Éléments simples et primitives : contrôle de maths en L1
Voici un contrôle de maths en L1 sur le thème « éléments simples et primitives », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure porte sur les fractions rationnelles du second semestre. Il vérifie que vous savez écrire la décomposition en éléments simples sur \(\mathbb{R}\), puis en déduire des primitives sans hésitation. Les coefficients s’obtiennent ici par évaluation : en un pôle, en l’infini ou en \(i\), jamais par une identification brute.
Après une question de cours sur le pôle simple, vous traiterez un pôle double, puis des éléments de seconde espèce qui mènent à l’arctangente. Enfin, le problème ramène deux intégrales en sinus et cosinus à des fractions rationnelles par un changement de variable. Faites ce sujet juste après le chapitre, avant d’aborder les équations différentielles.
Ce qu’évalue le contrôle : éléments simples et primitives
L’essentiel du sujet
- NiveauL1
- Durée1 heure
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Fractions rationnelles : décomposer et intégrer (4 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Énoncer la forme de la décomposition en éléments simples sur R et justifier la formule du pôle simple
- Obtenir les coefficients par évaluation, par une limite en l’infini ou par évaluation en i
- Primitiver un élément de seconde espèce grâce au logarithme et à l’arctangente
- Calculer une intégrale en sinus et cosinus par le changement de variable adapté
Avant de commencer le devoir
Avant toute décomposition, factorisez le dénominateur sur \(\mathbb{R}\) et vérifiez que le degré du numérateur est plus petit. Ensuite, multipliez par le facteur du pôle et évaluez, car cette méthode donne chaque coefficient en une ligne. Contrôlez enfin le résultat en un point simple, par exemple en \(0\). Pour un trinôme sans racine réelle, faites d’abord apparaître sa dérivée au numérateur, puis la forme canonique.
Le sujet du contrôle : éléments simples et primitives
Exercice 1 – Cours et pôles simples (4 points)
Dans cet exercice, \(P\) et \(Q\) sont deux polynômes réels, avec \(\deg P < \deg Q\), et \(F = \frac{P}{Q}\).
- On suppose que \(Q(x) = (x – a)^2\left(x^2 + px + q\right)\), où \(a\), \(p\) et \(q\) sont réels et \(p^2 – 4q < 0\). Écrire alors la forme de la décomposition de \(F\) en éléments simples sur \(\mathbb{R}\).
- On suppose maintenant que \(Q = (X – a)Q_1\), avec \(Q_1(a) \neq 0\). Démontrer d’abord que le coefficient de \(\frac{1}{X – a}\) dans la décomposition de \(F\) vaut \(\frac{P(a)}{Q_1(a)}\), puis qu’il est aussi égal à \(\frac{P(a)}{Q^{\prime}(a)}\).
- Factoriser \(x^3 – 7x + 6\), sachant que \(1\) en est une racine. Décomposer ensuite en éléments simples \(F(x) = \frac{x^2 + 5}{x^3 – 7x + 6}\), en obtenant chaque coefficient par évaluation.
- En déduire une primitive de \(F\) sur l’intervalle \(]2\,;\,+\infty[\).
Exercice 2 – Une fraction avec un pôle double (5 points)
On considère la fonction \(G\) définie sur \(]1\,;\,+\infty[\) par \(G(x) = \frac{3x + 1}{(x – 1)^2(x + 2)}\). Sa courbe est tracée ci-dessous, ainsi que l’aire comprise entre \(2\) et \(4\).
- Justifier qu’il existe trois réels \(a\), \(b\) et \(c\) tels que \(G(x) = \frac{a}{x – 1} + \frac{b}{(x – 1)^2} + \frac{c}{x + 2}\).
- Calculer ensuite \(b\) et \(c\) par évaluation, après multiplication par un facteur bien choisi.
- Déterminer enfin \(a\) en étudiant la limite de \(xG(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).
- Contrôler aussi la décomposition obtenue en évaluant en \(0\) les deux expressions rationnelles, qui y sont définies.
- Donner une primitive de \(G\) sur \(]1\,;\,+\infty[\), puis calculer \(\int_{2}^{4} G(x)\,\mathrm{d}x\) sous forme exacte.
Exercice 3 – Trinômes sans racine réelle (5 points)
Les parties A et B sont indépendantes. Cependant, toutes deux font intervenir un trinôme du second degré de discriminant strictement négatif.
Partie A. Pour \(x > 1\), on pose \(K(x) = \frac{x + 3}{(x – 1)\left(x^2 + 1\right)}\).
- Écrire la forme de la décomposition de \(K\) sur \(\mathbb{R}\). Obtenir ensuite le coefficient du pôle \(1\) par évaluation, puis les deux autres en multipliant par \(x^2 + 1\) et en évaluant en \(i\).
- En déduire donc une primitive de \(K\) sur \(]1\,;\,+\infty[\).
Partie B. Pour tout réel \(x\), on pose \(H(x) = \frac{2x + 7}{x^2 + 2x + 5}\). Par exemple, la figure montre la courbe de \(H\) sur \([-4\,;\,4]\).
- Déterminer deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(2x + 7 = \alpha(2x + 2) + \beta\). Écrire ensuite \(x^2 + 2x + 5\) sous forme canonique, car elle servira pour l’arctangente.
- En déduire ainsi une primitive de \(H\) sur \(\mathbb{R}\).
- Calculer finalement \(\int_{-1}^{1} H(x)\,\mathrm{d}x\).
Exercice 4 – Problème : deux intégrales trigonométriques (6 points)
Dans ce problème, on se propose de calculer les deux intégrales suivantes, en les ramenant à des intégrales de fractions rationnelles :
\[A = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin x}{(2 + \cos x)(3 – \cos x)}\,\mathrm{d}x \quad \text{et} \quad B = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}x}{2 – \sin x}.\]
Partie A – Le changement de variable u = cos x
- Décomposer tout d’abord en éléments simples la fraction \(\frac{1}{(2 + u)(3 – u)}\), en obtenant ses coefficients par évaluation.
- À l’aide du changement de variable \(u = \cos x\), justifié avec soin, montrer que \(A = \frac{2}{5}\ln\left(\frac{3}{2}\right)\).
Partie B – Le changement de variable t = tan(x/2)
De plus, la figure représente la fonction \(x \mapsto \frac{1}{2 – \sin x}\) sur \(\left[0\,;\,\frac{\pi}{2}\right]\) ; l’aire colorée vaut \(B\).
- Pour \(x \in \left[0\,;\,\frac{\pi}{2}\right]\), on pose \(t = \tan\left(\frac{x}{2}\right)\). Montrer que \(t\) décrit \([0\,;\,1]\), que \(x = 2\arctan t\) et que \(\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}\).
- Montrer alors que \(B = \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d}t}{t^2 – t + 1}\).
- Calculer enfin \(B\) sous forme exacte.
Réviser éléments simples et primitives avant le contrôle
La page contrôles de maths en L1 regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
Sujets proches à faire ensuite
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