des classes d’équivalence. L’application \(\pi : E \to E/\sim\), \(x \mapsto \overline{x}\), s’appelle la surjection canonique.
Le cas central est \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), quotient de \(\mathbb{Z}\) par la congruence modulo \(n\). Il possède exactement \(n\) éléments : \(\overline{0}, \overline{1}, \dots, \overline{n-1}\). En effet, la division euclidienne associe à tout entier un unique reste dans \(\{0, \dots, n-1\}\).
3.1 Définir une opération sur un quotient
On souhaite poser \(\overline{a} + \overline{b} = \overline{a+b}\). Cependant, cette formule utilise des représentants. Il faut donc vérifier que le résultat ne dépend pas de leur choix.
Si \(a \equiv a^{\prime} \ [n]\) et \(b \equiv b^{\prime} \ [n]\), alors \(a + b \equiv a^{\prime} + b^{\prime} \ [n]\) et \(ab \equiv a^{\prime} b^{\prime} \ [n]\). L’addition et la multiplication de \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) sont donc bien définies.
Écrivons \(a^{\prime} = a + nk\) et \(b^{\prime} = b + n\ell\). D’une part, \(a^{\prime} + b^{\prime} = a + b + n(k + \ell)\). D’autre part, on développe le produit :
\[a^{\prime} b^{\prime} = ab + n\,(a\ell + bk + nk\ell).\]
Dans les deux cas, la différence est un multiple de \(n\).
Dans \(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}\), calculons \(\overline{7} \times \overline{8}\). On a \(56 = 6 \times 9 + 2\), donc le produit vaut \(\overline{2}\). Vérifions avec d’autres représentants : \(\overline{7} = \overline{-2}\) et \(\overline{8} = \overline{-1}\). Le produit \((-2)(-1) = 2\) redonne bien \(\overline{2}\).
Piège à éviter :
Toute formule écrite avec des représentants n’a pas de sens. Par exemple, la « règle » \(\overline{a} \mapsto a\) de \(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\) dans \(\mathbb{Z}\) n’est pas une application. En effet, \(\overline{2} = \overline{7}\), alors que \(2 \neq 7\). Avant d’utiliser un représentant, on vérifie toujours l’indépendance du choix.
Remarque :
Le même principe donne le quotient \(\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}\), qui décrit les angles orientés. Deux réels y sont identifiés lorsqu’ils diffèrent d’un multiple de \(2\pi\). Cette construction reviendra au second semestre avec les espaces vectoriels quotients, signalés ici hors programme de L1.
4. Relations d’ordre : ordre total et ordre partiel
Changeons maintenant d’objectif. Nous ne voulons plus regrouper, mais comparer. La propriété clé devient l’antisymétrie, qui interdit à deux éléments distincts de se précéder mutuellement.
4.1 Définition et exemples fondamentaux
On appelle relation d’ordre sur \(E\) toute relation à la fois réflexive, transitive et antisymétrique. Le symbole \(\preccurlyeq\) la désigne fréquemment, et le couple \((E, \preccurlyeq)\) est un ensemble ordonné. Deux éléments \(x\) et \(y\) sont comparables si \(x \preccurlyeq y\) ou \(y \preccurlyeq x\).
L’ordre est total si deux éléments quelconques sont toujours comparables. Sinon, on dit qu’il est partiel.
Trois exemples servent de référence tout au long de la licence.
- Sur \(\mathbb{R}\), deux réels se comparent toujours avec \(\leqslant\) : cet ordre est total.
- Pour les sous-ensembles d’un ensemble \(X\), rangés dans \(\mathcal{P}(X)\), l’inclusion \(\subset\) devient partielle dès que \(X\) a deux éléments : \(\{a\}\) et \(\{b\}\) ne sont pas comparables.
- La divisibilité sur \(\mathbb{N}^*\) est partielle : \(4\) et \(6\) ne se divisent pas l’un l’autre.
Montrons que la divisibilité est antisymétrique sur \(\mathbb{N}^*\). Supposons \(a \mid b\) et \(b \mid a\). Il existe des entiers \(k, \ell \geqslant 1\) tels que \(b = ka\) et \(a = \ell b\). Ainsi \(a = k\ell a\), donc \(k\ell = 1\) car \(a \neq 0\). Comme \(k\) et \(\ell\) sont des entiers positifs, \(k = \ell = 1\), et finalement \(a = b\).
Piège à éviter :
Sur \(\mathbb{Z}\), la divisibilité n’est plus une relation d’ordre. En effet, \(3 \mid -3\) et \(-3 \mid 3\), alors que \(3 \neq -3\). Elle reste réflexive et transitive : c’est seulement un préordre. Il faut donc toujours préciser l’ensemble sur lequel on travaille.
4.2 Diagramme de Hasse d’un ordre fini
Pour un ordre sur un ensemble fini, on dessine seulement les comparaisons immédiates. On relie \(x\) à \(y\), placé plus haut, lorsque \(x \preccurlyeq y\), \(x \neq y\) et qu’aucun élément ne s’intercale. La transitivité permet de retrouver tout le reste.
Sur ce diagramme des diviseurs de \(50\), on lit par exemple que \(2\) divise \(50\), en montant par \(10\). En revanche, \(2\) et \(25\) ne sont reliés par aucun chemin montant : ils sont incomparables. L’ordre est donc partiel.
À tout ordre \(\preccurlyeq\) on associe l’ordre strict \(x \prec y \iff (x \preccurlyeq y \text{ et } x \neq y)\). Il est transitif, mais il n’est pas réflexif.
4.3 Fabriquer de nouveaux ordres
À partir d’ordres connus, on en construit d’autres. Trois constructions reviennent constamment, et chacune fournit un bon exemple d’ordre partiel ou total.
- Ordre induit. Si \(F \subset E\), la restriction de \(\preccurlyeq\) aux couples de \(F^2\) est un ordre sur \(F\). Par exemple, les diviseurs de \(50\) héritent de la divisibilité.
- Ordre produit. Sur \(\mathbb{R}^2\), on pose \((a,b) \leqslant_p (c,d)\) lorsque \(a \leqslant c\) et \(b \leqslant d\). Cet ordre est partiel : \((0,1)\) et \((1,0)\) sont incomparables.
- Ordre lexicographique. On pose \((a,b) \leqslant_{\ell} (c,d)\) lorsque \(a < c\), ou bien \(a = c\) et \(b \leqslant d\). C’est l’ordre du dictionnaire, et il est total.
Pour comparer des fonctions de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\), on utilise l’ordre point par point : \(f \leqslant g\) lorsque \(f(x) \leqslant g(x)\) pour tout réel \(x\). C’est un ordre partiel. Ainsi, une affirmation comme « \(f\) est plus petite que \(g\) » n’a de sens précis que si l’inégalité vaut partout. Sinon, les deux fonctions sont simplement incomparables.
Ces constructions montrent qu’un même ensemble porte souvent plusieurs ordres naturels. Par conséquent, la question « cette partie a-t-elle une borne supérieure ? » n’a de sens qu’une fois l’ordre précisé. La partie suivante le confirme sur plusieurs exemples.
5. Majorants, plus grand élément et borne supérieure
Dans toute cette partie, \((E, \preccurlyeq)\) est un ensemble ordonné et \(A\) une partie de \(E\). Nous cherchons à situer \(A\) dans \(E\) : par le haut avec les majorants, par le bas avec les minorants.
5.1 Majorants et minorants
Un élément \(M \in E\) est un majorant de \(A\) si \(a \preccurlyeq M\) pour tout \(a \in A\). Un élément \(m \in E\) est un minorant de \(A\) si \(m \preccurlyeq a\) pour tout \(a \in A\). La partie \(A\) est majorée si elle admet au moins un majorant.
Un majorant n’appartient pas forcément à \(A\). De plus, il est rarement unique : tout élément situé au-dessus d’un majorant en est un autre. Dans \((\mathbb{N}^*, \mid)\), par exemple, les majorants de \(\{4, 6\}\) sont les multiples communs de \(4\) et \(6\), soit \(12, 24, 36\), et ainsi de suite.
5.2 Plus grand et plus petit élément
Le plus grand élément de \(A\), s’il existe, est un majorant de \(A\) qui appartient à \(A\). On le note \(\max A\). De même, le plus petit élément \(\min A\) est un minorant de \(A\) qui appartient à \(A\).
Une partie possède au plus un plus grand élément.
Soient \(M\) et \(M^{\prime}\) deux plus grands éléments de \(A\). Comme \(M^{\prime} \in A\) et \(M\) majore \(A\), on a \(M^{\prime} \preccurlyeq M\). Symétriquement, \(M \preccurlyeq M^{\prime}\). L’antisymétrie donne alors \(M = M^{\prime}\). C’est ici que l’antisymétrie joue un rôle décisif.
Remarque :
Dans un ordre partiel, un élément peut n’être dépassé par personne sans pour autant majorer toute la partie. On parle d’élément maximal. Dans \(A = \{2, 3, 4\}\) muni de la divisibilité, \(3\) et \(4\) sont maximaux, mais \(A\) n’a pas de plus grand élément. Cette notion est signalée ici en complément.
5.3 Borne supérieure
Notons \(\mathrm{Maj}(A)\) l’ensemble des majorants de \(A\). Lorsque \(\mathrm{Maj}(A)\) possède un minimum, on l’appelle borne supérieure de \(A\) et on l’écrit \(\sup A\). Symétriquement, la borne inférieure \(\inf A\) est, quand il existe, le maximum des minorants.
D’après la proposition précédente, la borne supérieure est unique lorsqu’elle existe. Concrètement, \(S = \sup A\) signifie deux choses : \(S\) majore \(A\), et \(S \preccurlyeq M\) pour tout autre majorant \(M\).
Si \(A\) possède un plus grand élément, alors \(\sup A = \max A\). En revanche, une borne supérieure peut exister sans appartenir à \(A\).
Dans \(\mathcal{P}(\{a,b,c\})\) ordonné par l’inclusion, prenons \(A = \{\{a\}, \{b\}\}\). Les majorants sont les parties qui contiennent \(a\) et \(b\) : \(\{a,b\}\) et \(\{a,b,c\}\). Le plus petit d’entre eux est \(\{a,b\}\), qui n’est pas dans \(A\).
- Dans \((\mathcal{P}(X), \subset)\), toute famille de parties a pour borne supérieure sa réunion et pour borne inférieure son intersection.
- Dans \((\mathbb{N}^*, \mid)\), toute partie finie non vide a pour borne supérieure son PPCM et pour borne inférieure son PGCD.
- Dans \((\mathbb{R}, \leqslant)\), dès qu’une partie est non vide et possède un majorant, sa borne supérieure existe. Toute l’analyse réelle repose sur ce principe.
Pour déterminer la borne supérieure d’une partie \(A\) :
- décrire l’ensemble de tous les majorants de \(A\) ;
- chercher un candidat \(S\) parmi eux, souvent suggéré par un dessin ;
- prouver que \(S\) précède chacun des autres majorants ;
- conclure, puis regarder si \(S\) appartient à \(A\) : c’est alors un plus grand élément.
Dans \((\mathbb{N}^*, \mid)\), cherchons la borne supérieure de \(A = \{6, 10, 15\}\). Un majorant est un multiple commun de \(6\), \(10\) et \(15\). Ces multiples communs sont exactement les multiples de leur PPCM, qui vaut \(30\). Ainsi, \(30\) majore \(A\) et divise tout autre majorant : \(\sup A = 30\). Enfin, \(30 \notin A\), donc \(A\) n’a pas de plus grand élément. Par un raisonnement analogue, \(\inf A = \operatorname{pgcd}(6, 10, 15) = 1\).
Dans \(\mathbb{Q}\) muni de l’ordre usuel, la partie \(B = \{ x \in \mathbb{Q} \mid x > 0,\ x^2 < 2 \}\) est non vide et majorée par \(2\). Pourtant, elle n’a pas de borne supérieure dans \(\mathbb{Q}\). En effet, cette borne devrait valoir \(\sqrt{2}\), qui n’est pas rationnel. Ainsi, l’existence d’une borne supérieure dépend de l’ensemble ordonné choisi.
Les erreurs fréquentes
- Confondre antisymétrique et « non symétrique », alors que l’égalité est les deux à la fois.
- Prouver la transitivité sur un seul exemple au lieu de fixer trois éléments quelconques.
- Oublier que les classes d’équivalence sont non vides et disjointes deux à deux.
- Définir une opération sur un quotient sans vérifier qu’elle ne dépend pas des représentants.
- Croire que toute partie majorée possède un plus grand élément, ou confondre maximal et plus grand.
- Parler de la divisibilité comme d’un ordre sur \(\mathbb{Z}\), où l’antisymétrie échoue.
Fiche mémo
- Une relation sur \(E\) est une partie de \(E \times E\), appelée son graphe.
- Équivalence : réflexive, symétrique et transitive. Ordre : réflexive, antisymétrique et transitive.
- Toute relation de la forme \(f(x) = f(y)\) est une équivalence.
- Les classes d’une équivalence forment une partition, et toute partition provient d’une équivalence.
- Le quotient \(E/\sim\) est l’ensemble des classes ; \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) a \(n\) éléments.
- Une opération sur un quotient doit être indépendante des représentants choisis.
- Un ordre est total si tous les éléments sont comparables, partiel sinon.
- Le plus grand élément appartient à la partie ; la borne supérieure est le plus petit majorant.
- Dans \((\mathbb{N}^*, \mid)\) : sup = PPCM et inf = PGCD ; dans \((\mathcal{P}(X), \subset)\) : sup = réunion et inf = intersection.
Questions fréquentes
Quelle différence entre plus grand élément et borne supérieure ?
Un plus grand élément est un majorant situé dans la partie elle-même. Une borne supérieure, en revanche, se choisit parmi tous les majorants, comme le minimum de cet ensemble ; rien ne l’oblige à appartenir à la partie. Si le plus grand élément existe, il est aussi la borne supérieure, mais la réciproque est fausse, comme pour l’intervalle ]0,1[ dans les réels.
Une relation peut-elle être à la fois symétrique et antisymétrique ?
Oui. L’égalité est symétrique et antisymétrique, et plus généralement toute relation contenue dans l’égalité l’est aussi. En effet, si x est en relation avec y, la symétrie donne la relation inverse et l’antisymétrie force alors x = y.
Pourquoi dit-on que les classes d'équivalence forment une partition ?
Chaque élément appartient à sa propre classe, donc les classes recouvrent l’ensemble. De plus, deux classes sont soit égales, soit disjointes : elles ne peuvent pas se chevaucher partiellement. Enfin, aucune classe n’est vide, ce qui donne exactement la définition d’une partition.
Faut-il connaître le diagramme de Hasse en L1 ?
Il n’est pas toujours exigé à l’examen, mais il aide beaucoup. On y représente seulement les comparaisons immédiates d’un ordre fini, les plus grands éléments étant placés en haut. Il permet de lire d’un coup d’œil les majorants, les éléments maximaux et la borne supérieure.
Pour aller plus loin
- S’exercer : exercices corrigés de L1 de maths sur relations d'équivalence et d'ordre
- Bases utiles : Ensembles, applications et bijections
- Chapitre d’avant : Ensembles, applications et bijections
- Chapitre d’après : Récurrence, symboles Σ et coefficients binomiaux
- Vérifier ses acquis : QCM de L1 de maths sur relations d'équivalence et d'ordre
- Contrôle corrigé en temps limité : Images réciproques et relations d'ordre : contrôle de maths en L1
- Tous les chapitres : le sommaire de la L1 de maths
- Après le bac : les maths post-bac, de la MPSI à la L3
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